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类型(步步高 高中理科数学 教学资料)第6讲 空间向量及其运算.doc

  • 上传人(卖家):四川天地人教育
  • 文档编号:1705522
  • 上传时间:2021-09-06
  • 格式:DOC
  • 页数:6
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    资源描述:

    1、第第 6 讲讲空间向量及其运算空间向量及其运算 一、选择题 1.(2017黄冈模拟)已知向量 a(2m1,3,m1),b(2,m,m),且 ab, 则实数 m 的值等于() A.3 2 B.2C.0D.3 2或2 解析ab,2m1 2 3 m m1 m ,解得 m2. 答案B 2.(2017海南模拟)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别为棱 AA1和 BB1 的中点,则 sinCM , D1N 的值为() A.1 9 B.4 5 9 C.2 5 9 D.2 3 解析如图,设正方体棱长为 2,则易得CM (2,2,1), D1N (2,2,1),cosCM , D1N CM D1N

    2、 |CM |D1N | 1 9, sinCM , D1N 1 1 9 2 4 5 9 . 答案B 3.空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等,E 是 BC 的中点,那么() A.AE BCAECD B.AE BCAECD C.AE BCAECD D.AE BC与AECD 的大小不能比较 解析取 BD 的中点 F,连接 EF,则 EF 綉 1 2CD,因为AE , EFAE, CD 90,因为AE BC0,AECD 0,所以AE BCAECD . 答案C 4.已知向量 a(1,1,0),b(1,0,2),且 kab 与 2ab 互相垂直,则 k 的值是() A.1B.4 3 C.5 3 D.

    3、7 5 解析由题意得,kab(k1,k,2),2ab(3,2,2).所以(kab)(2a b)3(k1)2k225k70,解得 k7 5. 答案D 5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC, AD 的中点,则AE AF的值为( ) A.a2B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 解析如图,设AB a,ACb,AD c, 则|a|b|c|a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60. AE 1 2(ab),AF 1 2c, AE AF1 2(ab) 1 2c 1 4(acbc) 1 4(a 2cos 60a2cos 60)1 4a 2.

    4、 答案C 二、填空题 6.已知 2ab(0,5,10),c(1,2,2),ac4,|b|12,则以 b,c 为方向向量的两直线的夹角为_. 解析由题意得,(2ab)c0102010. 即 2acbc10,又ac4,bc18, cosb,c bc |b|c| 18 12 144 1 2, b,c120,两直线的夹角为 60. 答案60 7.正四面体 ABCD 的棱长为 2, E, F 分别为 BC, AD 中点, 则 EF 的长为_. 解析|EF |2(ECCD DF )2 EC 2CD2DF22(ECCD EC DF CD DF ) 1222122(12cos 120021cos 120) 2

    5、, |EF | 2,EF 的长为 2. 答案2 8.(2017南昌调研)已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且MG 2GN ,现用基底OA , OB ,OC 表示向量OG ,有OG xOA yOB zOC ,则 x,y,z 的值分别为_. 解析OG OM MG 1 2OA 2 3MN 1 2OA 2 3(ON OM ) 1 2OA 2 3 1 2(OB OC )1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC , x1 6,y 1 3,z 1 3. 答案 1 6, 1 3, 1 3 三、解答题 9.已知空间中三点 A(2

    6、,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设 aAB ,b AC . (1)若|c|3,且 cBC ,求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值. 解(1)cBC ,BC(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2), cmBC m(2,1,2)(2m,m,2m), |c| (2m)2(m)2(2m)23|m|3, m1.c(2,1,2)或(2,1,2). (2)a(1,1,0),b(1,0,2),ab(1,1,0)(1,0,2)1, 又|a| 121202 2,|b| (1)20222 5, cosa,b ab |a|b| 1 10 10 10 , 即向量 a 与向量 b

    7、的夹角的余弦值为 10 10 . 10.如图,在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1中,E,F 分 别是棱 AB,BC 上的动点,且 AEBFx,其中 0 xa, 以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)写出点 E,F 的坐标; (2)求证:A1FC1E; (3)若 A1,E,F,C1四点共面,求证:A1F 1 2A 1C1 A1E . (1)解E(a,x,0),F(ax,a,0). (2)证明A1(a,0,a),C1(0,a,a), A1F (x,a,a),C1E (a,xa,a), A1F C1E axa(xa)a20, A1F C1E ,A1FC1E. (3)证明A

    8、1,E,F,C1四点共面, A1E , A1C1 ,A1F 共面. 选A1E 与A1C1 为在平面 A1C1E 上的一组基向量,则存在唯一实数对(1,2), 使A1F 1A1C1 2A1E , 即(x,a,a)1(a,a,0)2(0,x,a) (a1,a1x2,a2), xa1, aa1x2, aa2, 解得11 2, 21.于是A1F 1 2A 1C1 A1E . 11.在空间四边形 ABCD 中, AB CD AC DB AD BC ( ) A.1B.0C.1D.不确定 解析如图,令AB a,ACb,AD c,则AB CD AC DB AD BC a(cb)b(ac)c(ba) acabb

    9、abccbca0. 答案B 12.若a,b,c是空间的一个基底,且向量 pxaybzc,则(x,y,z)叫向量 p 在基底a,b,c下的坐标. 已知a,b,c是空间的一个基底,ab,ab,c是空间的另一个基底,一 向量 p 在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3),则向量 p 在基底ab,ab, c下的坐标是() A.(4,0,3)B.(3,1,3) C.(1,2,3)D.(2,1,3) 解析设 p 在基底ab,ab,c下的坐标为 x,y,z.则 px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc, 因为 p 在a,b,c下的坐标为(4,2,3), p4a2b3c, 由得 xy4, xy2,

    10、z3, x3, y1, z3, 即 p 在ab,ab,c下的坐标为(3,1,3). 答案B 13.(2017郑州调研)已知 O 点为空间直角坐标系的原点, 向量OA (1, 2, 3), OB (2,1,2),OP (1,1,2),且点 Q 在直线 OP 上运动,当QA QB 取得最 小值时,OQ 的坐标是_. 解析点 Q 在直线 OP 上,设点 Q(,2), 则QA (1,2,32),QB (2,1,22), QA QB (1)(2)(2)(1)(32)(22)621610 6 4 3 2 2 3.即当 4 3时, QA QB 取得最小值2 3.此时OQ 4 3, 4 3, 8 3 . 答案

    11、 4 3, 4 3, 8 3 14.如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E,F,G 分别是 AB,AD,CD 的中点,计算: (1)EF BA;(2)EG 的长; (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. 解设AB a,ACb,AD c. 则|a|b|c|1, a,bb,cc,a60, (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a,BA a,DC bc, EF BA 1 2c 1 2a(a)1 2a 21 2ac 1 4, (2)EG EB BCCG 1 2aba 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c, |EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2ab 1 2bc 1 2ca 1 2, 则|EG | 2 2 . (3)AG 1 2b 1 2c,CE CAAEb1 2a, cosAG , CE AG CE |AG |CE | 2 3, 由于异面直线所成角的范围是 0, 2 , 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为2 3.

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