(步步高 高中理科数学 教学资料)8.6.docx
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1、8.6空间向量及其运算空间向量及其运算 最新考纲考情考向分析 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基 本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能 运用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 本节是空间向量的基础内容,涉及空间直角 坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式 及四种运算等内容一般不单独命题,常以 简单几何体为载体;以解答题的形式出现, 考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角 的计算,解题要求有较强的运算能力. 1空间向量的有关概念 名称概念表示 零向量模为 0 的向量0 单位向量长度(模)为 1
2、 的向量 相等向量方向相同且模相等的向量ab 相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 或重合的向量 ab 共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数,使得 ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式:pxayb,其中 x,yR,a,b 为不共线向量 (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组x,y,z,使得 p xaybzc,a,b,c叫做空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算
3、律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA a,OB b,则AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作a,b ,其范围是 0a,b,若a,b 2,则称 a 与 b 互相垂直, 记作 ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则|a|b|cosa,b叫做向量 a,b 的数量积,记作 ab,即 ab |a|b|cosa,b (2)空间向量数量积的运算律 (a)b(ab); 交换律:abba; 分配律:a(bc)abac. 4空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3). 向量表示坐标表示 数量积aba1b
4、1a2b2a3b3 共线ab(b0,R)a1b1,a2b2,a3b3 垂直ab0(a0,b0)a1b1a2b2a3b30 模|a|a21a22a23 夹角a,b(a0,b0)cosa,b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 知识拓展 1向量三点共线定理 在平面中 A,B,C 三点共线的充要条件是:OA xOB yOC (其中 xy1),O 为平面内任 意一点 2向量四点共面定理 在空间中 P,A,B,C 四点共面的充要条件是:OP xOA yOB zOC (其中 xyz1),O 为空间中任意一点 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (
5、1)空间中任意两个非零向量 a,b 共面() (2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)() (3)对于非零向量 b,由 abbc,则 ac.() (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同() (5)若 A,B,C,D 是空间任意四点,则有AB BCCD DA 0.() (6)若 ab0,则a,b是钝角() 题组二教材改编 2P97A 组 T2如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,M 为 A1C1与 B1D1的交点若 AB a,AD b,AA1 c,则下列向量中与BM 相等的向量是() A1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D.1
6、 2a 1 2bc 答案A 解析BM BB1 B1M AA1 1 2(AD AB ) c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 3 P98T3正四面体 ABCD 的棱长为 2, E, F 分别为 BC, AD 的中点, 则 EF 的长为_ 答案2 解析|EF |2EF2(ECCD DF )2 EC 2CD2DF22(EC CD EC DF CD DF ) 1222122(12cos 120021cos 120) 2, |EF | 2,EF 的长为 2. 题组三易错自纠 4在空间直角坐标系中,已知 A(1,2,3),B(2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线 AB 与 CD 的
7、位置关系是() A垂直B平行 C异面D相交但不垂直 答案B 解析由题意得,AB (3,3,3),CD (1,1,1), AB 3CD ,AB 与CD 共线,又 AB 与 CD 没有公共点,ABCD. 5与向量(3,4,5)共线的单位向量是_ 答案 3 2 10 ,2 2 5 , 2 2 和 3 2 10 ,2 2 5 , 2 2 解 析因 为 与 向 量 a 共 线 的 单 位 向 量 是 a |a| , 又 因 为 向 量 ( 3 , 4,5) 的 模 为 3242525 2, 所以与向量(3,4,5)共线的单位向量是 1 5 2(3,4,5) 2 10(3,4,5) 6O 为空间中任意一点
8、,A,B,C 三点不共线,且OP 3 4OA 1 8OB tOC ,若 P,A,B,C 四点共面,则实数 t_. 答案 1 8 解析P,A,B,C 四点共面, 3 4 1 8t1,t 1 8. 题型一空间向量的线性运算 1.如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,O 为 AC 的中点 用AB , AD ,AA1 表示OC1 ,则 OC1 _. 答案 1 2AB 1 2AD AA1 解析OC 1 2AC 1 2(AB AD ), OC1 OC CC1 1 2(AB AD )AA1 1 2AB 1 2AD AA1 . 2.(2017上饶期中)如图,在三棱锥 OABC 中,M,N 分别是 A
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