（步步高 高中理科数学 教学资料）13.1.docx

1、13.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 最新考纲考情考向分析 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类 比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”， 并能运用“三段论”进行一些简单推理 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 以理解类比推理、归纳推理和演绎推 理的推理方法为主，常以演绎推理的 方法根据几个人的不同说法作出推 理判断进行命题注重培养学生的推 理能力；在高考中以填空题的形式进 行考查，属于中、高档题. 1合情推理 (1)归纳推理 定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推

2、理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 特点：由部分到整体、由个别到一般的推理 (2)类比推理 定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) 特点：由特殊到特殊的推理 (3)合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类 比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 2演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之， 演绎推理是由一般到特殊的推理 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包

3、括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确() (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理() (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适() (4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段 论推理，但其结论是错误的() (5)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 ann(nN*)() (

4、6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确() 题组二教材改编 2P71 例 1已知在数列an中，a11，当 n2 时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an的表达式是() Aan3n1Ban4n3 Cann2Dan3n 1 答案C 解析a2a134，a3a259，a4a3716，a112，a222，a332，a442，猜想 ann2. 3 P84A 组 T5在等差数列an中， 若 a100， 则有 a1a2ana1a2a19n(n19， nN*)成立， 类比上述性质， 在等比数列bn中， 若 b91， 则存在的等式为_ 答案b1b2bnb1b2b17n(n

5、17，nN*) 解析利用类比推理，借助等比数列的性质， b29b1nb17n，可知存在的等式为 b1b2bnb1b2b17n(n0(i1,2,3，n)，观察下列不等式： a1a2 2 a1a2； a1a2a3 3 3 a1a2a3； a1a2a3a4 4 4 a1a2a3a4； 照此规律，当 nN*，n2 时，a1a2an n _. 答案 n a1a2an 解析根据题意得a1a2an n n a1a2an(nN*，n2) 命题点 3与数列有关的推理 典例 (2017湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式： 123n1 2n(n1)； 1361 2n(n1) 1 6n(n1)(n2)； 1410

6、1 6n(n1)(n2) 1 24n(n1)(n2)(n3)； 可以推测，1515 1 24n(n1)(n2)(n3)_. 答案 1 120n(n1)(n2)(n3)(n4)(nN *) 解析根据式子中的规律可知，等式右侧为 1 54321n(n1)(n2)(n3)(n4) 1 120n(n1)(n2)(n3)(n4) (nN *) 命题点 4与图形变化有关的推理 典例 (2017大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为() A21B34C52D55 答案D 解析由 211,312,523 知，从第三项起，

7、每一项都等于前两项的和，则第 6 年为 8，第 7 年为 13，第 8 年为 21，第 9 年为 34，第 10 年为 55，故选 D. 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 (2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解 (3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项 数的关系，列出即可 (4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真 伪性 跟踪训练 (1)将自然数 0,1,2，按照如下形式进行摆列： 根据以上规

8、律判定，从 2 016 到 2 018 的箭头方向是() 答案A 解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，01， 箭头垂直指下， 45 箭头也是垂直指下， 89 也是如此， 而 2 0164504， 所以 2 0162 017 也是箭头垂直指下，之后 2 0172 018 的箭头是水平向右，故选 A. (2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是 1 个点(算第 1 层)，第 2 层每边有 2 个点，第 3 层每边有 3 个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有 169 个点，那么它的层数为() A6B7C8D9 答案C 解析由题意知，第 1 层的点数为 1，第

9、2 层的点数为 6，第 3 层的点数为 26，第 4 层的 点数为 36，第 5 层的点数为 46，第 n(n2，nN*)层的点数为 6(n1)设一个点 阵有 n(n2，nN*)层，则共有的点数为 16626(n1)16nn1 2 3n23n 1，由题意，得 3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以 n8，故共有 8 层 题型二题型二类比推理类比推理 典例 (1)等差数列an的公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列 Sn n 为等差数列，公差为d 2.类似 地，若各项均为正数的等比数列bn的公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则等比数列 n Tn的公比 为() A.q 2 Bq2 C

10、. qD. n q 答案C 解析由题设，得 Tnb1b2b3bnb1b1qb1q2b1qn 1bn 1q1 2(n1) (1) 2 1 nn n b q . n Tn 1 2 1 n bq ，等比数列 n Tn的公比为 q，故选 C. (2)在平面上，设 ha，hb，hc是ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的 距离分别为 Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：Pa ha Pb hb Pc hc1.把它类比到空间，则三棱锥中 的类似结论为_ 答案 Pa ha Pb hb Pc hc Pd hd1 解析设 ha，hb，hc，hd分别是三棱锥 ABCD 四个面上的高，P 为三棱

11、锥 ABCD 内任一 点，P 到相应四个面的距离分别为 Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：Pa ha Pb hb Pc hc Pd hd 1. 思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜 想其中找到合适的类比对象是解题的关键 (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比； 低维的与高维的类比； 等差数列与等比数列类比； 数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等 跟踪训练 (2018晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261 年)一书中， 用如下图 1 所示的三角形，解释二项和的乘方规律在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家布

12、莱士帕斯卡的著作(1655 年)介绍了这个三角形近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国， 所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图 1,17 世纪德国数学家莱布尼茨发 现了“莱布尼茨三角形”如下图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：CrnCr 1 nCr 1 n1，其 中 n 是行数， rN.请类比上式， 在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是_ 11 121 1331 14641 15101051 C0nC1nCrnCn 1 nCnn 图 1 1 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 1 12 1 4 1 5 1 20 1 30 1 20 1

13、 5 1 6 1 30 1 60 1 60 1 30 1 6 1 C1n1C0n 1 C1n1C1n 1 C1n1Crn 1 C1n1Cn 1 n 1 C1n1Cnn 图 2 答案 1 C1n1Crn 1 C1n2Crn1 1 C1n2Cr 1 n1 解析类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 1 C1n1，而相邻两项之和是上一 行的两者相拱之数，所以类比式子 CrnCr 1 nCr 1 n1， 有 1 C1n1Crn 1 C1n2Crn1 1 C1n2Cr 1 n1. 题型三题型三演绎推理演绎推理 典例 (2018保定模拟)数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2

14、 n Sn(nN*)证明： (1)数列 Sn n 是等比数列； (2)Sn14an. 证明(1)an1Sn1Sn，an1n2 n Sn， (n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn. Sn1 n12 Sn n ，又S1 1 10，(小前提) 故 Sn n 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知 Sn1 n14 Sn1 n1(n2)， Sn14(n1) Sn1 n14 n12 n1 Sn1 4an(n2)，(小前提) 又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提) 对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(

15、结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理， 常用的一般模式为三段论， 演绎推理的前提和结 论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找 一个使结论成立的充分条件作为大前提 跟踪训练 (1)(2017全国)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老 师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩， 给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则() A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩

16、 D乙、丁可以知道自己的成绩 答案D 解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1 个优秀、1 个良 好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时， 乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀” 时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩 故选 D. (2)已知函数 yf(x)满足：对任意 a，bR，ab，都有 af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明： f(x)为 R 上的单调增函数 证明设 x1，x2R，取 x1x1f(x2)x2f(x1)， x1f(x1)f(x2

17、)x2f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)(x2x1)0， x10，f(x2)f(x1) yf(x)为 R 上的单调增函数 高考中的合情推理问题 考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度 为中档 解决此类问题的注意事项与常用方法： (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再 进行归纳 (2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问 题 典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研 究过如图所示的三角形数： 将三角形数 1,3,6,1

18、0，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个 新数列bn，可以推测： b2 018是数列an的第_项； b2k1_.(用 k 表示) (2)设S， T是R的两个非空子集， 如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足： ()Tf(x)|xS； ()对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下 集合对不是“保序同构”的是_ AN*，BN； Ax|1x3，Bx|x8 或 0 x10； Ax|0 x1，BR； AZ，BQ. 解析(1)an12nnn1 2 ， b145 2 a4， b256 2 a5， b3925 2 a9， b

19、42511 2 a10， b51435 2 a14， b63516 2 a15， b2 018 2 018 2 5 2 018 2 51 2 a5 045. 由知 b2k1 2k11 2 51 2k11 2 5 2 5k5k1 2 . (2)对于，取 f(x)x1，xN*， 所以 AN*，BN 是“保序同构”的，故排除； 对于，取 f(x) 8，x1， x1，1x0， x21，0 x3， 所以 Ax|1x3，Bx|x8 或 0 x10是“保序同构”的，故排除； 对于，取 f(x)tan x 2 (0 x1)， 所以 Ax|0 x1，BR 是“保序同构”的，故排除. 不符合，故填. 答案(1)5

20、 0455k5k1 2 (2) 1(2018衡水模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数 B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数 C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数 D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 答案B 解析A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故 A 错误；C，D 都 不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以 C，D 都不正确，只有 B 正确，故选 B.

21、2(2018武汉模拟)观察下列各式： 112,23432,3456752,4567891072，可以得出的一般结论 是() An(n1)(n2)(3n2)n2 Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 Cn(n1)(n2)(3n1)n2 Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2 答案B 解析由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有 2n1 项，且第一项为 n，则 最后一项为 3n2，等式右边均为 2n1 的平方 3(2016北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次 从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙 盒，

22、否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则() A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C乙盒中红球不多于丙盒中红球 D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案B 解析取两个球往盒子中放有 4 种情况： 红红，则乙盒中红球数加 1； 黑黑，则丙盒中黑球数加 1； 红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加 1； 黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加 1. 因为红球和黑球个数一样多，所以和的情况一样多和的情况完全随机和对 B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的， 所以对 B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样

23、综上，选 B. 4(2017安徽江淮十校三联)我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失 弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限 的转化过程，比如在2 2 2中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值 x， 这可以通过方程 2xx 确定出来 x2，类似地不难得到 1 1 1 1 1 等于() A. 51 2 B. 51 2 C.1 5 2 D.1 5 2 答案C 解析设 1 1 1 1 1 x，则 11 xx，即 x 2x10，解得 x1 5 2 x1 5 2 舍 . 故 1 1 1 1 1 1 5 2 ，故选 C. 5(2017宜昌一中月考)老

24、师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老 师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好” 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是() A甲、丙B乙、丁 C丙、丁D乙、丙 答案D 解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对 的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为 D. 6由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “mnnm”类比得到“abba”； “(mn)tmtnt”类比得到“(ab)ca

25、cbc”； “(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”； “t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”； “|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”； “ac bc a b”类比得到“ ac bc a b” 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是() A1B2C3D4 答案B 解析正确；错误 7古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，第 n 个 三角形数为nn1 2 1 2n 21 2n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形 数中第 n 个数的表达式： 三角形数N(n,3)1 2n 21 2

26、n， 正方形数N(n,4)n2， 五边形数N(n,5)3 2n 21 2n， 六边形数N(n,6)2n2n 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)_. 答案1 000 解析由 N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测： 当 k 为偶数时，N(n，k)k2 2 n24k 2 n， N(10,24)242 2 100424 2 10 1 1001001 000. 8若an是等差数列，m，n，p 是互不相等的正整数，则有：(mn)ap(np)am(pm)an 0，类比上述性质，相应地，对等比数列bn，m，n，p 是互不相等的正整数，有 _ 答案bm n pbn p mbp

27、 m n1 解析类比已知条件中等差数列的等式(mn)ap(np)am(pm)an0，结合等比数列通 项公式可得出等比数列的结论为：bm n pbn p mbp m n1. 9(2017青岛模拟)若数列an的通项公式为 an 1 n12(nN *)，记 f(n)(1a1)(1a2)(1 an)，试通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出 f(n)_. 答案 n2 2n2 解析f(1)1a111 4 3 4， f(2)(1a1)(1a2)3 4 11 9 2 3 4 6， f(3)(1a1)(1a2)(1a3)2 3 1 1 16 5 8， 推测 f(n) n2 2n2. 10观察下列不

28、等式： 1 1 22 3 2， 1 1 22 1 32 5 3， 1 1 22 1 32 1 42 7 4， 照此规律，第五个不等式为_ 答案1 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 11 6 解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母 相等，且每行右端分数的分子构成等差数列 故第五个不等式为 1 1 22 1 32 1 42 1 52 1 620，f(1)0，证明： (1)a0 且2b a0，f(1)0， 所以 c0,3a2bc0. 由 abc0，消去 b 得 ac0； 再由条件 abc0，消去 c 得 ab0， 所以2b a1. (2)因为抛

29、物线 f(x)3ax22bxc 的顶点坐标为 b 3a， 3acb2 3a， 又因为2b a1，所以 1 3 b 3a0，f(1)0， 而 f b 3a 3acb 2 3a a 2c2ac 3a ac 2 23c2 4 3a b0)所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体 (称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出 椭球体体积，其体积等于_ 答案 4 3b 2a 解析椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，现构造两个底面半径为 b，高为 a 的圆柱，然后 在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出

30、椭球的体积 V2(V圆柱V圆锥)2 b2a1 3b 2a 4 3b 2a. 16(2017青岛模拟)对于三次函数 f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设 f(x)是函数 yf(x)的导数，f(x)是 f(x)的导数，若方程 f(x)0 有实数解 x0，则称点(x0，f(x0)为函数 yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次 函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若 f(x)1 3x 31 2x 23x5 12，请你根据这一发 现， (1)求函数 f(x)的对称中心； (2)计算 f 1 2 017 f 2 2 017 f 3 2 017 f

31、 4 2 017 f 2 016 2 017 . 解(1)f(x)x2x3，f(x)2x1， 由 f(x)0，即 2x10，解得 x1 2. f 1 2 1 3 1 2 31 2 1 2 231 2 5 121. 由题中给出的结论，可知函数 f(x)1 3x 31 2x 23x5 12的对称中心为 1 2，1. (2)由(1)知函数 f(x)1 3x 31 2x 23x5 12的对称中心为 1 2，1， 所以 f 1 2xf 1 2x2， 即 f(x)f(1x)2. 故 f 1 2 017 f 2 016 2 017 2， f 2 2 017 f 2 015 2 017 2， f 3 2 017 f 2 014 2 017 2， ， f 2 016 2 017 f 1 2 017 2. 所以 f 1 2 017 f 2 2 017 f 3 2 017 f 4 2 017 f 2 016 2 017 1 222 0162 016.