（步步高 高中理科数学 教学资料）4.3.docx

1、4.3三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 最新考纲考情考向分析 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象， 了解三角函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质 (如单调性、最大值和最小值，图象与 x 轴的 交点等)，理解正切函数在区间 2， 2 内的 单调性. 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉 及三角函数的图象及应用、图象的对称性、 单调性、周期性、最值、零点考查三角函 数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数 形结合思想、 函数与方程思想的应用意识 题 型既有选择题和填空题，又有解答题，中档 难度. 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正

2、弦函数 ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)， 2，1，(，0)， 3 2 ，1 ， (2，0) (2)在余弦函数 ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)， 2，0，(，1)， 3 2 ，0 ， (2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域RR x|xR，且 xk 2 值域1,11,1R 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 递增区间2k 2，2k 2 2k，2kk 2，k 2 递减区间2k 2，2k 3 2 2k，2k无 对称中心(k，0)k 2，0 k 2 ，0 对称轴方程xk

3、2 xk无 知识拓展 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称 中心与对称轴之间的距离是1 4个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 若 f(x)Asin(x)(A，0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kZ)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ysin x 在第一、第四象限是增函数() (2)由 sin 6 2 3 sin 6知， 2 3 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期() (3)正切函数 yt

4、an x 在定义域内是增函数() (4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.() (5)ysin|x|是偶函数() 题组二教材改编 2P35 例 2函数 f(x)cos 2x 4 的最小正周期是_ 答案 3P46A 组 T2y3sin 2x 6 在区间 0， 2 上的值域是_ 答案 3 2，3 解析当 x 0， 2 时，2x 6 6， 5 6 ， sin 2x 6 1 2，1， 故 3sin 2x 6 3 2，3， 即 y3sin 2x 6 的值域为 3 2，3. 4P45T3ytan 2x 的定义域是_ 答案x|x k 2 4，kZ 解析由 2xk 2，kZ，得 x k

5、2 4，kZ， ytan 2x 的定义域是 x|x k 2 4，kZ. 题组三易错自纠 5下列函数中最小正周期为且图象关于直线 x 3对称的是( ) Ay2sin 2x 3By2sin 2x 6 Cy2sin x 2 3Dy2sin 2x 3 答案B 解析函数 y2sin 2x 6 的周期 T2 2 ， 又 sin 2 3 6 1， 函数 y2sin 2x 6 的图象关于直线 x 3对称 6函数 f(x)4sin 32x的单调递减区间是_ 答案 k 12，k 5 12(kZ) 解析f(x)4sin 32x4sin 2x 3 . 所以要求 f(x)的单调递减区间， 只需求 y4sin 2x 3

6、的单调递增区间 由 22k2x 3 22k(kZ)，得 12kx 5 12k(kZ) 所以函数 f(x)的单调递减区间是 12k， 5 12k(kZ) 7cos 23，sin 68，cos 97的大小关系是_ 答案sin 68cos 23cos 97 解析sin 68cos 22， 又 ycos x 在0，180上是减函数， sin 68cos 23cos 97. 题型一题型一三角函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域 1函数 f(x)2tan 2x 6 的定义域是() A. x|x 6B. x|x 12 C. x|xk 6kZD. x|x k 2 6kZ 答案D 解析由正切函数的定义域，得

7、 2x 6k 2，kZ，即 x k 2 6(kZ)，故选 D. 2函数 y sin xcos x的定义域为_ 答案 2k 4，2k 5 4 (kZ) 解析方法一要使函数有意义， 必须使sin xcos x0.利用图象， 在同一坐标系中画出0,2 上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示 在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为 4， 5 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数 的定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ，kZ . 方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) 所以定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ，kZ . 3已知函数 f

8、(x)sin x 6 ，其中 x 3，a，若 f(x)的值域是 1 2，1，则实数 a 的取值 范围是_ 答案 3， 解析x 3，a，x 6 6，a 6 ， 当 x 6 6， 2 时，f(x)的值域为 1 2，1， 由函数的图象(图略)知 2a 6 7 6 ， 3a. 4(2018长沙质检)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 答案 1 2 2，1 解析设 tsin xcos x， 则 t2sin2xcos2x2sin xcos x， sin xcos x1t 2 2 ， 且 2t 2. yt 2 2t 1 2 1 2(t1) 21，t 2， 2 当 t1 时，ymax

9、1； 当 t 2时，ymin1 2 2. 函数的值域为 1 2 2，1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图 象来求解 (2)三角函数值域的不同求法 利用 sin x 和 cos x 的值域直接求； 把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)(A，0)的形式求值域； 通过换元，转换成二次函数求值域 题型二题型二三角函数的单调性三角函数的单调性 命题点 1求三角函数的单调性 典例 (1)函数 f(x)tan 2x 3 的单调递增区间是() A. k 2 12， k 2 5 12 (kZ) B. k 2 12，

10、k 2 5 12 (kZ) C. k 6，k 2 3 (kZ) D. k 12，k 5 12 (kZ) 答案B 解析由 k 22x 3k 2(kZ)， 得k 2 12x k 2 5 12(kZ)， 所以函数 f(x)tan 2x 3 的单调递增区间为 k 2 12， k 2 5 12 (kZ)，故选 B. (2)(2017哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数 y1 2sin x 3 2 cos x x 0， 2的单调递 增区间是_ 答案 0， 6 解析y1 2sin x 3 2 cos xsin x 3 ， 由 2k 2x 32k 2(kZ)， 解得 2k5 6 x2k 6(kZ) 函数的单

11、调递增区间为 2k5 6 ，2k 6 (kZ)， 又 x 0， 2 ，单调递增区间为 0， 6 . 命题点 2根据单调性求参数 典例 已知0，函数 f(x)sin x 4 在 2，上单调递减，则的取值范围是_ 答案 1 2， 5 4 解析由 2x，0，得 2 4x 4 4， 又 ysin x 的单调递减区间为 2k 2，2k 3 2 ，kZ， 所以 2 4 22k， 4 3 2 2k kZ， 解得 4k1 22k 5 4，kZ. 又由 4k1 2 2k5 4 0，kZ 且 2k5 40，kZ，得 k0，所以 1 2， 5 4 . 引申探究 本例中，若已知0，函数 f(x)cos x 4 在 2

12、，上单调递增，则的取值范围是_ 答案 3 2， 7 4 解 析函 数 y cos x 的 单 调 递 增 区 间 为 2k ， 2k ， kZ ， 则 2 42k， 42k kZ， 解得 4k5 22k 1 4，kZ， 又由 4k5 2 2k1 4 0，kZ 且 2k1 40，kZ， 得 k1，所以 3 2， 7 4 . 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中0)的单调区间时， 要视“x”为一个整 体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错 (2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集

13、合间的关系求解 跟踪训练(2017济南模拟)若函数 f(x)sin x(0)在区间 0， 3 上单调递增， 在区间 3， 2 上单调递减，则等于() A.2 3 B.3 2 C2D3 答案B 解析由已知得T 4 3， T4 3 ，2 T 3 2. 题型三题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性三角函数的周期性、奇偶性、对称性 命题点 1三角函数的周期性 典例 (1)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos 2x 6 ，ytan 2x 4 中，最小正周 期为的所有函数为() AB CD 答案A 解析ycos|2x|cos 2x，最小正周期为； 由图象知 y|cos x|的最小正周期为；

14、ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ； ytan 2x 4 的最小正周期 T 2，故选 A. (2)若函数 f(x)2tan kx 3 的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数 k 的值为_ 答案2 或 3 解析由题意得，1 k2， k2k，即 2k， 又 kZ，k2 或 3. 命题点 2三角函数的奇偶性 典例 (2017银川模拟)函数 f(x)3sin 2x 3， (0， )满足 f(|x|)f(x)， 则的值为_ 答案 5 6 解析由题意知 f(x)为偶函数，关于 y 轴对称， f(0)3sin 3 3， 3k 2，kZ，又 00，| 2 ，x 4为 f(x)的零点，x 4为 yf

15、(x)图象的对称轴，且 f(x)在 18， 5 36 上单调，则的最大值为_ 答案9 解析因为 x 4为 f(x)的零点，x 4为 f(x)的图象的对称轴，所以 4 4 T 4 kT 2 ，即 2 2k1 4 T2k1 4 2 ， 所以2k1(kN)， 又因为 f(x)在 18， 5 36 上单调， 所以5 36 18 12 T 2 2 2，即12， 若11，又| 2，则 4， 此时，f(x)sin 11x 4 ，f(x)在 18， 3 44 上单调递增，在 3 44， 5 36 上单调递减，不满足条件 若9，又| 2，则 4， 此时，f(x)sin 9x 4 ，满足 f(x)在 18， 5

16、36 上单调的条件 由此得的最大值为 9. 思维升华 (1)对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中 心的横坐标一定是函数的零点 (2)求三角函数周期的方法 利用周期函数的定义 利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2 |，ytan(x)的最小正 周期为 |. 跟踪训练(1)(2017安徽江南十校联考)已知函数 f(x)sin(x) 0，| 2 的最小正周期 为 4，且xR，有 f(x)f 3 成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标是() A. 2 3 ，0 B. 3，0 C. 2 3 ，0 D. 5 3 ，0 答案A 解析由 f(x)s

17、in(x)的最小正周期为 4， 得1 2. 因为 f(x)f 3 恒成立， 所以 f(x)maxf 3 ， 即1 2 3 22k(kZ)， 由| 2，得 3，故 f(x)sin 1 2x 3 . 令 1 2x 3k(kZ)，得 x2k 2 3 (kZ)， 故 f(x)图象的对称中心为 2k2 3 ，0 (kZ)， 当 k0 时，f(x)图象的对称中心为 2 3 ，0 . (2)若将函数 f(x)sin x 3 的图象向右平移 3个单位长度后与原函数的图象关于 x 轴对称， 则的最小正值是_ 答案3 解析若将函数 f(x)的图象向右平移 3个单位长度后与原函数的图象关于 x 轴对称，则平移的 大

18、小最小为T 2，所以 T 2 3，即 T max2 3 ，所以当 T2 3 时，min 2 Tmax 2 2 3 3. 三角函数的图象与性质 考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综 合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效 攻破，并在高考中拿全分 典例 (1)(2017全国)设函数 f(x)cos x 3 ，则下列结论错误的是() Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x8 3 对称 Cf(x)的一个零点为 x 6 Df(x)在 2，上单调递减 答案D 解析A 项，因为 f(x)cos x 3 的周

19、期为 2k(kZ)，所以 f(x)的一个周期为2，A 项正 确； B 项，因为 f(x)cos x 3 图象的对称轴为直线 xk 3(kZ)，所以 yf(x)的图象关于直 线 x8 3 对称，B 项正确； C 项，f(x)cos x4 3 .令 x4 3 k 2(kZ)，得 xk 5 6 ，当 k1 时，x 6，所以 f(x)的一个零点为 x 6，C 项正确； D 项，因为 f(x)cos x 3 的单调递减区间为 2k 3，2k 2 3 (kZ)， 单调递增区间为 2k2 3 ，2k5 3 (kZ)， 所以 2， 2 3 是 f(x)的单调递减区间， 2 3 ， 是 f(x)的单调递增区间，

20、D 项错误故选 D. (2)函数 f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为_ 答案 2k1 4，2k 3 4 ，kZ 解析由图象知，周期 T2 5 4 1 4 2， 2 2，. 由1 4 22k，kZ，不妨取 4， f(x)cos x 4 . 由 2kx 4 2k，kZ，得 2k 1 4 x0，0)若 f(x)在区间 6， 2 上具有单调性， 且 f 2 f 2 3 f 6 ，则 f(x)的最小正周期为_ 答案 解析记 f(x)的最小正周期为 T. 由题意知T 2 2 6 3， 又 f 2 f 2 3 f 6 ， 且2 3 2 6， 可作出示意图如图所示(一种情况)

21、： x1 2 6 1 2 3， x2 2 2 3 1 2 7 12， T 4x 2x17 12 3 4，T. 1(2018广州质检)下列函数中，是周期函数的为() Aysin|x|Bycos|x| Cytan|x|Dy(x1)0 答案B 解析cos|x|cos x，ycos|x|是周期函数 2函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为() A1B 2 2 C. 2 2 D0 答案B 解析由已知 x 0， 2 ，得 2x 4 4， 3 4 ， 所以 sin 2x 4 2 2 ，1 ， 故函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为 2 2 .故选 B. 3函

22、数 ysin x2的图象是() 答案D 解析函数 ysin x2为偶函数，排除 A，C；又当 x 2时函数取得最大值，排除 B，故选 D. 4(2017成都诊断)函数 ycos2x2sin x 的最大值与最小值分别为() A3，1B3，2C2，1D2，2 答案D 解析ycos2x2sin x1sin2x2sin x sin2x2sin x1， 令 tsin x， 则 t1,1，yt22t1(t1)22， 所以 ymax2，ymin2. 5已知函数 f(x)2sin(2x) | 2 的图象过点(0， 3)，则 f(x)图象的一个对称中心是() A. 3，0B. 6，0 C. 6，0D. 12，0

23、 答案B 解析函数 f(x)2sin(2x) | 2 的图象过点(0， 3)，则 f(0)2sin 3， sin 3 2 ， 又| 2， 3， 则 f(x)2sin 2x 3 ，令 2x 3k(kZ)， 则 xk 2 6(kZ)，当 k0 时，x 6， 6，0是函数 f(x)的图象的一个对称中心 6(2017衡水模拟)已知函数 f(x)|tan 1 2x 6 |，则下列说法正确的是( ) Af(x)的周期是 2 Bf(x)的值域是y|yR，且 y0 C直线 x5 3 是函数 f(x)图象的一条对称轴 Df(x)的单调递减区间是 2k2 3 ，2k 3 ，kZ 答案D 解析函数 f(x)的周期为

24、 2， A 错； f(x)的值域为0， )， B 错； 当 x5 3 时， 1 2x 6 2 3 k 2 ， kZ，x5 3 不是 f(x)的对称轴，C 错；令 k 2 1 2x 6k，kZ，可得 2k 2 3 0 时， 2aab8， b5， a3 23，b5； 当 a0 时， b8， 2aab5， a33 2，b8. 综上所述，a3 23，b5 或 a33 2，b8. 13(2018太原模拟)若 f(x)3sin x4cos x 的一条对称轴方程是 xa，则 a 的取值范围可以 是() A. 0， 4B. 4， 2 C. 2， 3 4D. 3 4 ， 答案D 解析因为 f(x)3sin x4

25、cos x5sin(x) 其中 tan 4 3且 0 2 ，则 sin(a)1， 所以 ak 2，kZ，即 ak 2，kZ，而 tan 4 3且 0 2，所以 4 2， 所以 k3 4 ak，kZ，取 k0，此时 a 3 4 ， ，故选 D. 14已知关于 x 的方程 2sin x 6 1a0 在区间 0，2 3 上存在两个根，则实数 a 的取值 范围是_ 答案2,3) 解析sin x 6 a1 2 在 0，2 3 上存在两个根，设 x 6t，则 t 6， 5 6 ， ysin t，t 6， 5 6 的图象与直线 ya1 2 有两个交点，1 2 a1 2 1，2a0，函数 f(x)2asin

26、2x 6 2ab，当 x 0， 2 时， 5f(x)1. (1)求常数 a，b 的值； (2)设 g(x)f x 2 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间 解(1)x 0， 2 ，2x 6 6， 7 6 ， sin 2x 6 1 2，1， 2asin 2x 6 2a，a， f(x)b,3ab，又5f(x)1， b5,3ab1，因此 a2，b5. (2)由(1)得 f(x)4sin 2x 6 1， g(x)f x 2 4sin 2x7 6 1 4sin 2x 6 1， 又由 lg g(x)0，得 g(x)1， 4sin 2x 6 11，sin 2x 6 1 2， 2k 62x 62k 5 6 ，kZ， 其中当 2k 62x 62k 2，kZ 时， g(x)单调递增，即 kxk 6，kZ， g(x)的单调增区间为 k，k 6 ，kZ. 又当 2k 22x 62k 5 6 ，kZ 时， g(x)单调递减，即 k 6xk 3，kZ. g(x)的单调减区间为 k 6，k 3 ，kZ. g(x)的单调增区间为 k，k 6 ，kZ， 单调减区间为 k 6，k 3 ，kZ.