《全国高中数学联赛真题及答案（2011-2020）.pdf

1、目录 2020 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2020 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2020 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2020 年全国高中数学联赛二试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . .

2、 . . . . . . . . . . . . 9 2019 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2019 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2019 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2019 年全国高中数学联赛二试 (B 卷) . .

3、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2018 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2018 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2018 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4、 2018 年全国高中数学联赛二试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2017 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2017 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2017 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . .

5、. . . . . . . . . . . . . 37 2017 年全国高中数学联赛二试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2016 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2016 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2015 年全国高中数学联赛一试 . .

6、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2015 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2014 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2014 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7、. . . . . . 55 2013 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2013 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2012 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2012 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . .

8、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2011 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2011 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 202

9、0 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2020 年全国高中数学联赛二试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2019 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10、 . . 93 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2019 年全国高中数学联赛一试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . .

11、. . . . . . . . . 109 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . .

12、. . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2016 年全国高中数学联赛一试答案 . . .

13、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2016 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2015 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2015 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2

14、014 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2014 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2013 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2013 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15、 . . . . . . . . . 194 2012 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2012 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 2011 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 2011 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . .

16、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 2020 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) 一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 在等比数列 an 中,a9= 13, a13= 1, 则 loga113 的值为. 2. 在椭圆 中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，F1,F2为两个焦点，若 AF1 AF2+ BF1 BF2= 0, 则 |AB| |F1F2| 的值为 3. 设 a 0，函数 f(x) = x + 100 x 在区间 (0,a 上的最小值为 m1，在区间 a,+) 上的 最小值为 m2，

17、若 m1m2= 2020，则 a 的值为. 4. 设 z 为复数，若 z 2 z i 为实数（i 为虚数单位） ，则 |z + 3| 的最小值为. 5. 在 ABC 中，AB = 6，BC = 4，边 AC 上的中线长为 10，则 sin6A 2 + cos6 A 2 的 值为 6. 正三棱锥 P ABC 的所有棱长均为 1，L,M,N 分别为棱 PA,PB,PC 的中点，则该 正三棱锥的外接球被平面 LMN 所截的截面面积为 7. 设 a,b 0，满足关于 x 的方程 p|x| +p|x + a| = b 恰有三个不同的实数解 x 1,x2,x3， 且 x1 x2 x3= b，则 a + b

18、 的值为 8. 现有 10 张卡片，每张卡片上写有 1,2,3,4,5 中两个不同的数，且任意两张卡片上的数 不完全相同将这 10 张卡片放入标号为 1,2,3,4,5 的五个盒子中，规定写有 i,j 的卡 片只能放在 i 号或 j 号盒子中一种方法称为“好的” ，如果 1 号盒子中的卡片数多于 其他每个盒子中的卡片数，则“好的”放法共有种 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其 中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分. 9. 在 ABC 中，sinA = 2 2 ，求 cosB + 2cosC 的取值范围 10.

19、 对正整数 n 及实数 x（0 6 x 2 满足 f ? m, 1 n ? + f ? m, 2 n ? + + f ? m, mn 1 n ? = 123, 求 f ? n, 1 m ? + f ? n, 2 m ? + + f ? n, mn 1 m ? 的值 11. 在平面直角坐标系中，点 A,B,C 在双曲线 xy = 1 上，满足 ABC 为等腰直角三角 形求 ABC 的面积的最小值 2020 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) 一、 如图，在等腰 ABC 中，AB = BC，I 为内心，M 为 BI 的中点，P 为边 AC 上一 点，满足 AP = 3PC，PI 延长线上一点 H

20、满足 MH PH，Q 为 ABC 的外接圆 上劣弧 AB 的中点证明：BH QH B CA M P H I Q 二、 给定整数 n 3，设 a1,a2, ,a2n,b1,b2, ,b2n是 4n 个非负实数，满足 a1+ a2+ + a2n= b1+ b2+ + b2n 0, 且对任意 i = 1,2, ,2n，有 aiai+2 bi+ bi+1（这里 a2n+1= a1，a2n+2= a2， b2n+1= b1） ，求 a1+ a2+ + a2n的最小值 三、 设 a1= 1，a2= 2，an= 2an1+ an2，n = 3,4,证明：对整数 n 5，an必有 一个模 4 余 1 的素因子

21、 四、 给定凸 20 边形 P用 P 的 17 条在内部不相交的对角线将 P 分割成 18 个三角形所 得图形称为 P 的一个三角剖分图对 P 的任意一个三角剖分图 T，P 的 20 条边以及 添加的 17 条对角线均称为 T 的边T 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 T 的一个完美匹配当 T 取遍 P 的所有三角剖分图时，求 T 的完美匹配个数的最大值 2020 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) 一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 若实数 x 满足 log2x = log4(2x) + log8(4x)，则 x = 2. 在平面直角坐标系

22、xOy 中，圆 经过点 (0,0),(2,4),(3,3)，则圆 上的点到原点的距 离的最大值为 3. 设集合 X = 1,2, ,20，A 是 X 的子集，A 的元素个数至少是 2，且 A 的所有元素 可排成连续正整数，则这样的集合 A 的个数为 4. 在三角形 ABC 中，BC = 4，CA = 5，AB = 6，则 sin6 A 2 + cos6 A 2 = 5. 设 9 元集合 A = ?a + bi | a,b 1,2,3?，i 是虚数单位 = (z 1,z2, ,z9) 是 A 中 所有元素的一个排列，满足 |z1| 6 |z2| 6 6 |z9|，则这样的排列 的个数为 6. 已

23、知一个正三棱柱的各条棱长均为 3，则其外接球的体积为 7. 在凸四边形 ABCD 中， BC = 2 AD点 P 是四边形 ABCD 所在平面上一点，满足 PA + 2020 PB + PC + 2020 PD = 0 . 设 s,t 分别为四边形 ABCD 与 PAB 的面积，则 t s = 8. 已知首项系数为 1 的五次多项式 f(x) 满足：f(n) = 8n，n = 1,2, ,5，则 f(x) 的一 次项系数为 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其 中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分. 9. 在椭

24、圆中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，F1,F2为两个焦点若 AF1 AF2+ BF1 BF2= 0, 求 tanABF1 tanABF2的值 10. 设正实数 a,b,c 满足 a2+ 4b2+ 9c2= 4b + 12c 2, 求 1 a + 2 b + 3 c 的最小值 11. 设数列 an的通项公式为 an= 1 5 1 + 5 2 !n 1 5 2 !n! ,n = 1,2, . 证明：存在无穷多个正整数 m，使得 am+4am 1 是完全平方数 2020 年全国高中数学联赛二试 (B 卷) 一、 如图，A,B,C,D,E 是圆 上顺次的五点，满足 ABC = BCD =

25、 CDE，点 P,Q 分别 在线段 AD,BE 上，且 P 在线段 CQ 上证明：PAQ = PEQ A C B D E P Q 二、 设集合 A = 1,2, ,19是否存在集合 A 的非空子集 S1,S2，满足 S1 S2= ， S1 S2= A； S1,S2都至少有 4 个元素； S1的所有元素的和等于 S2的所有元素 的乘积？证明你的结论 三、 给定整数 n 2设 a1,a2, ,an,b1,b2, ,bn 0，满足 a1+ a2+ + an= b1+ b2+ + bn, 且对任意 i,j（1 6 i bi+ bj求 a1+ a2+ + an的最小值 四、 设 a,b 为不超过 12

26、的正整数，满足：存在常数 C，使得 an+bn+9 C (mod 13) 对任 意正整数 n 成立求所有满足条件的有序数对 (a,b) 2019 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) 一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 已知正实数 a 满足 aa= (9a)8a，则 loga3a 的值为 2. 若实数集合 1,2,3,x 的最大元素和最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为 3. 平面直角坐标系中， e 是单位向量，向量 a 满足 a e = 2，且 | a |26 5| a + t e | 对任意实数 t 成立，则 | a | 的取值范围是 4

27、. 设 A,B 为椭圆 的长轴顶点，E,F 为 的两个焦点，|AB| = 4，|AF| = 2 + 3，P 为 上一点，满足 |PE| |PF| = 2，则 PEF 的面积为 5. 在 1,2,3, ,10 中随机选出一个数 a， 在 1,2,3, ,10 中随机选取一个数 b， 则 a2+ b 被 3 整除的概率是 6. 对任意区间 I，用 MI表示函数 y = sinx 在 I 上的最大值若正实数 a 满足 M0,a= 2Ma,2a，则 a 的值为 7. 如图，在正方体 ABCD EFGH 的一个截面经过顶点 A,C 及棱 EF 上一点 K，且 将正方体分成体积比为 3 : 1 的两部分，

28、则 EK KF 的值为 8. 将 6 个数 2,0,1,9,20,19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0） ，则产 生的不同的 8 位数的个数为 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其 中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分. 9. 在 ABC 中，BC = a,CA = b,AB = c若 b 是 a 与 c 的等比中项，且 sinA 是 sin(B A) 与 sinC 的等差中项，求 cosB 的值 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 与抛物线 : y2= 4x 恰有一个公共点，且圆

29、与 x 轴相切于 的焦点 F求圆 的半径 11. 称一个复数列 zn 是” 有趣的”，若 |z1| = 1，且对任意正整数 n，均有 4z2 n+1+ 2znzn+1+z2 n= 0求最大的常数 C，使得对一切有趣的数列 zn 及任意正整数 m，均 有 |z1+ z2+ + zm| C 2019 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) 一、 如图，在锐角 ABC 中，M 是 BC 边的中点，点 P 在 ABCC 内，使得 AP 平分 BAC直线 MP 与 ABP，ACP 的外接圆分别相交于不同于点 P 的两点 D,E 证明：若 DE = MP，则 BC = 2BP 二、 设整数 a1,a2, ,a

30、2019满足 1 = a16 a26 6 a2019= 99 记 f = (a2 1+ a 2 2+ + a 2 2019) (a1a3+ a2a4+ a3a5+ + a2017a2019) 求 f 的最小值 f0并确定使 f = f0成立的数组 (a1,a2, ,a2019) 的个数 三、 设 m 为整数，|m| 2整数数列 a1,a2,. 满足：a1,a2不全为零，且对任意正整数 n， 均有 an+2= an+1 man 证明：若存在整数 r,s（r s 2）使得 ar= as= a1，则 r s |m| 四、 设 V 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线

31、段，记 E 为这些线段构成的集合 试求最小的正整数 n， 满足条件： 若 E 至少有 n 个元素， 则 E 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两 个二元子集的交为空集 2019 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) 一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 已知实数集合1,2,3,x的最大元素等于该集合的所有元素之和， 则x的值为 2. 若平面向量 a = (2m,1) 与 b = (2m 1,2m+1) 垂直，其中 m 为实数，则 a 的模 为 3. 设 , (0,),cos,cos 是方程 5x2 3x 1 = 0 的

32、两根，则 sinsin 的值 为 4. 设三棱锥 P ABC 满足 PA = PB = 3,AB = BC = CA = 2，则该三棱锥的体积的 最大值为 5. 将 5 个数 2,0,1,9,2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0） ，则产生 的不同的 8 位数的个数为 6. 设整数 n 4,(x + 2y 1)n的展开式中 xn4与 xy 两项的系数相等，则 n 的值 为 7. 在平面直角坐标系中，若以 (r + 1,0) 为圆心，r 为半径的圆上存在一点 (a,b) 满足 b2 4a，则 r 的最小值为 8. 设等差数列 an 的各项均为整数，首项 a1= 2019

33、，且对任意正整数 n，总存在正整 数 m，使得 a1+ a2+ + an= am这样的数列 an 的个数为 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其 中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分. 9. 在椭圆 中，F 为一个焦点，A,B 为两个顶点若 |FA| = 3,|FB| = 2，求 |AB| 的所 有可能值 10. 设 a,b,c 均大于 1，满足 loga + logbc = 3 logb + logac = 4 求 loga logc 的最大值 11. 设复数数列 zn 满足：|z1| = 1，且对任意正整数

34、 n，均有 4z2 n+1+ 2znzn+1+ z 2 n= 0 证明；对任意正整数 m，均有 |z1+ z2+ + zm| a101i(i = 1,2, ,50) 记xk= kak+1 a1+ a2+ + ak (k = 1,2, ,99)证明：x1x2 2x 99 996 1 二、 求满足以下条件的所有正整数 n： （1）n 至少有 4 个正约数； （2）若 d1 d2 b 0) 的左右焦点分别是 F1,F2，椭圆 C 的弦 ST 与 UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P已知线段 PU,PS,PV,PT 的长分别为 1,2,3,6，则 PF1F2的面积为 5. 设 f(x)

35、是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数， 在区间 0,1 上严格递减， 且满足 f() = 1,f(2) = 2，则不等式组 1 6 x 6 2 1 6 f(x) 6 2 的解集为 6. 设复数 z 满足 |z| = 1，使得关于 x 的方程 zx2+ 2zx + 2 = 0 有实根，则这样的复数 z 的和为 7. 设 O 为 ABC 的外心，若 AO = AB + 2 AC，则 sinBAC 的值为 8. 设整数数列 a1,a2, ,a10满足 a10= 3a1,a2+a8= 2a5，且 ai+1 1+ai,2+ai,i = 1,2, ,9，则这样的数列的个数为 二、 解答题：本大题共 3

36、 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其 中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分. 9. 已知定义在 R上的函数 f(x) = |log3x 1|,0 9 设 a,b,c 是三个互不相同 的实数，满足 f(a) = f(b) = f(c)，求 abc 的取值范围 10. 已知实数列 a1,a2,a3, 满足：对任意正整数 n，有 an(2Sn an) = 1，其中 Sn表示 数列的前 n 项和证明： （1）对任意正整数 n，有 an 2n； （2）对任意正整数 n，有 anan+1 1 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线

37、 y2= 4x 的过点 F(1,0) 的弦，AOB 的 外接圆交抛物线于点 P（不同于点 O,A,B） 若 PF 平分 APB，求 |PF| 的所有可 能值 2018 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) 一、 设 n 是正整数， a1,a2, ,an,b1,b2, ,bn， A,B 均为正实数， 满足 ai6 bi,ai6 A,i = 1,2, ,n，且 b1b2bn a1a2an 6 B A 证明： (b1+ 1)(b2+ 1)(bn+ 1) (a1+ 1)(a2+ 1)(an+ 1) 6 B + 1 A + 1 二、 如图，ABC 为锐角三角形，AB 2，且 n 6 m 1，an+1是与

38、n X i=1 ai互素，且不等 于 a1, ,an的最小整数 证明：每个正整数均在数列 an 中出现 2018 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) 一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 设集合 A = 2,0,1,8,B = 2a|a A，则 A S B 的所有元素之和是 2. 已知圆锥的顶点为 P， 底面半径长为 2， 高为 1 在圆锥底面上取一点 Q， 使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积为 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行， 记为a,b,c,d,e,f,， 则abc+def 是奇数的概率为 4.

39、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n = (3,1) 是 l 的一个法向量已知数列 an 满足：对任意正整数 n，点 (an+1,an) 均在 l 上若 a2= 6，则 a1a2a3a4a5的值 为 5. 设 , 满足 tan ? + 3 ? = 3,tan ? 6 ? = 5，则 tan( ) 的值为 6. 设抛物线 C : y2= 2x 的准线与 x 轴交于点 A，过点 B(1,0) 作一直线 l 与抛物线 C 相切于点 K，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M,N，则 KMN 的面积 为 7. 设 f(x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数， 在

40、区间 1,2 上严格递减， 且满足 f() = 1,f(2) = 0，则不等式组 0 6 x 6 1 0 6 f(x) 6 1 的解集为 8. 已知复数 z1,z2,z3满足 |z1| = |z2| = |z3| = 1,|z1+ z2+ z3| = r，其中 r 是给定实数， 则 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 的实数是（用含有 r 的式子表示） 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其 中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分. 9. 已知数列 an : a1= 7, an+1 an = an+ 2,n

41、 = 1,2,3,求满足 an 42018的最小正整 数 n 10. 已知定义在 R上的函数 f(x) 为 f(x) = |log3x 1|,0 9 设 a,b,c 是三个互 不相同的实数，满足 f(a) = f(b) = f(c)，求 abc 的取值范围 11. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，A,B 与 C,D 分别是椭圆 : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的左右顶点与上下顶点 设 P,Q 是 上且位于第一象限的两点， 满足 OQ AP， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭圆交于点 R 证明：线段 OQ,OR,BC 能构成一个直角三角形 2018 年全国

42、高中数学联赛二试 (B 卷) 一、 设 a,b 是实数，函数 f(x) = ax + b + 9 x证明：存在 x0 1,9，使得 |f(x0)| 2 二、 如图所示，在等腰 ABC 中，AB = AC，边 AC 上一点 D 及 BC 延长线上一点 E 满足 AD DC = BC 2CE ，以 AB 为直径的圆 w 与线段 DE 交于一点 F证明：B,C,F,D 四 点共圆 （答题时请将图画在答卷纸上） 三、 设集合 A = 1,2, ,n，X,Y 均为 A 的非空子集（允许 X = Y ） X 中的最大元与 Y 中的最小元分别记为 maxX,minY 求满足 maxX minY 的有序集合对

43、 (X,Y ) 的 数目 四、 给定整数 a 2证明：对任意正整数 n，存在正整数 k，使得连续 n 个数 ak+1,ak+ 2, ,ak+ n 均是合数 2017 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) 一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 定义在 R 上的函数 f(x) 对任意实数 x 有 f(x +3) f(x 4) = 1，又当 0 6 x 7 时， f(x) = log2(9 x)，则 f(100) 的值为 2. 若实数 x,y 满足 x2+ 2cosy = 1，则 x cosy 的取值范围是 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 x

44、2 9 + y2 10 = 1，F 为 C 的上焦点，A 为 C 的右顶点，P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值 为 Ox y F P A 4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过 1，则称其为“平稳数” 平稳数的个 数是 5. 正三棱锥 P ABC 中，AB = 1,AP = 2，过 AB 的平面 将其体积平分，则棱 PC 与平面 所成角的余弦值为 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K = (x,y) | x,y = 1,0,1在 K 中随机取出三个 点，则这三点中存在两点之间距离为 5 的概率为 7. 在 ABC 中，M 是边 BC 的中点

45、，N 是线段 BM 的中点若 A = 3 ，ABC 的面 积为 3，则 AM AN 的最小值为 BC A N M 8. 设两个严格递增的正整数数列 an,bn 满足： a10= b10 0,Re(z2) 0，且 Re(z2 1) = Re(z 2 2) = 2，其中 Re(z) 表示复 数 z 的实部 （1）求 Re(z1z2) 的最小值； （2）求 |z1+ 2| + |z2+ 2| |z1 z2| 的最小值 2017 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) 一、 如图，在 ABC 中，AB = AC，I 为 ABC 的内心以 A 为圆心，AB 为半径作圆 1，以 I 为圆心，IB 为半径作圆

46、2，过点 B,I 的圆 3与 1,2分别交于点 P,Q（不 同于点 B） 设 IP 与 BQ 交于点 R证明：BR CR A BC I P Q R 二、 设数列 an 定义为 a1= 1， an+1= an+ n,an6 n, an n,an n, n = 1,2, . 求满足 ar na1,a2, ,an是 n 个不超过 m 的互不相同的正 整数，且 a1,a2, ,an互素证明：对任意实数 x，均存在一个 i(1 6 i 6 n)，使得 |aix| 2 m(m + 1)|x|，这里 |y| 表示实数 y 到与它最近的整数的距离 2017 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) 一、 填空题：本

47、大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 在等比数列 an 中，a2= 2，a 3= 3 3，则a1+ a2011 a7+ a2017 的值为 2. 设复数 z 满足 z + 9 = 10z + 22i，则 |z| 的值为 3. 设 f(x) 是定义在 R 上的函数，若 f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则 f(1) 的 值是 4. 在ABC 中， 若sinA = 2sinC， 且三条边a,b,c成等比数列， 则cosA的值是 5. 在正四面体 ABCD 中，E,F 分别在棱 AB,AC 上，满足 BE = 3，EF = 4，且 EF 与面 BCD 平行，则 DE

48、F 的面积为 6. 在平面直角坐标系 xOy，点集 K = (x,y) | x,y 1,0,1在 K 中随机取出三个点， 则这三个点两两之间的距离均不超过 2 的概率是 7. 设 a 为非零实数，在平面直角坐标系中 xOy 中，二次曲线 x2+ay2+a2= 0 的焦距为 4，则 a 的值为 8. 若正整数 a,b,c 满足 2017 10a 100b 1000c，则数组 (a,b,c) 的个数为 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其 中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分. 9. 设不等式 |2x a| 1 d

49、2. 二、 给定正整数m， 证明： 存在正整数k， 使得可将正整数集N分拆为k 个互不相交的子集 A1,A2, ,Ak， 每个子集 Ai中均不存在 4 个数 a,b,c,d （可以相同） ， 满足 abcd = m 三、 如图，点 D 是锐角 ABC 的外接圆 上弧 BC 的中点，直线 DA 与圆 过点 B,C 的切线分别相交于点 P,Q，BQ 与 AC 的交点为 X，CP 与 AB 的交点为 Y ，BQ 与 CP 的交点为 T求证：AT 平分线段 XY A BC D P Q T X Y 四、 设 m,n 均是大于 1 的整数，m na1,a2, ,an是 n 个不超过 m 的互不相同的正 整数，且 a1,a2, ,an互素证明：对任意实数 x，均存在一个 i(1 6 i 6 n)，使得 |aix| 2 m(m + 1)|x|，这里 |y| 表示实数 y 到与它最近的整数的距离 1. 设 a1,a2, ,a20 1,2, ,5，b1,b2, ,b20 1,2, ,10，集合 X = (i,j) | 1 6 i j 6 20,(ai aj)(bi bj) 0，求 X 的元素个数的最大值 2016 年全国高中数学联赛一试 一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 设实数 a 满足 a 9a3 11a |a|，则 a 的取值范围是 2. 设复数 z,w