第5讲 立体几何中的范围与最值问题（解析版）.docx

1、1 第 5 讲 立体几何中的范围与最值问题 一、单选题 1 （2021浙江衢州市高二期末）如图，在三棱锥DABC中，,1,1ADBC BCAD且 2ABBDACCD，则四面体ABCD的体积的最大值为（） A 1 4 B 2 12 C 3 6 D 5 24 【答案】B 【分析】 作 BEAD 于 E，连接 CE，B 与 C 都是在以 A、D 为焦点的椭球上，且 BE、CE 都垂直于焦距 AD，要求四面 体 ABCD 的体积的最大值，根据 AD 是定值，只需三角形 EBC 的面积最大，又 BC 是定值,只需 EF 最大即可. 【详解】 作 BEAD 于 E，连接 CE，如图， 因为,ADBC,BE

2、 BC再平面 BEC 内相交，所以 AD平面 BEC， 因为 CE平面 BEC，所以 CEAD， 因为2ABBDACCD， 所以 B 与 C 都是在以 A、D 为焦点的椭球上，且 BE、CE 都垂直于焦距 AD， ABBD= AC+CD =2，显然ABDACD，所以 BE=CE. 取 BC 中点 F，,BC EADEFF 2 要求四面体 ABCD 的体积的最大值， 因为 AD 是定值，只需三角形 EBC 的面积最大， 因为 BC 是定值,所以只需 EF 最大即可， 当ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大， 因为 ABBD= AC+CD =2， 1AB， 222 22 13112 1,(1

3、) 22222 EBEF ， 所以几何体的体积为 1122 11 32212 故选：B 【点睛】 方法点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略： （1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱 体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用 公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 2（2021山东高三专题练习） 如图所示， 在三棱锥P ABC中，BC平面PAC，PAAB，4PAAB， 且E为PB的中点，AFPC于F，当AC变化时，则三棱锥PAEF体积的最大值是（） A 2 2 3 B 2 C 4 2 3 D 5 2 3 【答案】C

4、 【分析】 3 由题意知 P AEFE PAF VV 且 2 16 | | 316 | E PAF ACBC V AC ，令|ACa，结合换元法、二次函数最值求 PAEF体积的最大值即可. 【详解】 在三棱锥PABC中，BC平面PAC，4PAAB知： 222 |16ACBCAB，而 1 | | 2| 2 PAC SACPAAC ， 而 P AEFE PAF VV 且 1 | 32 E PAFPAF BC VS ，又 2 22 | | PAFPAC PA SS PAAC E为PB的中点，知： 2 1 |16 | | 32316 | E PAFPAF BCACBC VS AC 设|ACa，则 2

5、|16BCa ，所以 2 2 1616 316 E PAF aa V a ， 令 2 1616ma ，有 (16)(32)16161632 (1)(1) 33 E PAF mm V mmm ， 令 11 (0, 16 x m ， 2 16 512481 3 E PAF Vxx ，而由二次函数 2 ( )512481f xxx 的性质知： 3 64 x 时有最大值为 1 8 ， E PAF V 最大值为 1614 2 332 2 ， 故选：C 【点睛】 本题考查三棱锥的体积计算，结合换元法、二次函数最值求三棱锥体积最值，注意换元过程中定义域的等 价变化. 3 （2021合肥市第六中学高二期末 （

6、理） ） 如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，,E F分别是棱 1 AA， 1 CC的中点，过点,E F的平面分别与棱 1 BB， 1 DD交于点 G，H，给出以下四个命题： 4 平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为 45； 四边形EGFH的面积的最小值为1； 四棱锥 1 CEGFH的体积为定值 1 6 ； 点 1 B到平面EGFH的距离的最大值为 6 3 . 其中正确命题的序号为（） ABCD 【答案】D 【分析】 由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式，计算可得所求最大值，可判断；由四边形EGFH为菱形， 计算面积，分析GH的最小值，可判断；由棱锥的等体积法，计算

7、可判断；由等体积法和函数的性质 可判断. 【详解】 对于，四边形EGFH为平行四边形，又直角梯形CBGF和直角梯形ABGE全等，得EGFG，所以 四边形EGFH为菱形，且GHEF，平面EGFH在底面上的射影为四边形ABCD，设平面EGFH与 平面ABCD所成角为，则 12 cos 1 2 2 ABCD EGFH S SGH GH ，又 23GH ，得 6 cos1 3 ， 可得所成角的最大值不为 45，故错误；对于，由 23GH ，可得菱形EGFH的面积的最小 值为 1 221 2 ，故正确；对于，四棱锥 1 CEGFH的体积为 11 1111 222 3226 CEGFE GFC VVV ，

8、故正确；对于，设BGx，0,1x， 5 11 11 111 32 BEFGE B FG VVx (01x)，设 1 B到平面EGFH的距离为 d，可得 1 2 2 2 1112 21 3222 BEFG Vdx ， 所以 2 2 1 3 11 2 2 4 22 xt d tt x 2 1 311 21 4tt (其中1tx )，当0 x 即1t 时，d取得最大值 6 3 ，故正确. 故选：D. 【点睛】 一般关于体积计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的距离， 代入体积公式计算，二是可以通过等体积法，通过换底换高求解；关于空间几何体中一些边长或者距离的 最值

9、计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本 不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值. 4 （2021安徽黄山市高二期末（理） ）长方体 1111 ABCDABC D中， 2AB ，1BC ， 1 2AA ，P为 该正方体侧面 11 CC D D内（含边界）的动点，且满足tan tan2 2PADPBC .则四棱锥PABCD 体积的取值范围是（） A 2 0, 3 B 2 2 , 33 C 4 0, 3 D 2 4 , 33 【答案】B 【分析】 首先根据tan tan2 2PADPBC 得到 2 22PDPCCD ， 所以P的轨迹是

10、以,C D为焦点 22 2a 的椭圆，再根据椭圆的几何性质可得到四棱锥PABCD的高的最值，即可得到体积的范围. 【详解】 如图所示： 6 在RT PAD中，tan PD PADPD AD ， 在RT PBC中，tan PC PBCPC BC ， 因为tan tan2 2PADPBC ， 所以 2 2PDPC . 因为 2 22PDPCCD 所以点P的轨迹是以,C D为焦点 22 2a 的椭圆. 如下图所示： 2a ，1c ， 2 11b . 椭圆的标准方程为： 2 2 1 2 x y. 1(0,1) P 7 联立 2 2 1 1 2 x x y ，解得： 2 2 y . 所以 2 2 ( 1

11、,) 2 P ， 3 2 (1,) 2 P . 当点P运动到 1 P位置时，此时四棱锥PABCD的高最长， 所以 max1 112 ()2 1 333 P ABCDABCD VSPO . 当点P运动到 2 P或 3 P位置时，此时四棱锥PABCD的高最短， 所以 min2 1122 ()2 3323 P ABCDABCD VSPD . 综上所述： 22 33 P ABCD V . 故选：B 【点睛】 本题主要考查计算四棱锥的体积，同时考查了椭圆的几何性质，将立体思想转化为椭圆思想是解题的关键， 属于难题. 5 （2021江西南昌市南昌十中高二期末（文） ）已知正方体 1111 ABCDABC

12、D的棱长为 1，,E F分别是线 段AB、 1 BD上的动点，若/ /EF平面 11 ADD A，则三棱锥 1 AEFB的最大体积为（） A 3 12 B 1 12 C 1 24 D 1 8 【答案】C 【分析】 在平面 1 BDD内过F作FGDB于G，证明EG 平面 1 AEB，得F到平面 1 AEB的距离等于G到平面 1 AEB的距离，设01BExx，则F到平面 1 AEB的距离等于G到平面 1 AEB的距离为x，利用等 体积法写出三棱锥 1 AEFB的体积，再由二次函数求最值. 【详解】 如图， 8 由 1 DD 底面ABCD，可得平面 1 BDD 底面ABCD， 在平面 1 BDD内过

13、F作FGDB于G， 则FG 底面ABCD，可得 1 / /FGDD， / /FG平面 11 ADD A， 又/ /EF平面 11 ADD A，且 1 FGDDF， 平面/ /EFG平面 11 ADD A， 可得/ /EGAD，则EG 平面 1 AEB， 又 11 / / /FGDDAA，且FG 平面 1 AEB， 可得/ /FG平面 1 AEB， 则F到平面 1 AEB的距离等于G到平面 1 AEB的距离， 设01BExx，则F到平面 1 AEB的距离等于G到平面 1 AEB的距离为x， 则 1 11 111 22 AEB Sxx ， 11 2 1 11 1 3 26 A EFBFAEB VV

14、xxxx ， 当 1 0,1 2 x 时， 1 1 24 A EFB V . 故选：C 【点睛】 本题主要考查了线线、线面、面面平行，线面垂直，三棱锥体积最大值的求法，考查了转化与化归的思想 9 方法，利用二次函数求最值，属于难题. 6 （2021浙江高三月考）已知正方体ABCDABC D 的棱长为 1，点M，N分别为线段 AB ，AC上 的动点，点T在平面BCC B 内，则MT NT 的最小值是（） A 2 B 2 3 3 C 6 2 D1 【答案】B 【分析】 设A点关于BC的对称点为E，M关于 BB 的对称点为 M ，则最小值为直线 EB 与AC之间的距离，利 用等积法可求此最小距离.

15、【详解】 解：A点关于BC的对称点为E，M关于 BB 的对称点为 M ， 记d为直线 EB 与AC之间的距离，则MT NTMTNTMNd， 由/B E D C，d为E到平面ACD的距离， 因为 111 11 1 333 DACEACE VS ， 而 2 133 2 346 DACEE ACD VVdd ，故 2 3 3 d ， 故选：B. 【点睛】 方法点睛：空间中动线段的距离和的最值问题，可以类比平面中的距离和的最值处理利用对称性来处理于 转化，另外异面直线间的公垂线段的长度可利用点到平面的距离来处理. 10 7 （2021浙江丽水市高二期末）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC

16、 D中，E为线段 1 BC的中点，F是 棱 11 C D上的动点，若点P为线段 1 BD上的动点，则PE PF的最小值为（） A 5 2 6 B1 2 2 + C 6 2 D 3 2 2 【答案】A 【分析】 连接 1 BC,得出点, ,P E F在平面 11 BC D中，问题转化为在平面内直线 1 BD上取一点P，求点P到定点E的 距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E关于直线 1 BD到直线 11 C D的距离，从而可得结果. 【详解】 图 1 连接 1 BC,则 11 BCBCE，点, ,P E F在平面 11 BC D中， 且 111111 ,1,2B

17、CC D C DBC，如图 1 所示， 在 11 Rt BC D中，以 11 C D为x轴， 1 C B为y轴，建立平面直角坐标系， 如图 2 所示， 11 图 2 1 2 1,0 ,0,2 ,0, 2 DBE , 设点E关于直线 1 BD的对称点为 E， 1 BD的方程为1 2 y x ， 12 22 EE k ， 直线 EE的方程为 22 22 yx ， 由组成方程组，解得 1 3 2 2 3 x y ， 直线EE与 1 BD的交点 1 2 2 , 33 M ， 对称点 2 5 2 , 36 E ， PEPFPEPF， 最小值为E到直线 11 C D的距离为 5 2 6 ，故选 A. 【点

18、睛】 求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧 12 妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有 界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 8 （2021安徽六安市六安一中高二开学考试（理） ）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，点M在棱AB 上，且1AM ，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线 11 AD的距离与点P到 点M的距离的平方差为 16，则动点P到B点的最小值是（） A 7 2 B2 2C6 D 2 【答案】C 【分析】 作PQAD， 11 Q

19、RAD，PR即为P到直线 11 AD的距离，从而可得PMPQ，即点P的轨迹是以AD 为准线，点M为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解. 【详解】 如图所示，作PQAD，Q为垂足，则PQ 面 11 ADD A 过点Q作 11 QRAD，则 11 AD 面PQR 所以PR即为P到直线 11 AD的距离 因为 222 16PRPQRQ， 22 16PRPM 所以PMPQ 所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线 13 如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是 2 202 2yxy 点 7 ,0 2 B ,设 2 , 2 y Py 所以 2 242 2 7549 22424 yyy PBy

20、 所以当 2 5y ，PB取得最大值6 故选：C 【点睛】 本题考查的是立体几何中的垂直关系、解析几何中抛物线的定义及最值问题，属于较难题. 9 （2021四川资阳市高二期末（文） ）如图，棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 为正方体表面 BCC1B1 上的一个动点，E，F 分别为 BD1的三等分点，则|PEPF的最小值为（） A3 3 B 5 2 2 C16 D 11 【答案】D 【分析】 过F作F关于平面 11 BCC B的对称点 F， 连接EF交平面 11 BCC B于点 0 P， 证明此时的 0 P使得|PEPF 14 最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，|

21、PEPF的最小值为EF . 【详解】 过 F 作 F 关于平面 11 BCC B的对称点 F，连接EF交平面 11 BCC B于点 0 P. 可以证明此时的 0 P使得|PEPF最小：任取 1 P(不含 0 P)，此时 1111 PEPFPEPFEF. 在点 D 处建立如图所示空间直角坐标系， 则 1 0,0,3 ,3,3,0DB，因为 E，F 分别为 BD1的三等分点，所以1,1,2 ,2,2,1EF, 又点 F 距平面 11 BCC B的距离为 1，所以 2,4,1F, |PEPF的最小值为 221 13111EF . 故选：D 10 （2021全国高三专题练习（理） ）已知直三棱柱 11

22、1 ABCABC的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三 角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 111 ,AA BB CC，分别交于三点,M N Q，若MNQ为直角三角形，则 该直角三角形斜边长的最小值为（） A2 2 B3 C2 3 D4 【答案】C 【分析】 设N在B处，AMh，CQm，分别表示出,MQ BQ MB，由勾股定理可构造方程，根据方程有解可 得0 ，求得 2 h的范围，进而得到MB所处的范围. 【详解】 15 如图，不妨设N在B处，AMh，CQm 则 22 4MBh ， 22 4BQm， 2 2 4MQhm 由 222 MBBQMQ得： 2 20mhm ，则 2 80h ，即 2 8h

23、该直角三角形斜边 2 4482 3MBh 故选：C 【点睛】 本题考查立体几何中最值问题的求解，关键是能够通过特殊位置构造出关于变量的方程，通过方程有解确 定所求变量所处的范围；考查了由特殊到一般的基本思想，对于学生的推理能力有一定要求，属于较难题. 11 （2021台州市书生中学高二开学考试）等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角 边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，则下列说法错误的是（） A四面体EBCD的体积有最大值和最小值； B存在某个位置，使得AEBD； C设二面角DABE的平面角为，则DAE； DAE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹

24、为椭圆. 【答案】C 【分析】 通过旋转判定 E 的位置可知 A 的正误， 通过证明 EABD 为正三棱锥可知 B 的正误， 根据, 12 DAE ， 16 可知 C 的正误，利用1 P BC PB d 结合椭圆定义可知 D 的正误 【详解】 对 A，当 CD平面 ABE，且 E 在 AB 的右上方时，E 到平面 BCD 的距离最大， 当 CD平面 ABE，且 E 在 AB 的左下方时，E 到平面 BCD 的距离最小， 四面体 EBCD 的体积有最大值和最小值，故 A 正确； 对 B，连接 DE，若存在某个位置，使得 AEBD，又 AEBE，则 AE平面 BDE，可得 AEDE，进一步可得 A

25、EDE，此时 EABD 为正三棱锥，故 B 正确； 对 C，取 AB 中点 O，连接 DO，EO， 则DOE 为二面角 DABE 的平面角为， 直角边 AE 绕斜边 AB 旋转，则在旋转的过程中，0，） ， , 12 DAE ，所以DAE 不成立C 不正确； 对于 D,AE 的中点 M 与 AB 的中点 N 连线交平面 BCD 于点 P， P 到 BC 的距离为： P BC d ，因为1 P BC PB d ， 17 所以点 P 的轨迹为椭圆D 正确 故选：C 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于旋转过程能借用图形形象直观，同时掌握椭圆的定义，可以更快的解决问题. 12 （2021浙江高一期末）

26、三棱锥 PABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA3，PB2，PC1，设 M 是 底面ABC 内一点，定义 f（M）（m，n，p） ，其中 m，n，p 分别是三棱锥 MPAB，三棱锥 MPBC， 三棱锥 MPCA 的体积.若 f（M）（ 1 2 ，x，y） ，且 1 8 a xy 恒成立，则正实数 a 的最小值为（） A1B134 3 C94 2 D2 【答案】A 【分析】 由题意可得 1 2 P ABC Vxy 三棱锥 ，即21xy.利用基本不等式求 1a xy 的最小值，建立关于a的不 等式，即可解得. 【详解】 ,PA PB PC两两垂直，且3,2,1PAPBPC. 由题意可得

27、111 3 2 11 322 P ABC Vxy 三棱锥 ， 1 ,21 2 xyxy . 所以 1122 222 aayax xya xyxyxy 22 222224 yax aaa xy , 当且仅当 22yax xy ，即yax时，等号成立. 18 由2 248aa 恒成立，解得1a ， 正实数a的最小值为 1. 故选：A. 【点睛】 本题考查棱锥的体积和基本不等式，属于中档题. 二、多选题 13 （2021山东高三专题练习）已知边长为 2 的等边ABC，点D、E分别是边AC、AB上的点，满足 /DE BC且 AD AC （0,1） ，将ADE沿直线DE折到A DE的位置，在翻折过程中，

28、下列结论 成立的是（） A在边A E上存在点F，使得在翻折过程中，满足/BF平面ACD B存在 1 0 2 ,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC平面BCDE C若 1 2 ，当二面角ADEB 等于 60时， 7 2 A B D在翻折过程中，四棱锥A BCDE 体积的最大值记为 f， f的最大值为 2 3 9 【答案】CD 【分析】 假设结论成立，推出矛盾结论判断A，B，利用勾股定理计算| |A B 判断C，求出( )f解析式，利用导数 求出最大值判断D 【详解】 解：对于A，连接AA，A B，AC，显然平面A BE平面A CDAA， 若AE上存在点F使得/ /BFA CD，则/ /

29、BFAA，显然BF与AA为相交直线，矛盾，故A错误； 对于B，设BC中点M，DE中点O，由等边三角形性质可知DEAO，DEA O， 19 若平面A BC平面BCDE，则A在底面BCDE上的射影为M，于是AOOM， 1 2 ，与 1 (0, ) 2 矛盾，故B错误； 对于C，若 1 2 ，二面角ADEB 等于60，则 13 22 OAOMAM ， 设A在底面BCDE上的射影为N，则 3 sin60 4 A NOA ， 3 cos60 4 ONOA ， 3 4 MN， 22 19 4 BNMNBM， 22 7 | 2 ABBNA N ，故C正确； 对于D， AOADDE AMACBC ，2DE，

30、3OAOA ， 2 11 23233 1 22 BCDE S 梯形 ， 显然在翻折过程中，当平面A DE平面BCDE时，四棱锥的体积最大，故 23 1 ( )3(1)3 3 f， 2 ( )13f ，令 ( )0f 可得 3 3 ，当 3 0 3 时， ( )0f ，当 3 1 3 时， ( )0f ， 当 3 3 时，( )f取得最大值 32 3 () 39 f，故D正确 故选：CD 【点睛】 本题考查了线面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题 14 （2021江苏南通市高三期末）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P 为线段 11 B D上一动 点（包括端点

31、） ，则以下结论正确的有（） 20 A三棱锥 1 PABD的体积为定值 1 3 B过点 P 平行于平面 1 ABD的平面被正方体 1111 ABCDABC D截得的多边形的面积为 3 2 C直线 1 PA与平面 1 ABD所成角的正弦值的范围为 36 , 33 D当点 P 与 1 B重合时，三棱锥 1 PABD的外接球的体积为 3 2 【答案】BCD 【分析】 由 11 PA BDAPBD VV ，可判定 A 不正确；根据正方体的结构，得出截面为正 11 BDC，可判定 B 正确；由正 方体的结构特征和性质，以及线面角的定义与求法，可判定 C 正确； 设 1 BD的中点为O， 得到 11 OA

32、OBODOB得出三棱锥 1 PABD的外接球的的半径， 结合体积公式， 可判定 D 正确. 【详解】 对于 A 中，由 11 1211 21 3226 P A BDAPBD VV ，所以 A 不正确； 对于 B 中，过点 P 平行于平面 1 ABD的平面被正方体截得的多边形平面 11 BDC， 此时三角形 11 BDC为边长为 2的等边三角形，其面积为 2 33 ( 2) 42 ，所以 B 正确；对于 C 中，由 正方体的结构特征和性质，可得点 P 到平面 1 ABD的距离为 3 3 ， 21 当点 P 在线段 11 B D上运动时， 1max 1PA（P 为端点时） ， mi 1 n 2 2

33、 PA ， 设直线 1 PA与平面 1 ABD所成角为，则 36 sin, 33 ，所以 C 正确； 对于 D 中，当点 P 与 1 B重合时，此时三棱锥为 11 BABD， 设 1 BD的中点为O，因为 111 90B BDB AD ，可得 11 OAOBODOB 所以三棱锥 1 PABD的外接球的球心为 1 BD的中点，其半径为 3 2 ， 所以三棱锥 1 PABD的外接球的体积为 3 433 () 322 ，所以 D 正确. 故选 BCD. 【点睛】 1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来 解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积. 2、

34、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面 角的正弦值； 3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的 距离相等且为半径； 15 （2021全国高三专题练习） 如图所示， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1,2,ABBCAAP是 1 AB 上的一动点，则下列选项正确的是() ADP的最小值为 3 5 5 BDP的最小值为5 C 1 APPC的最小值为 6 D 1 APPC的最小值为 170 5 22 【答案】AD 【分析】 DP的最小值，即求 1 DAB底边 1 AB上的高即可；旋

35、转 11 ABCV所在平面到平面 11 ABB A， 1 APPC的 最小值转化为求 AC 即可. 【详解】 求DP的最小值，即求 1 DAB底边 1 AB上的高，易知 11 5,2ABADBD，所以 1 AB边上的高为 3 5 5 h ，连接 111 ,AC BC，得 11 ABCV，以 1 AB所在直线为轴，将 11 ABCV所在平面旋转到平面 11 ABB A， 设点 1 C的新位置为C，连接 AC ，则 AC 即为所求的最小值，易知 111 2 2,2,cos 10 AAACAAC ， 所以 2170 422 22() 105 AC . 故选：AD. 【点睛】 本题考查利用旋转求解线段

36、最小值问题. 求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2) 线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化 16（2021山东济南市高二期末） 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2， 点E，F在平面 1111 DCBA内， 若|5AE ，ACDF，则（） A点E的轨迹是一个圆 23 B点F的轨迹是一个圆 CEF的最小值为21 DAE与平面 1 ABD所成角的正弦值的最大值为 2 1530 15 【答案】ACD 【分析】 对于 A、B、C、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项 A：由

37、 22 11 |5AEAAAE，得 1 | 1AE ，分析得 E 的轨迹为圆的一部分； 选项 B：由ACDBF，而点 F 在 11 B D上，即 F 的轨迹为线段 11 B D， ； 选项 C：由 E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段 11 B D，可分析得 min |EFdr； 选项 D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于 A: 22 11 |5AEAAAE，即 22 1 | 25AE，所以 1 | 1AE ，即点 E 为在面 1111 DCBA内，以 1 A为圆心、半径为 1 的圆上，应为圆的一部分；故 A 错误； 对于 B: 正方体 1111 ABCDABC D中，ACBD

38、，又ACDF，且 BDDF=D，所以ACDBF，所以点 F 在 11 B D上，即 F 的轨迹为线段 11 B D，故 B 错误； 对于 C:在平面 1111 DCBA内， 1 A到直线 11 B D的距离为 2,d 当点E，F落在 11 AC上时， min |21EF；故 C 正确； 对于 D: 24 建立如图示的坐标系，则 1 0,0,0 ,2,0,0 ,0,0,2 ,0,2,0ABAD 因为点 E 为在面 1111 DCBA内，以 1 A为圆心、半径为 1 的圆上，可设cos ,sin ,2E 所以 1 cos ,sin ,2 ,2,0, 2 ,2,2,0 ,AEABBD 设平面 1 A

39、BD的法向量 , ,nx y z ，则有 1 220 220 n BDxy n ABxz 不妨令 x=1，则1,1,1n ， 设AE与平面 1 ABD所成角为，则： |2sin2| |cossin2|4 sin|cos,| | |5315 n AE n AE nAE 当且仅当 4 时，sin有最大值 222 1530 1515 ， 故 D 正确 故选：CD 【点睛】 多项选择题是 2020 年高考新题型，需要要对选项一一验证 17 （2021全国高三其他模拟）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点E，F分别是棱AB， 11 AB 的中点，点P在四边形ABCD内(包括边界)运动

40、，则下列说法正确的是（） A若P是线段BC的中点，则平面1 AB P 平面DEF 25 B若P在线段AC上，则 1 D P与 11 AC所成角的取值范围为, 4 2 C若 1/ PD平面 11 AC E，则点P的轨迹的长度为 2 D若/PF平面 11 BCD，则线段PF长度的最小值为 6 2 【答案】AC 【分析】 证明AP 平面DEF，得面面垂直，判断 A；由 1 D AC为正三角形，得 1 D P与 11 AC所成角的取值范围， 判断 B；分别取AD，DC的中点M，N，证明平面 1 /D MN平面 11 AC E，判断 C；取 1 BB的中点R，BC 的中点G，DC的中点N，连接FN，平面

41、/FNGR平面 1 BCD（先证明四点,F N G R共面） ，确定FG 是最小值，然后计算FG后，判断 D 【详解】 对于 A，如下图， P，E分别是线段BC，AB的中点， 故ABPDAE， 则PABADE ， 2 PABDEAADEDEA ， 所以APDE，易知EF 平面ABCD，所以EFAP， 所以AP 平面DEF，从而平面 1 AB P 平面DEF， 故 A 正确. 对于 B，正方体 1111 ABCDABC D中， 11/ ACAC， 26 所以 1 D P与 11 AC所成的角为 1 D P与AC所成的角， 连接 1 D A， 1 DC， 则 1 D AC为正三角形， 所以 1 D

42、 P与 11 AC所成角的取值范围为, 3 2 ， 故 B 错误. 对于 C，如下图， 设平面 11 AC E与直线BC交于点G， 连接 1 C G，EG，则G为BC的中点， 分别取AD，DC的中点M，N， 连接 1 DM，MN， 1 D N，易知 11 /D MC G， 所以 1 /DM平面 11 AC E. 同理可得 1 /D N平面 11 AC E，所以平面 1 /D MN平面 11 AC E， 27 由此结合 1/ PD平面 11 AC E，可得直线 1 PD 平面 1 DMN， 所以点P的轨迹是线段MN，易得 2MN ， 故 C 正确. 对于 D，如下图， 取 1 BB的中点R，BC

43、的中点G，DC的中点N，连接FN， 因为 1/ FBNC， 1 FBNC， 所以四边形 1 FB CN为平行四边形， 所以 1 /FNB C，所以 /FN平面 11 BCD， 连接BD，NG，则/NG BD，又 1 /BD B D， 所以 11 /NG B D，所以/NG平面 11 BCD， 连接FR，GR，易知 1 /GR B C，又 1 /B C FN， 所以/RG FN，故F，N，G，R四点共面， 所以平面/FNGR平面 1 BCD. 因为/PF平面 11 BCD，所以PF 平面FNGR， 所以点P的轨迹为线段NG. 由2AB 知， 2 2FN ， 2NG ， 连接FB，FG，在RtFB

44、G中， 2 222 516FGFBBG，所以6FG ， 所以 222 FNNGFG，得FGN为直角， 28 故线段FP长度的最小值为 6， 故 D 错误. 故选：AC 【点睛】 关键点点睛：本题考查面面垂直，面面平行的证明，考查异面直线所成的角，考查立体几何中点的轨迹解 题关键是动点轨迹的确定，题中是通过平行平面得出动点轨迹解题技巧是利用中点的特征得出构造图形， 证明结论 三、双空题 18 （2021全国高三其他模拟）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 3AA ，点 M，N 分别在棱AB和 1 BB上，且 1 DMMN，则线段BN的长度的最大值为_，此时，三棱锥 1 MACD

45、的体积为 _. 【答案】 3 4 3 【分析】 设BNt03t ，BMx03x， 则3AMx ， 1 3NBt， 根据 222 11 D MMND N列 方程可得 2 133 324 tx ，所以当 3 2 x 时，t取得最大值 3 4 ，根据 1 MACD V 1 DACM V 以及棱锥的体 积公式可得结果. 【详解】 设BNt03t ，BMx03x，则3AMx ， 1 3NBt， 29 在正方体中，因为 1 3AA ，所以 111 3 2ADB D， 所以 2 2 2 1 3 23D Mx， 2 2 2 1 3 23D Nt， 222 MNxt ， 因为 1 DMMN，所以 222 11

46、D MMND N， 即 22 22 183183xxtt，化简得 2 33txx 2 39 24 x ， 所以 2 133 324 tx ，所以当 3 2 x 时，t取得最大值 3 4 ， 所以线段BN的长度的最大值为 3 4 ， 此时 1 MACD V 1 DACM V 11 32 33 32 . 故答案为： 3 4 ；3 【点睛】 本题考查了正方体的结构特征，考查了棱锥的体积公式，属于基础题. 19 （2021江苏常州市高三期末）矩形ABCD中，3,1ABBC，现将ACD沿对角线AC向上翻 折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为_；设二面角DACB的平面角为， 当在, 3 2 内

47、变化时，BD的范围为_. 【答案】 4 3 ； 710 , 22 . 【分析】 根据题意，由矩形ABCD可求出 1 1 2 OAOBOCODAC，从而确定点O是四面体DABC外 接球的球心，得出外接球的半径1r ，由球的体积公式 3 4 3 Vr即可求出该四面体外接球的体积；利用 几何法作BEAC、DFAC且EGAC，确定二面角DACB的平面角为BEG，则 BEG，根据空间向量的线性运算和向量的数量积公式，得出 53 cos 22 BDBEEFFD ， 结合, 3 2 ，即可求出BD的范围. 30 【详解】 解：已知矩形ABCD中，3,1ABBC， 在矩形ABCD中，连接AC和BD交于点O，

48、2 222 312ACBDABBC ， 1 1 2 OAOBOCODAC， 可知点O是四面体DABC外接球的球心，则外接球的半径1r ， 所以该四面体外接球的体积 3 44 33 Vr； 在四面体DABC中，作BEAC交AC于点E，DFAC交AC于点F， 再作EGAC交CD于点G，则/EGDF， 所以二面角DACB的平面角为BEG，则BEG， 在矩形ABCD中，可知3,1ABBC，1OCOB， 所以BOC是等边三角形， 3 cos30 2 BEDFBC ， 2sin301EFACCEACBC ， 由四面体DABC可知，BEEF，DFEF，则 0BE EF ， 0DF EF ， 而 222 22

49、2BDBEEFFDBEEFFDBE EFEF FDBE FD 22 222 2 33 212 22 BEEFFDBE FDEB FD 3353353 12cos2coscos 4422222 EBFD 即 53 cos 22 BD， 所以当在, 3 2 内变化时， 1 0cos 2 ，则 710 22 BD ， 即BD的范围为 710 , 22 . 31 故答案为： 4 3 ； 710 , 22 . 【点睛】 关键点点睛：本题考查四面体外接球的体积和空间二面角的求法，利用空间向量的线性运算求出 BDBEEFFD 是解题的关键，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 20 （2021全国高三专题练习）

50、如图所示，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是正方 形 1111 DCBA和正方形 11 ADD A的中心，P为线段EF上的点（P异于E，F） ，则EF和BC所成的角的大 小是_，三棱锥 1 PABC的体积为_. 【答案】 2 1 6 【分析】 将异面直线平移到同一个平面内即可求出EF和BC所成的角，利用线面平行得到三棱锥 1 PABC的高， 再利用椎体的体积公式即可求得. 【详解】 32 解：如图所示：连接 11 D B， 1 AB， 又E，F分别为 11 D B， 1 AD的中点， 1 /EF AB， 又 11 /BC BC， 11 ABC就是EF和BC所成