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1、高考专题突破五高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题高考中的圆锥曲线问题 【考点自测】 1(2017全国)已知双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x,且与椭 圆x 2 12 y2 3 1 有公共焦点,则 C 的方程为() A.x 2 8 y 2 101 B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 5 y 2 4 1D.x 2 4 y 2 3 1 答案B 解析由 y 5 2 x,可得b a 5 2 . 由椭圆x 2 12 y2 3 1 的焦点为(3,0),(3,0), 可得 a2b29. 由可得 a24,b25. 所以 C 的方程为x 2 4 y 2
2、5 1.故选 B. 2(2017全国)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A 1,A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切,则 C 的离心率为() A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D.1 3 答案A 解析由题意知,以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆 相切, 圆心到直线的距离 d 2ab a2b2a,解得 a 3b, b a 1 3, ec a a2b2 a 1 b a 2 1 1 3 2 6 3 . 故选 A. 3(2017全国)已知 F 为抛物线 C:y24x 的焦点,过
3、F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直 线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|DE|的最小值为() A16B14C12D10 答案A 解析因为 F 为 y24x 的焦点, 所以 F(1,0) 由题意知直线 l1,l2的斜率均存在,且不为 0,设 l1的斜率为 k,则 l2的 斜率为1 k,故直线 l 1,l2的方程分别为 yk(x1),y1 k(x1) 由 ykx1, y24x, 得 k2x2(2k24)xk20. 显然,该方程必有两个不等实根 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x22k 24 k2 ,x1x21, 所以|AB| 1
4、k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2 1k2 2k24 k2 2441k 2 k2 . 同理可得|DE|4(1k2) 所以|AB|DE|41k 2 k2 4(1k2) 4 1 k211k 2 84 k21 k284216, 当且仅当 k21 k2,即 k1 时,取得等号 故选 A. 4(2017北京)若双曲线 x2y 2 m1 的离心率为 3,则实数 m_. 答案2 解析由双曲线的标准方程知 a1,b2m,c 1m, 故双曲线的离心率 ec a 1m 3, 1m3,解得 m2. 5(2017山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右支与焦点
5、为 F 的抛物线 x22py(p0)交于 A,B 两点,若|AF|BF|4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 _ 答案y 2 2 x 解析设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 x2 a2 y2 b21, x22py, 得 a2y22pb2ya2b20, 显然,方程必有两个不等实根 y1y22pb 2 a2 .又|AF|BF|4|OF|, y1p 2y 2p 24 p 2,即 y 1y2p, 2pb 2 a2 p,即b 2 a2 1 2, b a 2 2 , 双曲线的渐近线方程为 y 2 2 x. 题型一题型一求圆锥曲线的标准方程求圆锥曲线的标准方程 例 1(2018佛山模拟)设椭圆x
6、2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右焦点分别为 F 1, F2, 上顶点为 B.若|BF2| |F1F2|2,则该椭圆的方程为() A.x 2 4 y 2 3 1B.x 2 3 y21 C.x 2 2 y21D.x 2 4 y21 答案A 解析|BF2|F1F2|2,a2c2, a2,c1,b 3,椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1. 思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,主要利用圆锥曲线的定义、几何性质, 解得标准方程中的参数,从而求得方程 跟踪训练 1已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆 (x2)2y23 相
7、切,则双曲线的方程为() A.x 2 9 y 2 131 B.x 2 13 y2 9 1 C.x 2 3 y21Dx2y 2 3 1 答案D 解析双曲线x 2 a2 y2 b21 的一个焦点为 F(2,0), 则 a2b24, 双曲线的渐近线方程为 yb ax, 由题意得 2b a2b2 3, 联立解得 b 3,a1, 所求双曲线的方程为 x2y 2 3 1,故选 D. 题型二题型二圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 例 2(1)(2018 届辽宁凌源二中联考)已知圆 E: (x3)2(ym4)21(mR), 当 m 变化时, 圆 E 上的点与原点 O 的最短距离是双曲线 C:x 2 a2
8、y2 b21(a0,b0)的离心率,则双曲线 C 的 渐近线为() Ay2xBy1 2x Cy 3xDy 3 3 x 答案C 解析圆 E 的圆心到原点的距离 d 324m2, 由此可得,当 m4 时,圆 E 上的点与原点 O 的最短距离是 dmin312,即双曲线的离心 率为 ec a2, 由此可得b a c2a2 a 3, 双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的渐近线为 y b ax 3x.故选 C. (2)(2016天津)设抛物线 x2pt2, y2pt (t 为参数,p0)的焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B.设 C 7 2p,0,AF
9、 与 BC 相交于点 E.若|CF|2|AF|,且ACE 的面积为 3 2,则 p 的值为_ 答案6 解析由 x2pt2, y2pt (p0)消去t可得抛物线方程为y22px(p0), F p 2,0, 又|CF|2|AF|且|CF| 7 2p p 2|3p, |AB|AF|3 2p, 可得 A(p, 2p) 易知AEBFEC, |AE| |FE| |AB| |FC| 1 2, 故 SACE1 3S ACF1 33p 2p 1 2 2 2 p23 2, p26,p0,p 6. 思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题 型,解决这类问题的关键是熟练掌握各
10、性质的定义,及相关参数间的联系掌握一些常用的 结论及变形技巧,有助于提高运算能力 跟踪训练 2(2017全国)若双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2) 2y2 4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为() A2B. 3C. 2D.2 3 3 答案A 解析设双曲线的一条渐近线方程为 yb ax, 圆的圆心为(2,0),半径为 2, 由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 2212 3. 根据点到直线的距离公式,得 |2b| a2b2 3,解得 b 23a2.所以 C 的离心率 ec a c2 a2 1b 2 a22. 故选 A. 题型三题型三最值、范围问题
11、最值、范围问题 例 3(2017浙江)如图,已知抛物线 x2y,点 A 1 2, 1 4 ,B 3 2, 9 4 ,抛物线上的点 P(x, y) 1 2x 3 2 ,过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q. (1)求直线 AP 斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值 解(1)由 P(x,y),即 P(x,x2) 设直线 AP 的斜率为 k,则 k x21 4 x1 2 x1 2, 因为1 2x 3 2. 所以直线 AP 斜率的取值范围为(1,1) (2)联立直线 AP 与 BQ 的方程 kxy1 2k 1 40, xky9 4k 3 20, 解得点 Q 的横坐标是 xQk 24k
12、3 2k21 . 因为|PA| 1k2 x1 2 1k2(k1), |PQ| 1k2(xQx)k1k1 2 k21 , 所以|PA|PQ|(k1)(k1)3, 令 f(k)(k1)(k1)3, 因为 f(k)(4k2)(k1)2, 所以 f(k)在区间 1,1 2 上单调递增, 1 2,1上单调递减因此当 k1 2时,|PA|PQ|取得最大 值27 16. 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考 虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方 法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线的几何意
13、义求最 值与范围 跟踪训练 3(2016山东)平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的离心率是 3 2 , 抛物线 E: x22y 的焦点 F 是 C 的一个顶点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A,B, 线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. 求证:点 M 在定直线上; 直线 l 与 y 轴交于点 G,记PFG 的面积为 S1,PDM 的面积为 S2,求S1 S2的最大值及取得 最大值时点 P 的坐标 (1)解由题意
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