(步步高 高中理科数学 教学资料)专题探究课四 高考中立体几何问题的热点题型.docx
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1、专题探究课四专题探究课四高考中立体几何问题的热点题型高考中立体几何问题的热点题型 1.(2017青岛质检)在平面四边形 ABCD 中,ABBDCD1, ABBD,CDBD,将ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD平 面 BCD,如图. (1)求证:ABCD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值. (1)证明平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCDBD,AB平面 ABD, ABBD,AB平面 BCD.又 CD平面 BCD,ABCD. (2)解过点 B 在平面 BCD 内作 BEBD,如图. 由(1)知 AB平面 BCD, BE平面 BCD,BD
2、平面 BCD, ABBE,ABBD. 以 B 为坐标原点,分别以BE , BD ,BA 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意,得 B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1), M 0,1 2, 1 2 ,则BC (1,1,0),BM 0,1 2, 1 2 ,AD (0,1,1). 设平面 MBC 的法向量为 n(x0,y0,z0), 则 nBC 0, nBM 0, 即 x0y00, 1 2y 01 2z 00, 取 z01,得平面 MBC 的一个法向量为 n(1,1,1). 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为, 则 sin| co
3、sn, AD | |nAD | |n|AD | 6 3 , 即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6 3 . 2.如图,三棱锥 PABC 中,PC平面 ABC,PC3,ACB 2 .D,E 分别为线段 AB,BC 上的点,且 CDDE 2,CE 2EB2. (1)证明:DE平面 PCD; (2)求二面角 APDC 的余弦值. (1)证明由 PC平面 ABC,DE平面 ABC,故 PCDE. 由 CE2,CDDE 2得CDE 为等腰直角三角形,故 CDDE. 由 PCCDC,DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线,故 DE平面 PCD. (2)解由(1)知,CDE 为等腰直角三角形,
4、 DCE 4 ,如图,过 D 作 DF 垂直 CE 于 F,易知 DFFCFE1,又已知 EB1,故 FB2. 由ACB 2 ,得 DFAC,DF AC FB BC 2 3, 故 AC3 2DF 3 2. 以 C 为坐标原点,分别以CA , CB ,CP 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 C(0,0,0),P(0,0,3),A 3 2,0,0,E(0,2,0),D(1,1,0),ED (1, 1,0),DP (1,1,3),DA 1 2,1,0. 设平面 PAD 的法向量为 n1(x1,y1,z1), 由 n1DP 0,n1DA 0,得 x1y13z10, 1
5、2x 1y10, 故可取 n1(2,1,1). 由(1)可知 DE平面 PCD,故平面 PCD 的法向量 n2可取为ED ,即 n2(1,1, 0). 从而法向量 n1,n2的夹角的余弦值为 cos n1,n2 n1n2 |n1|n2| 3 6 , 故所求二面角 APDC 的余弦值为 3 6 . 3.(2017重庆模拟)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABAC AA14,BC2 2.BDAC,垂足为 D,E 为棱 BB1上一点,BD平面 AC1E. (1)求线段 B1E 的长; (2)求二面角 C1ACE 的余弦值. 解(1)由 ABAC4,知ABC 为等腰三角形, 又 BDAC,BC2
6、 2, 故1 2ACBD 1 2BC AB2 1 2BC 2 , 解得 BD 7. 从而在 RtCDB 中,CD BC2BD21,故 ADACCD3. 如图,过点 D 作 DFCC1,交 AC1于 F,连接 EF.因为 DFCC1,从而AD AC DF CC1 3 4,得 DF3. 因为 DFCC1, CC1BB1, 故 DFBB1, 即 DFBE, 故 DF 与 BE 确定平面 BDFE. 又 BD平面 AC1E,而平面 BDFE平面 AC1EEF,故 BDEF. 故四边形 BDFE 为平行四边形,从而 DFBE3,所以 B1EBB1BE1. (2)如图,以 D 为坐标原点,分别以DA ,
7、DB ,DF 的方向为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),C( 1,0,0),E(0,7,3),DC (1,0,0),DE (0,7,3). 设平面 ACE 的一个法向量为 n1(x,y,z),由 n1DC 0, n1DE 0,得 x0, 7y3z0,故可取 n 1(0,3, 7). 又平面 ACC1在 xDz 面上,故可取 n2(0,1,0)为平面 ACC1的一个法向量. 从而法向量 n1,n2的夹角的余弦值为 cosn1,n2 n1n2 |n1|n2| 3 4. 由图知二面角 C1ACE 为锐角,故二面角 C1ACE 的余弦值为3 4. 4.(201
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