（步步高 高中理科数学 教学资料）11.3.docx

1、11.3变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例 最新考纲考情考向分析 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图 认识变量间的相关关系 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方 程系数公式建立线性回归方程 3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用 4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用. 回归分析，独立性检验是全国卷高考 重点考查的内容，必考一个解答题， 选择、填空题中也会出现主要考查 回归方程，相关系数，利用回归方程 进行预测，独立性检验的应用等. 1两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系

2、，我们将它 称为正相关 (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关 (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关 关系，这条直线叫做回归直线 2回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法 (2)回归方程 方程y b xa 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn) 的回归方程，其中a ，b 是待定参数 b n i1 xi x yi y n i1 xi x 2 n i1xiyin xy

3、n i1x 2 in x2 ， a y b x . 3回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中( x ， y )称为样本 点的中心 (3)相关系数 当 r0 时，表明两个变量正相关； 当 rR22； x，y 之间不能建立线性回归方程 答案 解析在散点图中， 点散布在从左上角到右下角的区域， 因此 x， y 是负相关关系， 故正确； 由散点图知用 y 2 1e c x c拟合比用y b xa 拟合效果要好，则 R21R22，故正确；x，y 之间 可以建立线性回归

4、方程，但拟合效果不好，故错误 思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角， 两个变量负相关 (2)相关系数：r0 时，正相关；r0 时，正相关；b 0 时，负相关 题型二题型二线性回归分析线性回归分析 典例 (2016全国)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线 图 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测

5、2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注： 参考数据：错误错误!i9.32，错误错误!iyi40.17,错误错误!0.55， 72.646. 参考公式：相关系数 r错误错误!， 回归方程y a b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b 错误错误!，a y b t . 解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t 4，错误错误!(ti t )228,错误错误!0.55. 错误错误!(ti t )(yi y )错误错误!iyi t 错误错误!i 40.1749.322.89， 所以 r 2.89 0.5522.6460.99. 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99， 说明 y

6、与 t 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归 模型拟合 y 与 t 的关系 (2)由 y 9.32 7 1.331 及(1)得 b 错误错误!2.89 28 0.103， a y b t 1.3310.10340.92. 所以 y 关于 t 的回归方程为y 0.920.10t. 将 2016 年对应的 t9 代入回归方程得 y 0.920.1091.82. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨 思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程 利用公式，求出回归系数b ，a . 待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数 (2)利用回归方

7、程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值 (3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b . (4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于 1 时，两变量的线性相关性 越强 跟踪训练 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对 年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i 1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 xyw 错误错误!(xi x )2 错误错误!(wi w )2 错误错误!(xi x )(yi y ) 错误错误!(wi

8、 w )(yi y ) 46.65636.8289.81.61 469108.8 表中 wi xi， w 1 8错误 错误!i. (1)根据散点图判断，yabx 与 ycdx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题： 年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，

9、vn)，其回归直线v u 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为 错误错误!， v u . 解(1)由散点图可以判断， ycdx适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 (2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 d 错误错误!108.8 1.6 68， c y d w 563686.8100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y 100.668w， 因此 y 关于 x 的回归方程为y 100.668 x. (3)由(2)知，当 x49 时， 年销售量 y 的预报值y 100.668 49576.6， 年利润 z 的预报值z 576.60.24966.32.

10、 根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 z 0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12. 所以当 x13.6 2 6.8，即 x46.24 时，z 取得最大值 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大 题型三题型三独立性检验独立性检验 典例 (2017全国)海水养殖场进行某水产品的新、 旧网箱养殖方法的产量对比， 收获时各随 机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下： (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养 殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率； (2)填

11、写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量50 kg箱产量50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01) 附： P(K2k0)0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828 K2 nadbc2 abcdacbd. 解(1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不 低于 50 kg” 由题意知，P(A)P(BC)P(B)P(C) 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为 (0.0120.0140.0240.0340

12、.040)50.62， 故 P(B)的估计值为 0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 (0.0680.0460.0100.008)50.66， 故 P(C)的估计值为 0.66. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.620.660.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下： 箱产量6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关 (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中， 箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.0040.020 0.044)50.340.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 500.50.34 0.068 52.35 (kg)

13、 思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 通过计算 K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大 通过计算|adbc|的大小判断：|adbc|越大，两变量有关联的可能性越大 (2)独立性检验的一般步骤 根据样本数据制成 22 列联表 根据公式 K2 nadbc2 abacbdcd计算 K 2的观测值 k. 比较 k 与临界值的大小关系，作统计推断 跟踪训练 (2017石家庄质检)微信是现代生活进行信息交流的重要工具， 某公司 200 名员工中 90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人，其余的员工每天使用微 信的时间在一小时以上， 若将员工分成青

14、年(年龄小于 40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶 段，那么使用微信的人中 75%是青年人若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使 用微信，那么经常使用微信的员工中有2 3是青年人 (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出 22 列联表： 青年人中年人合计 经常使用微信 不经常使用微信 合计 (2)根据 22 列表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有 99.9%的把握认为“经常使用 微信与年龄有关”？ 附：K2 nadbc2 abcdacbd. P(K2k0)0.0100.001 k06.63510.828 解(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有

15、20090%180(人) 经常使用微信的有 18060120(人)， 其中青年人有 1202 380(人)， 使用微信的人中青年人有 18075%135(人)， 故 22 列联表如下： 青年人中年人合计 经常使用微信8040120 不经常使用微信55560 合计13545180 (2)将列联表中数据代入公式可得： K21808055540 2 1206013545 13.333， 由于 13.33310.828，所以有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关” 求线性回归方程的方法技巧 典例 (12 分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份2006200820102

16、0122014 需求量/万吨236246257276286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y b xa ； (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地 2018 年的粮食需求量 思想方法指导 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法主要解决：(1)确定特定量之 间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观测值，预测变 量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程 规范解答 解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将 数据处理如下表 年份201042024 需求257211101929 对处

17、理的数据，容易算得 x 0， y 3.2，4 分 b 421211219429503.2 42222242502 260 40 6.5， a y b x 3.2.6 分 由上述计算结果，知所求线性回归方程为 y 2576.5(x2010)3.2， 即y 6.5(x2010)260.2.8 分 (2)利用所求得的线性回归方程，可预测 2018 年的粮食需求量大约为 6.5(20182010)260.26.58260.2312.2(万吨)12 分 1根据如下样本数据： x345678 y4.02.50.50.50.40.1 得到的线性回归方程为y b xa ，则() A.a 0，b 0B.a 0，

18、b 0 C.a 0D.a 0，b 0 答案B 解析根据给出的数据可发现： 整体上 y 与 x 呈现负相关， 所以b 0，故选 B. 2(2017江西南城一中、高安中学等九校联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线 城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了 100 位育 龄妇女，结果如下表 非一线一线总计 愿生452065 不愿生132235 总计5842100 由 K2 nadbc2 abcdacbd， 得 K210045222013 2 65355842 9.616. 参照下表， P(K2k0)0.0500.0100.001 k03.8416.63510

19、.828 正确的结论是() A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 答案C 解析K29.6166.635，有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选 C. 3对具有线性相关关系的变量 x，y 有一组观测数据(xi，yi)(i1,2，8)，其线性回归方程 是y 1 3xa ，且 x1x2x3x82(y1y2y3y8)6，则实数a 的值是() A. 1 16 B.1 8

20、C.1 4 D.1 2 答案B 解析依题意可知样本点的中心为 3 4， 3 8 ， 则3 8 1 3 3 4a ，解得a 1 8. 4(2017山东)为了研究某班学生的脚长 x(单位：厘米)和身高 y(单位：厘米)的关系，从该班 随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其线性 回归方程为y b xa .已知 10 i1xi225， 10 i1yi1 600，b 4.该班某学生的脚长为 24，据此估计 其身高为() A160B163C166D170 答案C 解析 10 i1xi225， x 1 10 10 i1xi22.5. 10 i1yi1 60

21、0， y 1 10 10 i1yi160. 又b 4，a y b x 160422.570. 线性回归方程为y 4x70. 将 x24 代入上式，得y 42470166.故选 C. 5(2018湖南永州模拟)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表： x123456 y021334 假设根据上表数据所得的线性回归方程为y b xa .若某同学根据上表中的前两组数据 (1,0)和(2,2)求得的直线方程为 ybxa，则以下结论正确的是() A.b b，a aB.b b，a a C.b aD.b b，a a 答案C 解析由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为 y2x2，b2，a2.而利用线

22、性回 归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b 错误错误! 5867 2 13 6 916 7 2 2 5 7，a y b x 13 6 5 7 7 2 1 3，所以b a. 6某地 2009 年至 2015 年中，每年的人口总数 y(单位：万)的数据如下表： 年份2009201020112012201320142015 年份代号 t0123456 人口总数 y888991011 若 t 与 y 之间具有线性相关关系，则其回归直线y b ta 一定过点() A(3,9)B(9,3) C(6,14)D(4,11) 答案A 解析 t 1 7(0123456)3， y 1 7(888991011)9

23、， 所以回归直线y b ta 一定过点(3,9) 7(2017遵义联考)某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 m 与 年销售额 t(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据： 年广告支出 m24568 年销售额 t3040p5070 经测算，年广告支出 m 与年销售额 t 满足线性回归方程t 6.5m17.5，则 p_. 答案60 解析由于回归直线过样本点的中心， m 5， t 190p 5 ， 代入t 6.5m17.5，解得 p60. 8以下四个命题，其中正确的序号是_ 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，

24、这样的抽样是分层抽样； 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1； 在线性回归方程y 0.2x12 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量y 平均增加 0.2 个单位； 对分类变量 X 与 Y 的统计量 K2来说，K2越小，“X 与 Y 有关系”的把握程度越大 答案 解析是系统抽样；对于，统计量 K2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小 9为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取 50 名学生，得到如图所 示 22 列联表： 理科文科总计 男131023 女72027 总计203050 已知 P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.02

25、5.根据表中数据，得到 K2的观测值 k 5013201072 23272030 4.844，则有_的把握认为选修文科与性别有关 答案95% 解析由题意，K2501320107 2 23272030 4.844，因为 5.0244.8443.841，所以有 95%的 把握认为选修文科与性别有关 10(2017武邑模拟)对具有线性相关关系的变量 x，y 有 10 组观测数据(xi，yi)(i1,2， 10)，其线性回归方程为y 32x，若 10 i1xi17，则 10 i1yi_. 答案4 解析依题意 x 17 101.7，而直线y 32x 一定经过( x ， y )， y 32 x 321.7

26、0.4， 10 i1yi0.4104. 11某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元)的数据如下表： 年份2009201020112012201320142015 年份代号 t1234567 人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程； (2)利用(1)中的线性回归方程， 分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化 情况，并预测该地区 2018 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b 错误错误!，a y b t . 解(1)由所给数据计算得

27、t 1 7(1234567)4， y 1 7(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3， 错误错误!(ti t )2941014928， 错误错误!(ti t )(yi y )(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.5 20.931.614， b 错误错误!14 280.5， a y b t 4.30.542.3， 所求线性回归方程为y 0.5t2.3. (2)由(1)知，b 0.50，故 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平 均每年增加 0.5 千元 将 2018 年的年份代号 t10 代入(1)中的线性回归方程，得y 0.5102

28、.37.3， 故预测该地区 2018 年农村居民家庭人均纯收入为 7.3 千元 12 (2017西安质检)某省会城市地铁将于 2017 年 6 月开始运营， 为此召开了一个价格听证会， 拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了 50 人，他们的收入与态度如下： 月收入 (单位：百元) 15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75 赞成定价者 人数 123534 认为价格偏 高者人数 4812521 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认 为价格偏高者”的月平均收入的差异是多少(结果保留 2 位小数)； (2)由以上统计数据填

29、下面 22 列联表， 分析是否有 99%的把握认为“月收入以 55 百元为分 界点对地铁定价的态度有差异” 月收入不低于 55 百元的人数月收入低于 55 百元的人数总计 认为价格偏高者 赞成定价者 总计 附：K2 nadbc2 abcdacbd. P(K2k0)0.050.01 k03.8416.635 解(1)“赞成定价者”的月平均收入为 x1201302403505603704 123534 50.56. “认为价格偏高者”的月平均收入为 x22043084012505602701 4812521 38.75， “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是 x1x250.563

30、8.75 11.81(百元) (2)根据条件可得 22 列联表如下： 月收入不低于 55 百元的人数月收入低于 55 百元的人数总计 认为价格偏高者32932 赞成定价者71118 总计104050 K250311729 2 10401832 6.2723.841， 所以有 95%的把握认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差 异 (2)从不支持“延迟退休年龄政策”的人中抽取 8 人，则 45 岁以下的应抽 6 人，45 岁及 45 岁以上的应抽 2 人 则 8 人中随机抽 2 人共有 C2828 种抽法， 至少有 1 人是 45 岁及 45 岁以上共有 C16C1

31、2C2213(种)抽法，故所求概率为13 28. 15(2018青岛模拟)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关” 作了一次调查，其中女生人数是男生人数的1 2，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的 1 6，女生喜 欢韩剧的人数占女生人数的2 3.若有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有 _人. P(K2k0)0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828 答案12 解析设男生人数为 x，由题意可得列联表如下： 喜欢韩剧不喜欢韩剧总计 男生 x 6 5x 6 x 女生 x 3 x 6 x 2 总计 x 2 x 3x 2 若有 95%的把握

32、认为是否喜欢韩剧和性别有关， 则 k3.841， 即 k 3x 2 x 6 x 6 5x 6 x 3 2 xx 2 x 2x 3x 8 3.841， 解得 x10.243. 因为x 6， x 2为整数，所以若有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有 12 人 16(2017包头一模)如图是某企业 2010 年至 2016 年的污水净化量(单位：吨)的折线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20102016. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 和 t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 y 关于 t 的回归方程，预测 2017 年该企业的污水净化量； (3)

33、请用数据说明回归方程预报的效果 参考数据： y 54， 7 i1 (ti t )(yi y )21， 143.74， 7 i1 (yiy i)29 4. 参考公式：相关系数 r n i1 ti t yi y n i1 ti t 2 n i1 yi y 2 ， 线性回归方程y a b t，b n i1 ti t yi y n i1 ti t 2 ，a y b t . 反映回归效果的公式为：R21 n i1 yiy i2 n i1 yi y 2 ，其中 R2越接近于 1，表示回归的效果越好 解(1)由折线图中的数据得， t 4， 7 i1 (ti t )228， 7 i1 (yi y )218，

34、所以 r 21 28180.935. 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.935，说明 y 与 t 的线性相关程度相当大，所以可以用线性回 归模型拟合 y 与 t 的关系 (2)因为 y 54，b 7 i1 ti t yi y 7 i1 ti t 2 21 28 3 4， 所以a y b t 543 4451， 所以 y 关于 t 的线性回归方程为y b ta 3 4t51. 将 2017 年对应的 t8 代入得y 3 485157， 所以预测 2017 年该企业污水净化量约为 57 吨 (3)因为 R21 7 i1 yiy i2 7 i1 yi y 2 19 4 1 18 11 8 7 80.875， 所以“污水净化量的差异”有 87.5%是由年份引起的， 这说明回归方程预报的效果是良好的