(步步高 高中理科数学 教学资料)9.3圆的方程.docx
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1、9.3圆的方程圆的方程 最新考纲考情考向分析 掌握确定圆的几何要素,掌 握圆的标准方程与一般方程. 以考查圆的方程,与圆有关的轨迹问题、最值问题也 是考查的热点,属中档题题型主要以选择、填空题 为主,要求相对较低,但内容很重要,有时也会在解 答题中出现. 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准式(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心为(a,b) 半径为 r 一般式x2y2DxEyF0 充要条件:D2E24F0 圆心坐标: D 2, E 2 半径 r1 2 D2E24F 知识拓展 1确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤: (1
2、)根据题意,选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组 (3)解出 a,b,r 或 D,E,F 代入标准方程或一般方程 2点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0a)2(y0b)2r2; (2)点在圆外:(x0a)2(y0b)2r2; (3)点在圆内:(x0a)2(y0b)20.() (4)方程 x22axy20 一定表示圆() (5)若点 M(x0,y0)在圆 x2y2DxEyF0 外,则 x20y20Dx0Ey0F0.() (6)方程(xa)2(yb)2t2(t
3、R)表示圆心为(a,b),半径为 t 的圆() 题组二教材改编 2P132A 组 T3(2018南昌模拟)以点(3,1)为圆心,并且与直线 3x4y0 相切的圆的方 程是() A(x3)2(y1)21 B(x3)2(y1)21 C(x3)2(y1)21 D(x3)2(y1)21 答案A 3 P124A 组 T4圆 C 的圆心在 x 轴上, 并且过点 A(1,1)和 B(1,3), 则圆 C 的方程为_ 答案(x2)2y210 解析设圆心坐标为 C(a,0), 点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上, |CA|CB|, 即 a121 a129, 解得 a2, 圆心为 C(2,0), 半径|
4、CA| 2121 10, 圆 C 的方程为(x2)2y210. 题组三易错自纠 4若方程 x2y2mx2y30 表示圆,则 m 的取值范围是() A(, 2)( 2,) B(,2 2)(2 2,) C(, 3)( 3,) D(,2 3)(2 3,) 答案B 解析将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得 xm 2 2(y1)2m2 4 2. 由其表示圆可得m 2 4 20,解得 m2 2. 5若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部,则实数 a 的取值范围是() A1a1B0a1 或 a1Da4 答案A 解析点(1,1)在圆内, (1a)2(a1)24,即1a0),又圆与直线 4x3
5、y0 相 切, |4a3| 5 1,解得 a2 或 a1 2(舍去) 圆的标准方程为(x2)2(y1)21. 故选 A. 题型一题型一圆的方程圆的方程 典例 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 xy10 相切于点 B(2, 1), 则圆 C 的方程为_ 答案(x3)2y22 解析方法一由已知 kAB0,所以 AB 的中垂线方程为 x3. 过点 B 且垂直于直线 xy10 的直线方程为 y1(x2),即 xy30, 联立,解得 x3, y0, 所以圆心坐标为(3,0), 半径 r 432102 2, 所以圆 C 的方程为(x3)2y22. 方法二设圆方程为(xa)2(yb)2r2(r0),
6、 因为点 A(4,1),B(2,1)都在圆上, 故 4a21b2r2, 2a21b2r2, 又因为b1 a21,解得 a3,b0,r 2, 故所求圆的方程为(x3)2y22. (2)已知圆 C 经过 P(2,4),Q(3,1)两点,且在 x 轴上截得的弦长等于 6,则圆 C 的方程为 _ 答案x2y22x4y80 或 x2y26x8y0 解析设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0), 将 P,Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20, 3DEF10. 又令 y0,得 x2DxF0. 设 x1,x2是方程的两根, 由|x1x2|6,即(x1x2)24x1x236, 得 D24F36,
7、 由解得 D2,E4,F8 或 D6,E8,F0. 故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0. 思维升华 (1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程,求出 a,b,r 的值; 选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D,E,F 的方程组,进而求出 D,E,F 的值 跟踪训练 (2017广东七校联考)一个圆与 y 轴相切,圆心在直线 x3y0 上,且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7,则该圆的方程为_ 答案x2y26x2y10 或 x2y26x2y10 解析方法一所求圆的圆心在直线 x3y
8、0 上, 设所求圆的圆心为(3a,a), 又所求圆与 y 轴相切,半径 r3|a|, 又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7,圆心(3a,a)到直线 yx 的距离 d|2a| 2 , d2( 7)2r2,即 2a279a2,a1. 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29,即 x2y26x2y10 或 x2 y26x2y10. 方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2, 则圆心(a,b)到直线 yx 的距离为|ab| 2 , r2ab 2 2 7,即 2r2(ab)214. 由于所求圆与 y 轴相切,r2a2, 又所求圆的圆心在直线 x3y0 上,a3b0,
9、 联立,解得 a3, b1, r29 或 a3, b1, r29. 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29,即 x2y26x2y10 或 x2 y26x2y10. 方法三设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0,则圆心坐标为 D 2 ,E 2 , 半径 r1 2 D2E24F. 在圆的方程中,令 x0,得 y2EyF0. 由于所求圆与 y 轴相切,0,则 E24F. 圆心 D 2, E 2 到直线 yx 的距离为 d| D 2 E 2| 2 , 由已知得 d2( 7)2r2, 即(DE)2562(D2E24F) 又圆心 D 2 ,E 2 在直线 x3y0 上, D3E0
10、. 联立,解得 D6, E2, F1 或 D6, E2, F1. 故所求圆的方程为 x2y26x2y10 或 x2y26x2y10. 题型二题型二与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 典例 已知点(x,y)在圆(x2)2(y3)21 上,求 xy 的最大值和最小值 解设 txy,则 yxt,t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距, xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与 圆相切时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|23t| 2 1, 解得 t 21 或 t 21. xy 的最大值为 21,最小值为 21. 引申探究
11、1在本例的条件下,求y x的最大值和最小值 解 y x可视为点(x, y)与原点连线的斜率, y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的 直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为 ykx, 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|2k3| k21 1,解得 k22 3 3 或 k22 3 3 ,y x的最大值为2 2 3 3 ,最小值为22 3 3 . 2在本例的条件下,求 x2y22x4y5的最大值和最小值 解x2y22x4y5 x12y22,求它的最值可视为求点(x,y)到定点(1,2)的 距离的最值,可转化为求圆心(2,3)到定点(1,2)
12、的距离与半径的和或差又圆心到定点 (1,2)的距离为 34, x2y22x4y5的最大值为 341,最小值为 341. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几 何性质数形结合求解 (2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 uyb xa型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题; 形如 taxby 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如(xa)2(yb)2 型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离的平方的最值问题 跟踪训练 已知点
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