(步步高 高中理科数学 教学资料)6.4数列求和.docx
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1、6.4数列求和数列求和 最新考纲考情考向分析 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 2.掌握非等差数列、 非等比数列求和的几种常 见方法. 本节以考查分组法、错位相减法、倒序相加 法、裂项相消法求数列前 n 项和为主,识别 出等差(比)数列,直接用公式法也是考查的热 点题型以解答题的形式为主,难度中等或 稍难一般第一问考查求通项,第二问考查 求和,并与不等式、函数、最值等问题综合. 1等差数列的前 n 项和公式 Snna1an 2 na1nn1 2 d. 2等比数列的前 n 项和公式 Sn na1,q1, a1anq 1q a11q n 1q ,q1. 3一些常见数列的前 n 项和公式
2、 (1)1234nnn1 2 . (2)13572n1n2. (3)24682nn(n1) (4)1222n2nn12n1 6 . 知识拓展 数列求和的常用方法 (1)公式法 直接利用等差、等比数列的求和公式求和 (2)分组转化法 把数列转化为几个等差、等比数列,再求解 (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式 1 nn1 1 n 1 n1; 1 2n12n1 1 2 1 2n1 1 2n1 ; 1 n n1 n1 n. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广 (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一
3、个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型,可 采用两项合并求解 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果数列an为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项和 Sna1an 1 1q .() (2)当 n2 时, 1 n21 1 2 1 n1 1 n1 .() (3)求 Sna2a23a3nan之和时,只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减 法求得() (4)数列 1 2n2n1的前 n 项和为 n2 1 2n.( ) (5)推导等差数列求和公式
4、的方法叫做倒序求和法, 利用此法可求得sin21sin22sin23 sin288sin28944.5.() (6)如果数列an是周期为 k 的周期数列,那么 SkmmSk(m,k 为大于 1 的正整数)() 题组二教材改编 2P61A 组 T5一个球从 100 m 高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下, 当它第 10 次着地时,经过的路程是() A100200(12 9) B100100(12 9) C200(12 9) D100(12 9) 答案A 解析第 10 次着地时,经过的路程为 1002(50251002 9)1002100(21 2 229)1002002 1129
5、 12 1 100200(12 9) 3P61A 组 T4(3)12x3x2nxn 1_(x0 且 x1) 答案 1xn 1x2 nxn 1x 解析设 Sn12x3x2nxn 1, 则 xSnx2x23x3nxn, 得(1x)Sn1xx2xn 1nxn 1x n 1x nxn, Sn 1xn 1x2 nxn 1x. 题组三易错自纠 4 (2017潍坊调研)设an是公差不为 0 的等差数列, a12, 且 a1, a3, a6成等比数列, 则an 的前 n 项和 Sn等于() A.n 27n 4 B.n 25n 3 C.2n 23n 4 Dn2n 答案A 解析设等差数列的公差为 d,则 a12,
6、 a322d,a625d. 又a1,a3,a6成等比数列,a23a1a6. 即(22d)22(25d),整理得 2d2d0. d0,d1 2. Snna1nn1 2 dn 2 4 7 4n. 5(2018日照质检)数列an的通项公式为 an(1)n 1(4n3),则它的前 100 项之和 S100等 于() A200B200 C400D400 答案B 解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99 100)4(50)200. 6数列an的通项公式为 anncos n 2 ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 017_. 答案1 008 解析因为数列 anncos
7、 n 2 呈周期性变化,观察此数列规律如下:a10,a22,a30, a44. 故 S4a1a2a3a42. a50,a66,a70,a88, 故 a5a6a7a82,周期 T4. S2 017S2 016a2 0172 016 4 22 017cos 2 017 2 1 008. 题型一题型一分组转化法求和分组转化法求和 典例 (2018合肥质检)已知数列an的前 n 项和 Snn 2n 2 ,nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn2an(1)nan,求数列bn的前 2n 项和 解(1)当 n1 时,a1S11; 当 n2 时,anSnSn1n 2n 2 n1 2n1 2 n
8、. a1也满足 ann, 故数列an的通项公式为 ann. (2)由(1)知 ann,故 bn2n(1)nn. 记数列bn的前 2n 项和为 T2n,则 T2n(212222n)(12342n) 记 A212222n,B12342n, 则 A212 2n 12 22n 12, B(12)(34)(2n1)2nn. 故数列bn的前 2n 项和 T2nAB22n 1n2. 引申探究 本例(2)中,求数列bn的前 n 项和 Tn. 解由(1)知 bn2n(1)nn. 当 n 为偶数时, Tn(21222n)1234(n1)n 22 n1 12 n 2 2n 1n 22; 当 n 为奇数时,Tn(21
9、222n)1234(n2)(n1)n 2n 12n1 2 n 2n 1n 2 5 2. Tn 2n 1n 22,n 为偶数, 2n 1n 2 5 2,n 为奇数. 思维升华 分组转化法求和的常见类型 (1)若 anbncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组求和法求an的前 n 项和 (2)通项公式为 an bn,n 为奇数, cn,n 为偶数 的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列, 可采用分组求和法求和 提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的 和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论 跟踪训练 等差数列an的前 n 项和为 Sn,数列b
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