高考数列知识点、公式总结.docx

1、数列知识点、公式总结 一、数列的概念 1、数列的概念： 一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的 每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成 123 , n a a aa， 简记为数列 n a， 其中第一项 1 a也成为首项； n a 是数列的第n项，也叫做数列的通项. 数列可看作是定义域为正整数集N （或它的子集）的函 数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就 是这个数列. 2、数列的分类： 按数列中项的多数分为： （1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限. 3、通项公式： 如果数列 n a的第n项 n a与项

2、数n之间的函数关系可以用 一个式子表示成 n af n， 那么这个式子就叫做这个数列的通 项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 4、数列的函数特征： 一般地，一个数列 n a， 如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即 1nn aa ， 那么这个数列叫做递增数列; 如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即 1nn aa ， 那么这个数列叫做递减数列; 如果数列 n a的各项都相等，那么这个数列叫做常数列. 5、递推公式： 某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一 个公式来表示，叫做递推公式 二、等差数列 1、等差数列的概念： 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是

3、同一个常 数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的公差. 即 1nn aad （常数） ， 这也是证明或判断一个数列是否为等差 数列的依据. 2、等差数列的通项公式： 设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，则通项公式为： 1 1, nm aandanm dnmN、. 3、等差中项： （1）若aAb、 、成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且 = 2 ab A ; （2）若数列 n a为等差数列，则 12 , nnn a aa 成等差数列，即 1n a 是 n a与 2n a 的等差中项，且 2 1= 2 nn n aa a ；反之若数列 n a满足 2 1= 2 nn

4、 n aa a ，则数列 n a是等差数列. 4、等差数列的性质： （ 1 ） 等 差 数 列 n a中 ， 若,mnpq mnpqN、 、 、则 mnpq aaaa，若2mnp，则2 mnp aaa； （2）若数列 n a和 n b均为等差数列，则数列 nn ab也为等差 数列； （3）等差数列 n a的公差为d，则 0 n da为递增数列， 0 n da为递减数列， 0 n da为 常数列. 5、等差数列的前 n 项和 n S： （1）数列 n a的前 n 项和 n S= 1231 , nn aaaaanN ； （2）数列 n a的通项与前 n 项和 n S的关系： 1 1 ,1 . ,2

5、 n nn S n a SSn （3）设等差数列 n a的首项为 1, a公差为d，则前 n 项和 1 1 1 =. 22 n n n aan n Snad 6、等差数列前 n 和的性质： （1）等差数列 n a中，连续 m 项的和仍组成等差数列，即 12122 , mmmm aaaaaa 21223mmm aaa ,仍为等差数列（即 232 , mmmmm SSSSS成等差 数列） ； （2）等差数列 n a的前 n 项和 2 11 1 =, 222 n n ndd Snadnan 当 0d 时， n S可看作关于 n 的二次函数，且不含常数项； （ 3 ） 若 等 差 数 列 n a共 有

6、 2n+1 （ 奇 数 ） 项 ， 则 1 1 =, n Sn SSa Sn 奇 奇偶 偶 中间项 且若等差数列 n a共有 2n （偶数） 项， 则 1 =. n n Sa SSnd Sa 偶 奇偶 奇 且 7、等差数列前 n 项和 n S的最值问题： 设等差数列 n a的首项为 1, a公差为d，则 （1） 1 00ad且（即首正递减）时， n S有最大值且 n S的最大 值为所有非负数项之和； （2） 1 00ad且（即首负递增）时， n S有最小值且 n S的最小 值为所有非正数项之和. 三、等比数列 1、等比数列的概念： 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一 个不为零的常

7、数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q ）. 即 1n n a q q a 为非零常数， 这也是证明或判断一个数列是否为等比 数列的依据. 2、等比数列的通项公式： 设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q，则通项公式为： 1 1 , nn m nm aa qa qnm nmN 、. 3、等比中项： （1）若aAb、 、成等比数列，则A叫做a与b的等比中项，且 2= Aab; （2）若数列 n a为等比数列，则 12 , nnn a aa 成等比数列，即 1n a 是 n a与 2n a 的等比中项，且 2 12 = nnn aaa ；反之

8、若数列 n a满足 2 12 = nnn aaa ，则数列 n a是等比数列. 4、等比数列的性质： （ 1 ） 等 比 数 列 n a中 ， 若,mnpq mnpqN、 、 、则 mnpq aaaa，若2mnp，则 2 mnp aaa； （2）若数列 n a和 n b均为等比数列，则数列 nn ab也为等比 数列； （3）等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q，则 11 00 101 n aa a qq 或为递增数列， 11 00 011 n aa a qq 或为递减 数列， 1 n qa 为常数列. 5、等比数列的前 n 项和： （1）数列 n a的前 n 项和 n S= 1231 ,

9、 nn aaaaanN ； （2）数列 n a的通项与前 n 项和 n S的关系： 1 1 ,1 . ,2 n nn S n a SSn （3）设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为0q q ，则 1 1 ,1 .1 ,1 1 n n na q Saq q q 由等比数列的通项公式及前 n 项和公式可知，已知 1, , , , nn a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个. 6、等比数列的前 n 项和性质： 设等比数列 n a中，首项为 1 a，公比为0q q ，则 （ 1 ） 连 续 m 项 的 和 仍 组 成 等 比 数 列 ， 即 12122 , mmmm aaa

10、aaa 21223mmm aaa ,仍为等比数列 （即 232 , mmmmm SSSSS成等差数列） ； （2）当1q 时， 1 11111 1 1 111111 n nnn n aq aaaaa Sqqq qqqqqq ， 设 1 1 a t q ，则 n n Stqt. 四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念： 一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系， 把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初 始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式： 对于任意的数列 n a恒有： （1） 12132431nnn aaaaaaaaaa （2） 234 1 1231

11、,0, n nn n aaaa aaanN aaaa 3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法） ：已知 n S（即 12 ( ) n aaaf n）求 n a，用作 差法： 1 1 ,(1) ,(2) n nn Sn a SSn 类 型 二 （ 累 加 法 ） ： 已 知 ： 数 列 n a的 首 项 1 a, 且 1 , nn aaf nnN ，求 n a通项. 给递推公式 1 , nn aaf nnN 中的n依次取1,2,3， ， n-1, 可得到下面 n-1 个式子： 2132431 1 ,2 ,3 ,1 . nn aafaafaafaaf n 利用公式 12132431

12、nnn aaaaaaaaaa 可得： 1 1231 . n aaffff n 类型三 （累乘法） ： 已知： 数列 n a的首项 1 a,且 1 , n n a f nnN a ， 求 n a通项. 给递推公式 1 , n n a f nnN a 中的 n 一次取 1,2,3，n-1, 可得到下面 n-1 个式子： 234 1231 1 ,2 ,3 ,1 . n n aaaa ffff n aaaa 利用公式 234 1 1231 ,0, n nn n aaaa aaanN aaaa 可得： 1 1231 . n aaffff n 类型四（构造法） ：形如qpaa nn 1 、 n nn qp

13、aa 1 （qpbk,为常 数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比 数列后，再求 n a。 qpaa nn 1 解法： 把原递推公式转化为：)( 1 tapta nn ， 其中 p q t 1 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 n nn qpaa 1 解法：该类型较要复杂一些。一般地，要 先在原递推公式两边同除以 1n q，得： qq a q p q a n n n n 1 1 1 引 入辅助数列 n b（其中 n n n q a b ） ，得： q b q p b nn 1 1 再应用 qpaa nn 1 的方法解决。 类 型 五 （ 倒 数 法 ） ： 已 知 ： 数 列

14、n a的 首 项 1 a, 且 1 ,0, n n n pa arnN qar ，求 n a通项. 1 111 1111 nn n nnnnnnn paqarrqrq a qarapaapapap ap 设 1 1 11 ,. nn nn bb aa 则 1nn rq bb pp ， 若,rp则 11 = nnnn qq bbbb pp ，即数列 n b是以 q p 为公差的等 差数列. 若,rp则 1nn rq bb pp （转换成类型四）. 五、数列常用求和方法 1.公式法 直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数 的平方和公式，立方和公式等公式求解. 2.分组求和法 一个数列的通

15、项公式是由若干个等差或等比或可求和的 数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互 抵消，于是前 n 项和就变成了首尾少数项之和. 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 对应项的乘积组成的，此时可把式子 121nnn Saaaa 的两 边同乘以公比(01)q qq且，得到 121nnn qSa qa qaqa q ，两 式错位相减整理即可求出 n S. 5、常用公式： 1、平方和公式： 2 222 121 121 6 n nn nn 2、立方和公式： 2 2 3 333 1 121121 2

16、 n n nnnn 3、裂项公式： 1111111 ; 11 . 111 1; 1 n nnnn nkknnk nnnkn knnnnk 分式裂项： 根式裂项： 六、数列的应用 1、零存整取模型： 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入 一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本 利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利. 注： 单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利 息不再计算利息.其公式为:利息=本金利率存期.以符号 p 代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和利息和(即本利 和),则有s=p(1+nr). 零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.

17、 2、定期自动转存模型： 银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某 日存入一笔 1 年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和. 则银行自动办理转存业务,第 2 年的本金就是第 1 年的本利 和. 注： 复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每 一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是:s=p(1+r)n. 定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应 用. 3、分期付款模型： 分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间 隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二者的差额 与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款 是等比数列的模型. 采用分期

18、付款的方法，购买售价为a元的商品（或贷款 a元），每期付款数相同，购买后 1 个月（或 1 年）付款 一次， 如此下去， 到第n次付款后全部付清， 如果月利率 （或 年利率）为b，按复利计算，那么每期付款x元满足下列关 系： 设第n次还款后，本利欠款数为 n a，则 1 1,aabx 21321 1,1,1, nn aabx aabxaabx 由 11 11 nnnn xx aabxaba bb 知， 数列 n x a b 是以 1 11 xxx aabxba bbb 为首项， 1qb为公比的等比数列. 1 1 1 11 n n n xxx aaqbab bbb 1, nx ab b 1 n

19、n xx aab bb . 令0 n a 得：1=0 nxx ab bb ， 1 11 n n abb x b 数列求和公式总结 一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 2、等比 数列求和公式： ) 1( 11 )1 ( ) 1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 例 1 已知 3log 1 log 2 3 x，求 n xxxx 32 的前 n 项和. 解：由 2 1 2loglog 3log 1 log 33 2 3 xxx 由等比数列求和公式得： n n xxxxS 32 = x xx n

20、 1 )1 ( 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 n 1 n 2 1 例 2 设 Sn1+2+3+n，nN*,求 1 )32( )( n n Sn S nf的最 大值. 解：由等差数列求和公式得) 1( 2 1 nnSn，)2)(1( 2 1 nnSn 1 )32( )( n n Sn S nf 6434 2 nn n n n 64 34 1 50) 8 ( 1 2 n n 50 1 当 8 8 n，即 n8 时， 50 1 )( max nf 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中 an、 bn分

21、别是等差数列和等比数列. 例 3 求和： 132 ) 12(7531 n n xnxxxS 解： 由题可知， 1 ) 12( n xn的通项是等差数列2n1的通 项 与 等 比 数 列 1n x 的 通 项 之 积 ： 设 n n xnxxxxxS) 12(7531 432 （设制错位） 得 nn n xnxxxxxSx) 12(222221)1 ( 1432 （ 错 位 相 减 ） 再 利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 得 ： n n n xn x x xSx) 12( 1 1 21)1 ( 1 。 2 1 )1 ( )1 () 12() 12( x xxnxn S nn n 例

22、4 求数列 , 2 2 , 2 6 , 2 4 , 2 2 32n n 前 n 项的和.解：由题可知， n n 2 2 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 n 2 1 的通项之积 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 得 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 1 ( nn n n S 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一 个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，

23、就可以 得到 n 个)( 1n aa . 例 6 求 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 的值 解：设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S. 将式右边反序得： 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 又 因 为1cossin),90cos(sin 22 xxxx ， + 得： )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222 S89 S44.5 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后 分别求和，再将其合并即可.

24、 例 7 求数列的前 n 项和：23 1 , 7 1 , 4 1 , 11 12 n aaa n ， 解：设)23 1 ()7 1 ()4 1 () 11 ( 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 )23741 () 111 1 ( 12 n aaa S n n （分组） 当 a1 时， 2 ) 13(nn nSn 2 ) 13(nn （分组求和）当1a时， 2 ) 13( 1 1 1 1 nn a a S n n 2 ) 13( 1 1 nn a aa n 例 8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和. 解 ： 设kkkkkkak 23 32) 12)(1( n

25、k n kkkS 1 ) 12)(1( )32( 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得： Snkkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 )21 ()21 ( 3)21 ( 2 222333 nnn = 2 ) 1( 2 ) 12)(1( 2 ) 1( 22 nnnnnnn 2 )2() 1( 2 nnn 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实 质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能 消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）)() 1(nfnfan（2） nn nn tan) 1tan( ) 1c

26、os(cos 1sin （3） 1 11 ) 1( 1 nnnn an（4） ) 12 1 12 1 ( 2 1 1 ) 12)(12( )2( 2 nnnn n an （5） )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn an n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2) 1( 1 1, 2) 1( 1 2 1 2 1 ) 1( ) 1(2 2 1 ) 1( 2 1 则 例 9求数列 , 1 1 , 32 1 , 21 1 nn 的前 n 项和. 解：设nn nn an 1 1 1 ，则 1 1 32 1 21 1 nn Sn )1()23()

27、12(nn 11n 例 10在数列an中， 11 2 1 1 n n nn an，又 1 2 nn n aa b， 求数列bn的前 n 项的和. 解： 211 2 1 1n n n nn an ) 1 11 (8 2 1 2 2 nn nn bn 数列bn的前 n 项和： ) 1 11 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1(8 nn Sn) 1 1 1 (8 n 1 8 n n 例 11 求证： 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 解：设 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S

28、nn nn tan) 1tan( ) 1cos(cos 1sin 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan 1sin 1 )0tan89(tan 1sin 1 1cot 1sin 1 1sin 1cos 2 原等式成 立 例 2. 计算： 六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊 的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求 和，然后再求 Sn. 例 12求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值. 解： 设 Sn

29、cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 )180cos(cos nn（找特殊性质项） Sn（cos1+ cos179） + （ cos2+ cos178） +（cos3 + cos177） + （cos89+ cos91） + cos90 0（合 并求和） 例 13数列an： nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1，求 S2002. 解：设S2002 2002321 aaaa ，由 nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1可得 , 2, 3, 1 654 aaa , 2, 3, 1, 2, 3, 1 121110987 aaaaaa 2, 3

30、, 1, 2, 3, 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa 0 665646362616 kkkkkk aaaaaa S2002 2002321 aaaa = )()()( 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 )(aaaaaaa = 2002200120001999 aaaa 46362616 kkkk aaaa5 例 14在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 中 ， 若 103231365 logloglog, 9aaaaa 求的值。 解：设 1032313 logloglogaa

31、aSn 由等比数列的性质 qpnm aaaaqpnm和对数的运算性质 NMNM aaa logloglog得： )log(log)log(log)log(log 6353932310313 aaaaaaSn )(log)(log)(log 6539231013 aaaaaa 9log9log9log 333 10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特 征， 然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和， 是一个重要的方法. 例15求 1 1111111111 个n 之 和 . 解 ： 由 于 ) 110( 9 1 9999 9 1 1111 11 k

32、 kk 个个 1 1111111111 个n ) 110( 9 1 ) 110( 9 1 ) 110( 9 1 ) 110( 9 1 321 n ) 1111 ( 9 1 )10101010( 9 1 1 321 个n n 9110 ) 110(10 9 1n n )91010( 81 1 1 n n 例 16已知数列an： 1 1) )(1(, )3)(1( 8 n nnn aan nn a求的值. 解： )4)(2( 1 )3)(1( 1 )1(8)(1( 1 nnnn naan nn ) 4)(3( 1 ) 4)(2( 1 8 nnnn ) 4 1 3 1 (8) 4 1 2 1 (4 nnnn 111 1 ) 4 1 3 1 (8) 4 1 2 1 (4)(1( nnn nn nnnn aan 4 1 8) 4 1 3 1 (4 3 13