(步步高 高中理科数学 教学资料)2.9 函数模型及其应用.docx
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1、2.9函数模型及其应用函数模型及其应用 最新考纲考情考向分析 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特 征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 考查根据实际问题建立函数模型解决 问题的能力,常与函数图象、单调性、 最值及方程、不等式交汇命题,题型以 解答题为主,中高档难度. 1几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a,b 为常数,a0) 反比例函数模型f(x)k xb(k,b 为常数且 k0) 二次函数模型f(x)ax2bx
2、c(a,b,c 为常数,a0) 指数函数模型f(x)baxc(a,b,c 为常数,b0,a0 且 a1) 对数函数模型f(x)blogaxc(a,b,c 为常数,b0,a0 且 a1) 幂函数模型f(x)axnb (a,b 为常数,a0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0,)上的增减性单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化而各 有不同 值的比较存在一个 x0,当 xx0时,有 logaxxn0)的函数模型称为
3、“对勾”函数模型: (1)该函数在(, a和 a,)上单调递增,在 a,0)和(0, a上单调递减 (2)当 x0 时,x a时取最小值 2 a, 当 x0 时,x a时取最大值2 a. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售, 则每件还能获利() (2)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大() (3)不存在 x0,使 0 x a 0 n x1)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增长 速度() (5)“指数爆炸”是指数型函数 yabxc(a0,b0,b1)增长速
4、度越来越快的形象比 喻() 题组二教材改编 2P102 例 3某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误 的是() A收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是 7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 答案D 解析由题图可知, 收入最高值为 90 万元, 收入最低值为 30 万元, 其比是 31, 故 A 正确; 由题图可知,7 月份的结余最高,为 802060(万元),故 B 正确;由题图可知,1 至 2 月 份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同,故 C 正
5、确;由题图可知,前 6 个月的 平均收入为1 6(406030305060)45(万元),故 D 错误 3P104 例 5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)1 2x 22x20(万元)一万件售价为 20 万元,为获取更大利润,该 企业一个月应生产该商品数量为_万件 答案18 解析利润 L(x)20 xC(x)1 2(x18) 2142, 当 x18 时,L(x)有最大值 4P107A 组 T4用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大, 则隔墙的长度为_ 答案3 解析设隔墙的长度为 x(0 x0,当
6、p(30,)时,L(p)0,m是不超过 m 的最大整数(如33,3.73,3.13),则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为_元 答案4.24 解析m6.5,m6,则 f(6.5)1.06(0.561)4.24. (2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元, 并且每生产一单位产品, 成本增加 10 万元 又 知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数, K(Q)40Q 1 20Q 2,则总利润 L(Q)的最大值是_ 万元 答案2 500 解析L(Q)40Q 1 20Q 210Q2 000 1 20Q 230Q2 0001 20(Q300) 22 500. 则当 Q300 时,L(Q)的
7、最大值为 2 500 万元 题型三题型三构建函数模型的实际问题构建函数模型的实际问题 命题点 1构造一次函数、二次函数模型 典例 (1)某航空公司规定, 乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图所 示的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg. 答案19 解析由图象可求得一次函数的解析式为 y30 x570,令 30 x5700,解得 x19. (2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时, 能卖出 400 个, 已知这种商品每涨价 1 元, 其销售量就要减少 20 个,为了赚得最大利润,每个售价应定为_元 答案95 解析设每个售价定为
8、 x 元,则利润 y(x80)400(x90)2020(x95)2225 当 x95 时,y 最大 命题点 2构造指数函数、对数函数模型 典例 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐 到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的1 4,已 知到今年为止,森林剩余面积为原来的 2 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 解(1)设每年降低的百分比为 x(0 x0)型函数 典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总 利润 y(万元)与营运年
9、数 x 的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大, 每辆客车营运年数为_ 答案5 解析根据图象求得 y(x6)211, 年平均利润y x12 x25 x , x25 x 10,当且仅当 x5 时等号成立 要使平均利润最大,客车营运年数为 5. (2)(2017南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为 60(如 图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 93平方米,且高度不 低于 3米记防洪堤横断面的腰长为 x 米,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小
10、),则防洪堤的腰长 x _. 答案2 3 解析由题意可得 BC18 x x 2, y18 x 3x 2 2 18 x 3x 2 6 3. 当且仅当18 x 3x 2 (2x0,解得 x2.3, x 为整数,3x6,xZ. 当 x6 时,y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150,有 3x268x1150,结合 x 为整数得 6x20,xZ. y 50 x1153x6,xZ, 3x268x1156x20,xZ. (2)对于 y50 x115(3x6,xZ), 显然当 x6 时,ymax185; 对于 y3x268x1153 x34 3 2811 3 (6185,当每辆自
11、行车的日租金定为 11 元时,才能使一日的净收入最多 思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的 限制 跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过 0.1%,若初时含杂质 2%, 每过滤一次可使杂质含量减少1 3, 至少应过滤_次才能达到市场要求 (已知 lg 20.301 0,lg 30.477 1) 答案8 解析设至少过滤 n 次才能达到市场要求, 则 2% 11 3 n0.1%,即 2 3 n1 20, 所以 nlg 2 31lg 2,所以 n7.
12、39,所以 n8. (2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为 20 000 元,每天需 要房租、水电等费用 100 元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益 R 与门面经营天数 x 的关系是 R(x) 400 x1 2x 2,0 x400, 80 000,x400, 则总利润最大时,该门面经 营的天数是_ 答案300 解析由题意,总利润 y 400 x1 2x 2100 x20 000,0 x400, 60 000100 x,x400, 当 0 x400 时,y1 2(x300) 225 000, 所以当 x300 时,ymax25 000; 当 x
13、400 时,y60 000100 x20 000, 综上,当门面经营的天数为 300 时,总利润最大为 25 000 元 函数应用问题 典例 (12 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万 部还需另投入 16 万美元 设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完, 每万部的销售 收入为 R(x)万美元,且 R(x) 4006x,040. (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润 思维点拨根据题意, 要利用分段函数求最大利润 列出解析式后,
14、 比较二次函数和“对勾” 函数的最值的结论 规范解答 解(1)当 040 时,WxR(x)(16x40) 40 000 x 16x7 360. 所以 W 6x2384x40,040. 4 分 (2)当 040 时,W40 000 x 16x7 360, 由于40 000 x 16x2 40 000 x 16x1 600, 当且仅当40 000 x 16x,即 x50(40,)时,取等号, 所以此时 W 的最大值为 5 760.10 分 综合知, 当 x32 时,W 取得最大值 6 104 万美元12 分 解函数应用题的一般步骤 第一步:(审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 第二步:
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