（步步高 高中理科数学 教学资料）7.1.docx

1、7.1不等关系与不等式不等关系与不等式 最新考纲考情考向分析 1.了解现实世界和日常生活中存在着 大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 以理解不等式的性质为主， 本节在高考中主要以 客观题形式考查不等式的性质； 以主观题形式考 查不等式与其他知识的综合. 1两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ab0ab ab0ab ab0a1ab a b1ab a b1a0) 2不等式的基本性质 性质性质内容特别提醒 对称性abbb，bcac 可加性abacbc 可乘性 ab c0 acbc注意 c 的符号 ab c0 acb cd acbd 同向同正可乘性 ab0 cd0 acbd 可乘方性

2、ab0anbn(nN，n1) a，b 同为正数 可开方性 ab0 n a n b(nN，n2) 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ab，ab01 a 1 b. a0b1 ab0,0c b d. 0axb 或 axb01 b 1 xb0，m0，则 b a bm am(bm0) a b am bm； a b0) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，a1，则 ab.( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变() (4)ab0，cd0a d b c.( ) (5)若 ab0，则 ab1

3、 a0”是“a2b20”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析a b0 a b aba2b2， 但由 a2b20 a b0. 3P75B 组 T1若 0ab，且 ab1，则将 a，b， 1 2，2ab，a 2b2 从小到大排列为 _ 答案a2ab1 2a 2b2b 解析0ab 且 ab1， a1 2b1 且 2a1， a2ba2a(1a)2a22a 2 a1 2 21 2 1 2. 即 a2ab11 2 1 2， 即 a2b21 2， a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)， 又 2b10，b10，a2b2b0， a2b2b， 综上，

4、a2ab1 2a 2b2b0，cd0 B.a c b d b c D.a d b c 答案D 解析cd0，0dc， 又 0ba，bdac， 又cd0，bd cd ac cd，即 b c a d. 5设 a，bR，则“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析若 a2 且 b1，则由不等式的同向可加性可得 ab213，由不等式的同向同正可 乘性可得 ab212.即“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的充分条件； 反之， 若“ab3 且 ab2”，则“a2 且 b1”不一定成立，如 a6，b1 2.所以

5、“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的充分不必要条件故选 A. 6若 2 2，则的取值范围是_ 答案(，0) 解析由 2 2， 2 2， 得aBacb CcbaDacb 答案A 解析cb44aa2(a2)20，cb. 又 bc64a3a2，2b22a2，ba21， baa2a1 a1 2 23 40， ba，cba. 2若 aln 3 3 ，bln 4 4 ，cln 5 5 ，则() AabcBcba CcabDbac 答案B 解析方法一易知 a，b，c 都是正数， b a 3ln 4 4ln 3log 8164b； b c 5ln 4 4ln 5log 6251 0241， 所以 bc

6、.即 cbe 时，函数 f(x)单调递减 因为 e34f(4)f(5)， 即 cba. 思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方 再作差 (2)作商法 一般步骤：作商；变形；判断商与 1 的大小关系；结论 (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出 大小关系 题型二不等式的性质 典例 (1)已知 a，b，c 满足 cba，且 acacBc(ba)0 Ccb20 答案A 解析由 cba 且 ac0，知

7、c0. 由 bc，得 abac 一定成立 (2)设 ab1，c c b；a cloga(bc) 其中所有正确结论的序号是() AB CD 答案D 解析由不等式性质及 ab1，知1 a 1 b， 又 c c b，正确； 构造函数 yxc， cb1，acb1，cbc1， logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确 思维升华 解决此类问题常用两种方法： 一是直接使用不等式的性质逐个验证； 二是利用特殊 值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 跟踪训练 若1 a 1 b0，给出下列不等式： 1 ab0；a 1 ab 1 b；ln a 2ln b2. 其中正确

8、的不等式是() AB CD 答案C 解析方法一因为1 a 1 b0，故可取 a1，b2. 显然|a|b1210， 所以错误 综上所述，可排除 A，B，D. 方法二由1 a 1 b0，可知 ba0. 中，因为 ab0，所以 1 ab0. 故有 1 ab 1 ab，即正确； 中，因为 baa0.故b|a|， 即|a|b0，故错误； 中，因为 ba0，又1 a 1 b 1 b0， 所以 a1 ab 1 b，故正确； 中，因为 baa20，而 yln x 在定义域(0， )上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确 题型三不等式性质的应用 命题点 1应用性质判断不等式是否成立 典

9、例 已知 ab0，给出下列四个不等式： a2b2；2a2b 1； ab a b； a3b32a2b. 其中一定成立的不等式为() AB CD 答案A 解析方法一由 ab0 可得 a2b2，成立； 由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2x在 R 上是增函数， f(a)f(b1)，即 2a2b 1，成立； ab0， a b， ( ab)2( a b)2 2 ab2b2 b( a b)0， ab a b，成立； 若 a3，b2，则 a3b335,2a2b36， a3b3b2，2a2b 1， ab a b均成立，而a3b32a2b 不成立，故选 A. 命题点 2求代数式的取值范围 典例 已知1x

10、4,2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是_ 答案(4,2)(1,18) 解析1x4,2y3，3y2， 4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6， 13x2y18. 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明 在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性 质进行判断 (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关 系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径 跟踪训练 (1)若 ab 1 b Ba2ab C.|b| |a|b

11、n 答案C 解析(特值法)取 a2，b1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确； C 项，|b| |a| |b|1 |a|1|b|(|a|1)|a|(|b|1) |a|b|b|a|b|a|b|a|， ab0，|b|a|成立，故选 C. (2)已知1xy3，则 xy 的取值范围是_ 答案(4,0) 解析1x3，1y3， 3y1，4xy4. 又xy，xy0，4xy0， 故 xy 的取值范围为(4,0) 利用不等式变形求范围 典例 设 f(x)ax2bx，若 1f(1)2,2f(1)4，则 f(2)的取值范围是_ 错解展示： 由 1f12， 2f14， 得 1ab2， 2ab4. 得3 2a3，得

12、 1 2b1. 由此得 4f(2)4a2b11. 所以 f(2)的取值范围是4,11 错误答案4,11 现场纠错 解析方法一设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)， 即 4a2b(mn)a(nm)b. 于是得 mn4， nm2， 解得 m3， n1. f(2)3f(1)f(1) 又1f(1)2,2f(1)4. 53f(1)f(1)10， 故 5f(2)10. 方法二由 f1ab， f1ab， 得 a1 2f1f1， b1 2f1f1， f(2)4a2b3f(1)f(1) 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故 5f(2)1

13、0. 方法三由 1ab2， 2ab4 确定的平面区域如图阴影部分所示， 当 f(2)4a2b 过点 A 3 2， 1 2 时， 取得最小值 43 22 1 25， 当 f(2)4a2b 过点 B(3,1)时， 取得最大值 432110， 5f(2)10. 答案5,10 纠错心得在求式子的范围时， 如果多次使用不等式的可加性， 式子中的等号不能同时取到， 会导致范围扩大 1(2018济宁模拟)若 a0，且 xy0，则 x 与 y 之间的不等关系是() AxyBxy CxyDxy 答案B 解析由 a0，可知 y0， 可知 x0，所以 xy. 2若 f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则 f(x

14、)，g(x)的大小关系是() Af(x)g(x)Bf(x)g(x) Cf(x)0， 则 f(x)g(x) 3若 a，bR，且 a|b|0Ba3b30 Ca2b20Dab0 答案D 解析由 a|b|0 知，a|b|， 当 b0 时，ab0 成立， 当 b0 时，ab0 成立，ab0 成立故选 D. 4(2018乐山调研)若 6a10，a 2b2a，cab，那么 c 的取值范围是( ) A9c18B15c30 C9c30D9c30 答案D 解析cab3a 且 cab3a 2 ， 93a 2 ab3a30. 5设 a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C

15、充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析由(ab)a20，可知 a0 且 ab，充分性成立；由 ab，可知 ab0，当 0ab 时，推不出(ab)a20，必要性不成立 6设 0， 2 ， 0， 2 ，那么 2 3的取值范围是( ) A. 0，5 6B. 6， 5 6 C(0，)D. 6， 答案D 解析由题设得 02，0 3 6， 6 30， 62 3b0，则下列不等式中一定成立的是() Aa1 bb 1 a B.b a b1 a1 Ca1 bb 1 a D.2ab a2b a b 答案A 解析取 a2，b1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x)x1 x是(0，)上的增函数，但函数 g(

16、x)x1 x在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当 ab0 时，f(a)f(b)必定成 立，即 a1 ab 1 ba 1 bb 1 a，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A. 9已知 a1a2，b1b2，则 a1b1a2b2与 a1b2a2b1的大小关系是_ 答案a1b1a2b2a1b2a2b1 解析a1b1a2b2(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，因为 a1a2，b1b2，所以 a1a20，b1 b20，于是(a1a2)(b1b2)0，故 a1b1a2b2a1b2a2b1. 10已知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题： 若 ab0，bcad0，则c a d b0

17、； 若 ab0，c a d b0，则 bcad0； 若 bcad0，c a d b0，则 ab0. 其中正确的命题是_(填序号) 答案 解析ab0，bcad0， c a d b bcad ab 0，正确； ab0，又c a d b0，即 bcad ab 0， bcad0，正确； bcad0，又c a d b0，即 bcad ab 0， ab0，正确故都正确 11(2018青岛调研)设 abc0，x a2bc2，y b2ca2，z c2ab2，则 x， y，z 的大小关系是_(用“”连接) 答案zyx 解析方法一y2x22c(ab)0，yx. 同理，zy，zyx. 方法二令 a3，b2，c1，则

18、 x 18，y 20， z 26，故 zyx. 12已知1xy4,2xy3，则 3x2y 的取值范围是_ 答案 3 2， 23 2 解析设 3x2ym(xy)n(xy)， 则 mn3， mn2， m5 2， n1 2. 即 3x2y5 2(xy) 1 2(xy)， 又1xy4,2xy3， 5 2 5 2(xy)10,1 1 2(xy) 3 2， 3 2 5 2(xy) 1 2(xy) 23 2 ， 即3 23x2y 23 2 ， 3x2y 的取值范围为 3 2， 23 2 . 13设实数 x，y 满足 0 xy4，且 02x2y2 且 y2 Bx2 且 y2 C0 x2 且 0y2 且 0y0

19、， xy0， 则 x0， y0， 由 2x2y4xy(x2)(2y)2， y2 或 0 x2， 0y2， 又 xy4，可得 0 x2， 0yy，ab，则在axby；axby；axby；xbya；a y b x这五个 式子中，恒成立的不等式的序号是_ 答案 解析令 x2，y3，a3，b2. 符合题设条件 xy，ab. ax3(2)5，by2(3)5. axby，因此不成立 ax6，by6，axby，因此不成立 a y 3 31， b x 2 21， a y b x，因此不成立 由不等式的性质可推出成立 15(2018江门模拟)设 a，bR，定义运算“”和“”如下：ab a，ab， b，ab， a

20、b b，ab， a，ab. 若 mn2，pq2，则() Amn4 且 pq4Bmn4 且 pq4 Cmn4 且 pq4Dmn4 且 pq4 答案A 解析结合定义及 mn2 可得 m2， mn 或 n2， mn， 即 nm2 或 mn2，所以 mn4；结合定义及 pq2，可得 p2， pq 或 q2， pq， 即 qp2 或 pq2， 所以 pq4. 16(2017合肥质检)已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，且满足 bc3a，则c a的取值范 围为() A(1，)B(0,2) C(1,3)D(0,3) 答案B 解析由已知及三角形三边关系得 ac， acb， 1 c a， 1c a b a， 1b a c a3， 1c a b a1， 两式相加，得 02c a4， c a的取值范围为(0,2)