（步步高 高中理科数学 教学资料）第3讲　平面向量的数量积及其应用.doc

1、第第 3 讲讲平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用 一、选择题 1.(2016兰州诊断考试)已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则|ab| () A.0B.1C.2D. 5 解析|ab| （ab）2 a22abb2 14 5. 答案D 2.(2015陕西卷)对任意平面向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是() A.|ab|a|b|B.|ab|a|b| C.(ab)2|ab|2D.(ab)(ab)a2b2 解析对于 A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于 B，当 a，b 均 为非零向量且方向相反时不成立；对于 C、D 容易判断恒成立.故选 B. 答案

2、B 3.已知 a(1，2)，b(x，2)，且 ab，则|b|() A.2 5B. 5C.10D.5 解析ab，1 x 2 2 ，解得 x1，b(1，2)，|b| （1）222 5.故选 B. 答案B 4.(2015广东卷)在平面直角坐标系xOy中， 已知四边形ABCD 是平行四边形， AB (1，2)，AD (2，1)，则AD AC 等于( ) A.5B.4C.3D.2 解析四边形 ABCD 为平行四边形， AC ABAD (1， 2)(2， 1)(3， 1).AD AC 23(1)15，选 A. 答案A 5.(2015重庆卷)已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a

3、 与 b 的夹 角为() A. 3 B. 2 C.2 3 D.5 6 解析因为 a(2ab)，所以 a(2ab)0，得到 ab2|a|2，设 a 与 b 的夹 角为，则 cos ab |a|b| 2|a|2 4|a|2 1 2，又 0，所以 2 3 ，故选 C. 答案C 二、填空题 6.(2016全国卷)设向量 a(x，x1)，b(1，2)，且 ab，则 x_. 解析由题意，得 ab0 x2(x1)0 x2 3. 答案2 3 7.(2016北京卷)设 a，b 是向量.则“|a|b|”是“|ab|ab|”的_条 件. 解析|ab|ab|(ab)2(ab)2ab0， |ab|ab|/ |a|b|；

4、|a|b|/ ab0，得不到|ab|ab|， 因此“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分又不必要条件. 答案既不充分也不必要 8.已知向量OA (3，4)，OB (6，3)，OC (5m，3m)，若ABC 为 锐角，则实数 m 的取值范围是_. 解析由已知得AB OB OA (3，1)， AC OC OA (2m，1m). 若AB AC， 则有 3(1m)2m，解得 m1 2. 由题设知，BA (3，1)，BC(1m，m). ABC 为锐角， BA BC33mm0，可得 m3 4. 由题意知，当 m1 2时，AB AC，且AB与AC同向. 故当ABC 为锐角时，实数 m 的取值范围是 3

5、 4， 1 2 1 2，. 答案 3 4， 1 2 1 2， 三、解答题 9.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61， (1)求 a 与 b 的夹角； (2)求|ab|； (3)若AB a，BCb，求ABC 的面积. 解(1)(2a3b)(2ab)61， 4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，644ab2761， ab6.cos ab |a|b| 6 43 1 2. 又 0，2 3 . (2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213，|ab| 13. (3)AB 与BC的夹角2 3 ，ABC2 3 3 . 又|AB |a|4，|BC|b|3

6、， SABC1 2|AB |BC|sinABC1 243 3 2 3 3. 10.(2017德州一模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m (cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且 mn3 5. (1)求 sin A 的值； (2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA 在BC方向上的投影. 解(1)由 mn3 5， 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B3 5， 所以 cos A3 5.因为 0Ab，所以 AB，且 B 是ABC 一内角，则 B 4 . 由余弦定理得(4 2)252c225c 3 5 ， 解得 c1，

7、c7 舍去， 故向量BA 在BC方向上的投影为|BA|cos Bccos B12 2 2 2 . 11.(必修 4P120 1(6)改编)若平面向量 a，b，c 两两所成的角相等，且|a|1，|b| 1，|c|3，则|abc|等于() A.2B.5C.2 或 5D. 2或 5 解析由于平面向量 a，b，c 两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于 2 3 或 0，|abc| （abc）2 a2b2c22ab2bc 2ac 当夹角为 0 时，上式值为 5；当夹角为2 3 时，上式值为 2.故选 C. 答案C 12.(2015山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BD CD 等

8、于 () A.3 2a 2 B.3 4a 2 C.3 4a 2 D.3 2a 2 解析在菱形 ABCD 中， BA CD ， BD BA BC， 所以BD CD (BA BC)CD BA CD BC CD a2aacos 60a21 2a 23 2a 2. 答案D 13.(2017洛阳统考)已知 A(1， cos)， B(sin， 1)， 若|OA OB |OA OB |(O 为坐标原点)，则锐角_. 解析法一利用几何意义求解：由已知可知，OA OB 是以 OA，OB 为邻边 作平行四边形 OADB 的对角线向量OD ，OA OB 则是对角线向量BA ，于是对 角线相等的平行四边形为矩形.故

9、OAOB.因此OA OB 0，锐角 4 . 法二坐标法：OA OB (sin1，cos1)，OA OB (sin1， cos1)， 由|OA OB |OA OB |可得(sin1)2(cos1)2(sin 1)2(cos1)2，整理得 sincos，于是锐角 4 . 答案 4 14.在直角坐标系 xOy 中， 已知点 A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， 点 P(x， y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP mAB nAC(m，nR). (1)若 mn2 3，求|OP |； (2)用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值. 解(1)mn2 3，AB (1，2)，AC(2，1)， OP 2 3(1，2) 2 3(2，1)(2，2)， |OP | 22222 2. (2)OP m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)， xm2n， y2mn， 两式相减，得 mnyx. 令 yxt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1， 故 mn 的最大值为 1.