集合与函数-高考数学.doc

1、第 1 页 共 15 页 集合集合 考试内容考试内容：集合、子集、补集、交集、并集逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件 考试要求：考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包 含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充 分条件、必要条件及充要条件的意义 01.01. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑集合与简易逻辑集合与简易逻辑知识要点知识要点知识要点知识要点 一、知识结构一、知识结构: : 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简

2、）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集，记为AA ； 空集是任何集合的子集，记为A； 空集是任何非空集合的真子集； 如果BA ，同时AB ，那么A = B. 如果CACBBA，那么，. 注：Z= 整数（）Z=全体整数 （） 已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（）（例：S=N； A= N， 则 C CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合A=集合B，则 C

3、CBA=，C CAB=C CS（C CAB） =D（注： C CAB=） . 第 2 页 共 15 页 3. （x，y）|xy=0，xR，yR坐标轴上的点集. （x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. 例： 132 3 yx yx 解的集合(2，1). 点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)|y=x+1B=y|y=x 2+1 则AB=） 4. n个元素的子集有 2 n个. n个元素的真子集有 2 n 1 个.n个元素的非空真子 集有 2 n2 个. 5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.

4、 否命题逆命题. 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题. 例：若325baba或，则应是真命题. 解：逆否：a= 2 且b= 3，则a+b= 5，成立，所以此命题为真. ，且21yx3 yx. 解：逆否：x + y=3x =1 或y= 2. 21yx且3 yx,故3 yx是21yx且的既不是充分，又不是必要条件. 小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255xxx或，. 4. 集合运算：交、并、补. |, | , ABx xAxB ABx xAxB AxUxA U 交：且 并：或 补：且C 5. 主要性质和运算律 （1）包含关系： , ,;,;,. U AAA

5、AUAU AB BCAC ABA ABB ABA ABB C （2）等价关系： U ABABAABBABUC （3）集合的运算律： 交换律：.;ABBAABBA 结合律:)()();()(CBACBACBACBA 分配律:.)()()();()()(CABACBACABACBA 0-1 律：,AAA UAA UAU 等幂律：.,AAAAAA 第 3 页 共 15 页 求补律：ACUA= =ACUA=U=UC CUU= =C CU U=U 反演律：CU(AB)= (C(CUA) )(C CUB) )C CU(AB)= (C(CUA) )(C CUB) ) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集 A

6、 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card() =0. 基本公式： (1)()( )( )() (2)()( )( )( ) ()()() () card ABcard Acard Bcard AB card ABCcard Acard Bcard C card ABcard BCcard CA card ABC (3) card( ( UA)= )= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.1.整式不等式的解法整式不等式的解法 根轴法根轴法（零点分段法） 将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0

7、”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等 式是“b 解的讨论； 一元二次不等式 ax 2+box0(a0)解的讨论. 000 二次函数 cbxaxy 2 （0a）的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 第 4 页 共 15 页 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 p则 q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 q则 p 互 为 逆 否 互 逆否 互 为 逆否 互 互逆 否 互 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2R 的解集)0( 0 2 a

8、 cbxax 21 xxxx 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为 )( )( xg xf 0(或 )( )( xg xf 0)； )( )( xg xf 0(或 )( )( xg xf 0)的形式， （2） 转化为整式不等式 （组） 0)( 0)()( 0 )( )( ; 0)()(0 )( )( xg xgxf xg xf xgxf xg xf 3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：cbax,与)0( ccbax型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程 a

9、x 2+bx+c=0(a0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单 命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq” )；p 且 q(记作“pq” )；非 p(记 作“q” ) 。 3、“或”、“且”、“非”的真值判断 （1）“非 p”形式复合命题的真假

10、与 F 的真假相 反； （2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时 为真，其他情况时为假； （3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时 为假，其他情况时为真 4、四种命题的形式： 原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p； 否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； 第 5 页 共 15 页 (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)

11、 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 、原命题为真，它的否命题不一定为真。 、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq. 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从 而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 高中数学第二章高中数学第二章- -函数函数 考试内容：考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性 反函数互为反函数的函数图像间的关系 指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数 对数对数的运算性质对数函数

12、 函数的应用 考试要求：考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念 （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法 （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数 （4） 理解分数指数幂的概念， 掌握有理指数幂的运算性质， 掌握指数函数的概念、 图像和 性质 （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质 （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 02.02. 函数函数函数函数知识要点知识要点知识要点知识要点 一、本章知识网络结构： 第 6 页 共 15 页 二、知识

13、回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因 为这二者确定后， 值域也就相应得到确定， 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数)(Axxfy的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表 示出，得到 x=(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=(y)，x 在 A 中都有唯一 的值和它对应，那么，x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数 x=(y) (yC)叫做函数)(Axxfy的反函数，记

14、作)( 1 yfx ,习惯上改 写成)( 1 xfy （二）函数的性质 函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, 若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； 若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严 格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函 数. 2.函数的奇偶性 ? 奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ? ?f(

15、-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. ? 偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ? ?f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 第 7 页 共 15 页 7. 奇函数，偶函数： 偶函数：)()(xfxf 设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于y轴对称，例如：1 2 xy在) 1, 1 上不是偶函数. 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1 )( )( xf xf . 奇函数：)()(xfxf 设（ba,）为奇函数上一点，则（ba ,）也是图象上一点. 奇

16、函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于原点对称，例如： 3 xy 在) 1, 1 上不是奇函数. 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1 )( )( xf xf . 8. 对称变换：y=f（x）（ 轴对称 xfy y y=f（x）（ 轴对称 xfy x y=f（x）（ 原点对称 xfy 9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+ x x 1 的定义域为A，函数ff（x）的定义域是B，则集合A 与集合B之间的关系是. 解：)(xf的值域是)(xff

17、的定义域B，)(xf的值域R， 故RB， 而A1|xx， 故AB . 11. 常用变换： 22 1 22 212122 2 22 121 )( )()( bxbx xxxx bxbxxfxf x ）（ AB 第 8 页 共 15 页 x y )( )( )()()()( yf xf yxfyfxfyxf. 证：)()()()( )( )( )(yfyxfyyxfxf xf yf yxf )()()()()()(yfxfyxfyfxf y x f 证：)()()()(yf y x fy y x fxf 12. 熟悉常用函数图象： 例： | 2 x y | x关于y轴对称. | 2| 2 1 x

18、y | 2 1 x y | 2| 2 1 x y x y x y (0,1) x y (-2,1) | 122| 2 xxy| y关于x轴对称. 熟悉分式图象： 例 ： 3 7 2 3 12 xx x y定 义 域, 3|Rxxx， 值域, 2|Ryyy值域 x前的系数之比. （三）指数函数与对数函数 指数函数) 10(aaay x 且 的图象和性质 a10a0 时，y1;x0 时，0y0 时，0y1;x1. （5）在 R 上是增函数（5）在 R 上是减函数 对数函数y=logax的图象和性质: 对数运算： nanaaa cba b b a N a n a a n a aaa aaa aaaa

19、 acb a N N Na M n M MnM NM N M NMNM n a 1121 loglog.loglog 1logloglog log log log log 1 log loglog logloglog loglog)(log 32 log )12 ) 1 ( 推论： 换底公式： （以上 10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ） 第 10 页 共 15 页 a10a1 ? a10a1 ? a10a1 ? a10a1 ? a10a1 ? a10a1 ? a10a1 ? a10a1 ? a10a1 ? a10a1 ? a0 ) 1 , 0(x 时

20、0y ), 1 ( x 时 0y （5）在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数 第 15 页 共 15 页 注：当0,ba时，)log()log()log(baba. ：当0M时，取“+”，当n是偶数时且0M时，0 n M，而0M，故取“”. 例如：xxx aaa log2(log2log 2 中x0 而 2 log x a 中xR）. x ay （1, 0aa ）与xy a log互为反函数. 当1a时，xy a log的a值越大，越靠近x轴；当10 a时，则相反. .函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法. .反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的

21、值域). .函数的定义域的求法： 布列使函数有意义的自变量的不等关系式， 求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0； 偶次根式中被开方数不小于 0； 对数的真数 大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义 等. .函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法； 不等式法；函数的单调性法. .单调性的判定法： 设 x1,x2是所研究区间内任两个自变量， 且 x1x2； 判定 f(x1) 与 f(x2)的大小；作差比较或作商比较. .奇偶性的判定法： 首先考察定义域是否关于原点对称， 再计算 f(-x)与 f(x)之间的关 系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数. .图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的 图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.