（步步高 高中理科数学 教学资料）第2讲　函数的单调性与最值.doc

1、第第 2 讲讲函数的单调性与最值函数的单调性与最值 一、选择题 1.若函数 f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则 a 的值为() A.2B.2C.6D.6 解析由图象易知函数 f(x)|2xa|的单调增区间是a 2，)，令 a 23， a6. 答案C 2.(2016北京卷)下列函数中，在区间(1，1)上为减函数的是() A.y 1 1x B.ycos x C.yln(x1)D.y2 x 解析y 1 1x与 yln(x1)在(1，1)上为增函数，且 ycos x 在(1，1) 上不具备单调性.A，B，C 不满足题意.只有 y2 x 1 2 x 在(1，1)上是减函 数. 答案D 3.定义

2、新运算“”：当 ab 时，aba2；当 ab 时，abb2，则函数 f(x) (1x)x(2x)，在区间2，2上的最大值等于() A.1B.1C.6D.12 解析由已知得当2x1 时，f(x)x2， 当 1x2 时，f(x)x32. f(x)x2，f(x)x32 在定义域内都为增函数. f(x)的最大值为 f(2)2326. 答案C 4.已知函数 yf(x)的图象关于 x1 对称，且在(1，)上单调递增，设 a f 1 2 ，bf(2)，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系为() A.cbaB.bac C.bcaD.abc 解析函数图象关于 x1 对称，af 1 2 f 5 2 ，又 yf(

3、x)在(1，) 上单调递增， f(2)f 5 2 f(3)，即 ba0， x80， x（x8）9， 解得 80， 0，x0， 1，x1） ， 0（x1） ， x2（x4. 若函数 yf(x)在区间(a， a1) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是_. 解析作出函数 f(x)的图象如图所示，由图象可知 f(x)在(a，a1)上单调递增， 需满足 a4 或 a12，即 a1 或 a4. 答案(，14，) 三、解答题 9.已知函数 f(x)1 a 1 x(a0，x0). (1)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (2)若 f(x)在 1 2，2上的值域是 1 2，2，求 a 的值. (1)证明设

4、 x2x10，则 x2x10，x1x20， f(x2)f(x1) 1 a 1 x2 1 a 1 x1 1 x1 1 x2 x2x1 x1x2 0， f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数. (2)解f(x)在 1 2，2上的值域是 1 2，2，又由(1)得 f(x)在 1 2，2上是单调增函 数， f 1 2 1 2，f(2)2，易知 a 2 5. 10.已知函数 f(x)2xa x的定义域为(0，1(a 为实数). (1)当 a1 时，求函数 yf(x)的值域； (2)求函数 yf(x)在区间(0，1上的最大值及最小值，并求出当函数 f(x)取得最 值时 x 的值. 解(1)当

5、a1 时，f(x)2x1 x，任取 1x 1x20，则 f(x1)f(x2)2(x1x2) 1 x1 1 x2(x1x2) 2 1 x1x2. 1x1x20，x1x20，x1x20. f(x1)f(x2)，f(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当 x1 时取得最大值 1， 所以 f(x)的值域为(，1. (2)当 a0 时，yf(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当 x1 时取得最大值 2a； 当 a0 时，f(x)2xa x ， 当a 21，即 a(，2时，yf(x)在(0，1上单调递减，无最大值， 当 x1 时取得最小值 2a； 当a 21， 即a(2， 0)时， yf(x)在 0，a

6、 2 上单调递减， 在 a 2，1 上单调递增，无最大值，当 xa 2时取得最小值 2 2a. 11.(2017郑州质检)若函数 f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为 4，最小 值为 m，且函数 g(x)(14m) x在0，)上是增函数，则 a() A.4B.2C.1 2 D.1 4 解析当 a1，则 yax为增函数，有 a24，a 1m，此时 a2，m1 2， 此时 g(x) x在0，)上为减函数，不合题意. 当 0a1，g(x)x24x3(x2)211， 若 f(a)g(b)，则 g(b)(1，1， 所以b24b31，即 b24b20， 解得 2 2bb. 设函数 f(x)x3，

7、g(x) log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_. 解析依题意，h(x) log2x，02. 当 02 时，h(x)3x 是减函数， h(x)在 x2 时，取得最大值 h(2)1. 答案1 14.已知函数 f(x)lg(xa x2)，其中 a 是大于 0 的常数. (1)求函数 f(x)的定义域； (2)当 a(1，4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值； (3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围. 解(1)由 xa x20，得 x22xa x 0， 当 a1 时，x22xa0 恒成立，定义域为(0，)， 当 a1 时，定义域为x|x0 且 x1， 当 0a1 时，定义域为x|0 x1 1a或 x1 1a. (2)设 g(x)xa x2，当 a(1，4)，x2，)时， g(x)1 a x2 x2a x2 0. 因此 g(x)在2，)上是增函数， f(x)在2，)上是增函数. 则 f(x)minf(2)lna 2. (3)对任意 x2，)，恒有 f(x)0. 即 xa x21 对 x2，)恒成立.a3xx 2. 令 h(x)3xx2，x2，). 由于 h(x) x3 2 2 9 4在2，)上是减函数， h(x)maxh(2)2. 故 a2 时，恒有 f(x)0. 因此实数 a 的取值范围为(2，).