（步步高 高中理科数学 教学资料）12.6.docx

1、12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布离散型随机变量的均值与方差、正态分布 最新考纲考情考向分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念 2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点 及曲线所表示的意义 3.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并 能解决一些简单问题. 以理解均值与方差的概念为主，经常以频率 分布直方图为载体，考查二项分布、正态分 布的均值与方差掌握均值与方差、正态分 布的性质和求法是解题关键高考中常以解 答题形式考查、难度为中等偏上. 1离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值

2、称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望 它反映了离散型随 机变量取值的平均水平 (2)方差 称 D(X) n i1(xiE(X) 2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏 离程度，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差 2均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b. (2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) 4正态分布 (1)正

3、态曲线：函数，(x) 2 2 () 2 1 e 2 x ，x(，)，其中实数和为参数(0， R)我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 x对称； 曲线在 x处达到峰值 1 2； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； 当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越 大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示 (3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变

4、量 X 满足 P(aXb)ba，(x)dx，则称随机 变量 X 服从正态分布，记作 XN(，2) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)0.682_6； P(2X2)0.954_4； P(3X3)0.997_4. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定() (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越 小，则偏离变量的平均程度越小() (3)正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数是正态分布的均值，是正态分布的标 准差() (4)一个随机变量如果是众多的、互不

5、相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从 或近似服从正态分布() (5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关() 题组二教材改编 2P68A 组 T1已知 X 的分布列为 X101 P 1 2 1 3 1 6 设 Y2X3，则 E(Y)的值为() A.7 3 B4 C1D1 答案A 解析E(X)1 2 1 6 1 3， E(Y)E(2X3)2E(X)32 33 7 3. 3P68A 组 T5甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 X，Y，其分布 列分别为： X0123 P0.40.30.20.1 Y012 P0.30.50.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中

6、技术较好的是_ 答案乙 解析E(X)00.410.320.230.11. E(Y)00.310.520.20.9， E(Y)2c1)P(X2c1)P(Xc3)， 2c1c332，c4 3. 题组三易错自纠 5已知随机变量 X8，若 XB(10,0.6)，则 E()，D()分别是() A6,2.4B2,2.4 C2,5.6D6,5.6 答案B 解析由已知随机变量 X8，所以8X. 因此，求得 E()8E(X)8100.62， D()(1)2D(X)100.60.42.4. 6设随机变量服从正态分布 N(，2)，函数 f(x)x24x没有零点的概率是1 2，则等于 () A1B2 C4D不能确定

7、答案C 解析当函数 f(x)x24x没有零点时，1644，根据正态曲线的对称性， 当函数 f(x)x24x没有零点的概率是1 2时，4. 题型一题型一离散型随机变量的均值、方差离散型随机变量的均值、方差 命题点 1求离散型随机变量的均值、方差 典例 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王 到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用 的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试； 否则继续尝试，直至该银行卡被锁定 (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银

8、行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和均值 解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A， 则 P(A)5 6 4 5 3 4 1 2. (2)依题意得，X 所有可能的取值是 1,2,3. 又 P(X1)1 6，P(X2) 5 6 1 5 1 6， P(X3)5 6 4 51 2 3. 所以 X 的分布列为 X123 P 1 6 1 6 2 3 所以 E(X)11 62 1 63 2 3 5 2. 命题点 2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 典例 设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一 个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3

9、分 (1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随 机变量为取出此 2 球所得分数之和，求的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量为取出此球所得分数若 E() 5 3，D() 5 9，求 abc. 解(1)由题意得2,3,4,5,6， 故 P(2)33 66 1 4，P(3) 232 66 1 3， P(4)23122 66 5 18，P(5) 221 66 1 9， P(6)11 66 1 36. 所以的分布列为 23456 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 (2)由题意知的分布列为 123 P a

10、 abc b abc c abc 所以 E() a abc 2b abc 3c abc 5 3， D() 15 3 2 a abc 25 3 2 b abc 35 3 2 c abc 5 9，化简得 2ab4c0， a4b11c0. 解得 a3c，b2c，故 abc321. 思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用 均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)， 解方程(组)即可求出参数值 (3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据

11、均值、方差的意义，对实际问题作出判断 跟踪训练 (2017青岛一模)为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促 销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收 费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 有甲、 乙两人相互独立地来该滑雪场运动， 设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为1 4， 1 6；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 1 2， 2 3；两人滑雪时间都不会超过 3 小时 (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值 E()，

12、方差 D() 解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80 元， 甲、乙两人 2 小时以上且不超过 3 小时离开的概率分别为 11 4 1 2 1 4， 11 6 2 3 1 6. 两人都付 0 元的概率为 P11 4 1 6 1 24， 两人都付 40 元的概率为 P21 2 2 3 1 3， 两人都付 80 元的概率为 P31 4 1 6 1 24， 则两人所付费用相同的概率为 PP1P2P3 1 24 1 3 1 24 5 12. (2)设甲、乙所付费用之和为，的可能取值为 0,40,80,120,160，则 P(0)1 4 1 6 1 24， P(40)1 4 2 3 1

13、 2 1 6 1 4， P(80)1 4 1 6 1 2 2 3 1 4 1 6 5 12， P(120)1 2 1 6 1 4 2 3 1 4， P(160)1 4 1 6 1 24. 所以的分布列为 04080120160 P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 E()0 1 2440 1 480 5 12120 1 4160 1 2480. D()(080)2 1 24(4080) 21 4(8080) 25 12(12080) 21 4(16080) 21 24 4 000 3 . 题型二题型二均值与方差在决策中的应用均值与方差在决策中的应用 典例 计划在某水库建一座至多安装

14、 3 台发电机的水电站过去 50 年的水文资料显示，水库 年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在 40 以上其 中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立 (1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制， 并有如下关系： 年入流量 X40X120 发电机最多可运行台数123 若某台发电机运行，则该台发电机

15、年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电 机年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 解(1)依题意，得 p1P(40X120) 5 500.1. 由二项分布可知，在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 pC04(1p3)4C14(1p3)3p3 9 10 44 9 10 31 100.947 7. (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元) 安装 1 台发电机的情形 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y5 000，E(Y) 5 00015 000. 安装 2 台发电机的情形

16、依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0008004 200，因此 P(Y4 200) P(40X80)p10.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y5 000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得 Y 的分布列如下： Y4 20010 000 P0.20.8 所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840. 安装 3 台发电机的情形 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0001 6003 400，因此 P(Y3 400) P(40X120 时， 三台发电机运行， 此时 Y5 0003 15 000，

17、因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得 Y 的分布列如下： Y3 4009 20015 000 P0.20.70.1 所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台 思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平， 方差反映了随机变量稳定于均值 的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依 据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 跟踪训练 (2017贵州调研)某投资公司在 2018 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目 上，现

18、有两个项目供选择： 项目一： 新能源汽车 据市场调研， 投资到该项目上， 到年底可能获利 30%， 也可能亏损 15%， 且这两种情况发生的概率分别为7 9和 2 9； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3 5， 1 3和 1 15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 解若按“项目一”投资，设获利为 X1万元，则 X1的分布列为 X1300150 P 7 9 2 9 E(X1)3007 9(150) 2 9200. 若按“项目二”投资，设获利为 X2万元，则 X2

19、的分布列为 X25003000 P 3 5 1 3 1 15 E(X2)5003 5(300) 1 30 1 15200. D(X1)(300200)27 9(150200) 22 935 000， D(X2)(500200)23 5(300200) 21 3(0200) 21 15140 000. E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 题型三题型三正态分布的应用正态分布的应用 典例 (2017全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上随 机抽取 16 个零件，并测量其

20、尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常 状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(，2) (1)假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3， 3)之外的零 件数，求 P(X1)及 X 的均值； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 ()试说明上述监控生产过程方法的合理性； ()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 99510.129.969.9610.019.929.9810.04 10269.9110.1310.029.221

21、0.0410.059.95 经计算得 x 1 16错误 错误!i9.97，s错误错误!错误错误!0.212，其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸， i1,2，16. 用样本平均数 x 作为的估计值 ，用样本标准差 s 作为的估计值 ，利用估计值判断是否 需对当天的生产过程进行检查？剔除( 3 ， 3 )之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到 0.01) 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2， 0.0080.09. 解(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为 0.997 4，从而零件的尺寸在( 3，3)之外的

22、概率为 0.002 6，故 XB(16,0.002 6) 因此 P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8. E(X)160.002 60.041 6. (2)()如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有 0.002 6，一天内 抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有 0.040 8，发生的概率 很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异 常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 ()由 x 9.97，s0.212，得的估计值为 9.97，的估计值为 0.212，由样本数

23、据可 以看出有一个零件的尺寸在( 3 ， 3 )之外，因此需对当天的生产过程进行检查 剔除( 3 ， 3 )之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 1 15(169.979.22)10.02. 因此的估计值为 10.02. 错误错误!2i160.2122169.9721 591.134. 剔除( 3 ， 3 )之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 1 15(1 591.1349.22 2 1510.022)0.008， 因此的估计值为 0.0080.09. 思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴 x；(2)标准差；(3)分布区间利 用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布

24、区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x0. 跟踪训练 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件， 测量这些产品的一项质量指标值， 由测量 结果得如下频率分布直方图： (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，其中近似为样本 平均数 x ，2近似为样本方差 s2. 利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)； 某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100

25、件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求 E(X) 附： 15012.2. 若 ZN(，2)，则 P(Z)0.682 6， P(2Z2)0.954 4. 解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2分别为 x 1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02 200， s2( 30)20.02 ( 20)20.09( 10)20.22 00.33 1020.24 2020.08 3020.02150. (2)由(1)知，ZN(200,150)，即 ZN(200,12.22) 从而 P(1

26、87.8Z212.2) P(20012.2Z2)p，则 P(0X2)p，P(2x2)12p， P(0X2)12p 2 1 2p. 6某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同 学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的 概率是 0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，则这两个同 学各猜 1 次，得分之和 X(单位：分)的均值为() A0.9B0.8C1.2D1.1 答案A 解析由题意得 X0,1,2，则 P(X0)0.60.50.3， P(X1)0.40.50.60.50.5， P

27、(X2)0.40.50.2， E(X)10.520.20.9. 7(2017全国)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_. 答案1.96 解析由题意得 XB(100,0.02)， D(X)1000.02(10.02)1.96. 8马老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表： x123 P(x)？！？ 请小牛同学计算的均值尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定 这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案 E()_. 答案2 解析设“？”处的数值为 x，则“！”处的数值为 12x，则

28、 E()1x2(12x)3xx24x3x2. 9已知当 XN(，2)时，P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P( 3X3)0.997 4，则 2 (1) 4 2 3 1 ed 2 x x _. 答案0.021 5 解析由题意，1，1，P(3X4)1 2P(2X4)P(1110)12P90100 2 0.2，该班学生数学成绩在 110 分以上的 人数为 0.25010. 14一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共 11 只，现在盒子上开一小孔，每 次只能飞出 1 只昆虫(假设任意 1 只昆虫等可能地飞出)若有 2 只昆虫先后任意飞出(不考虑 顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓

29、的概率是21 55. (1)求盒子中蜜蜂有几只； (2)若从盒子中先后任意飞出 3 只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为 X，求随机变量 X 的分布列与均值 E(X) 解(1)设“2 只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件 A，设盒子中蜜蜂为 x 只， 则由题意，得 P(A)C 2 11x C211 21 55， 所以(11x)(10 x)42， 解得 x4 或 x17(舍去)， 故盒子中蜜蜂有 4 只 (2)由(1)知，盒子中蜜蜂有 4 只，则 X 的取值为 0,1,2,3， P(X0)C 3 7 C311 7 33，P(X1) C14C27 C311 28 55， P(X2)C

30、 2 4C17 C311 14 55， P(X3)C 3 4 C311 4 165. 故 X 的分布列为 X0123 P 7 33 28 55 14 55 4 165 均值 E(X)0 7 331 28 552 14 553 4 165 12 11. 15 (2017黄冈调研)已知 6 只小白鼠中有 1 只感染了病毒， 需要对 6 只小白鼠进行病毒 DNA 化验来确定哪一只受到了感染下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染 病毒的小白鼠为止方案乙：将 6 只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠 的待化验物质混合在一起化验， 若化验结果显示含有病毒 DNA， 则表明感染病

31、毒的小白鼠在 这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒 DNA，则在另外一组中逐个进行化验 (1)求执行方案乙化验次数恰好为 2 次的概率； (2)若首次化验的化验费为 10 元，第二次化验的化验费为 8 元，第三次及以后每次化验的化 验费都是 6 元，求方案甲所需化验费的分布列和均值 解(1)执行方案乙化验次数恰好为 2 次的情况分两种： 第一种，先化验一组，结果显示不含病毒 DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含 有病毒 DNA，此种情况的概率为C 3 5 C36 1 C13 1 6；第二种，先化验一组，结果显示含病毒 DNA， 再从中逐个化验

32、，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 2 5 C36 1 C13 1 6. 所以执行方案乙化验次数恰好为 2 次的概率为1 6 1 6 1 3. (2)设用方案甲化验需要的化验费为(单位：元)，则的可能取值为 10,18,24,30,36. P(10)1 6， P(18)5 6 1 5 1 6， P(24)5 6 4 5 1 4 1 6， P(30)5 6 4 5 3 4 1 3 1 6， P(36)5 6 4 5 3 4 2 3 1 3， 则化验费的分布列为 1018243036 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3 所以 E()101 618 1 624 1 630 1 636

33、1 3 77 3 (元) 16(2017江苏)已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球(m，nN*，n2)，这些球除颜色外完 全相同现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2,3，mn 的抽 屉内，其中第 k 次取球放入编号为 k 的抽屉(k1,2,3，mn). 123mn (1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p； (2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是 X 的均值，证明： E(X) n mnn1. (1)解编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率为 pC n1 mn1 Cnmn n mn. (2)证明随机变量 X 的分布列为 X 1

34、n 1 n1 1 n2 1 k 1 nm P Cn 1 n1 Cnmn Cn 1 n Cnmn Cn 1 n1 Cnmn Cn 1 k1 Cnmn Cn 1 nm1 Cnmn 随机变量 X 的均值为 E(X)错误错误!1 k Cn 1 k1 Cnmn 1 Cnmn错误 错误!1 k k1！ n1！kn！. 所以 E(X) 1 Cnmn错误 错误! k2！ n1！kn！ 1 n1Cnmn错误 错误! k2！ n2！kn！ 1 n1Cnmn(1C n2 n1Cn 2 nCn 2 mn2) 1 n1Cnmn(C n1 n1Cn 2 n1Cn 2 nCn 2 mn2) 1 n1Cnmn(C n1 nCn 2 nCn 2 mn2) 1 n1Cnmn(C n1 mn2Cn 2 mn2) Cn 1 mn1 n1Cnmn n mnn1， 即 E(X) n mnn1.