双曲线性质92条及其证明-高中数学.doc

1、双曲线双曲线 1. 12 2PFPFa2.标准方程 22 22 1 xy ab 3. 1 1 1 PF e d 4点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角. 5PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8设 P 为双曲线上一点，则PF1F2的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点. 9双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴

2、平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 10若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上，则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 11若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直 线方程是 00 22 1 x xy y ab . 12AB 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 2

3、 2 OMAB b kk a . 13若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 14若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 15若 PQ 是双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0）上对中心张直角的弦，则 12 2222 12 1111 (|,|)rOP rOQ rrab . 16 若 双 曲 线 22 22 1 xy ab （

4、 b a 0 ） 上 中 心 张 直 角 的 弦 L 所 在 直 线 方 程 为1AxBy(0)AB , 则 (1) 22 22 11 AB ab ;(2) 4242 2222 2 | a Ab B L a Ab B . 17 给定双曲线 1 C： 222222 b xa ya b（ab0） , 2 C： 22 22222 22 () ab b xa yab ab ,则(i)对 1 C上任意给定的点 00 (,)P xy, 它的任一直角弦必须经过 2 C上一定点 M 2222 00 2222 (,) abab xy abab . (ii)对 2 C上任一点 00 (,)P xy在 1 C上存在

5、唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 P点. 18设 00 (,)P xy为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上一点，P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2斜率存在，记为 k1, k2, 则 直线 P1P2通过定点 00 (,)M mxmy(1)m 的充要条件是 2 12 2 1 1 m b kk m a . 19过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 20双曲线 22 22 1 xy ab

6、（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 为双曲线上任意一点 12 FPF，则双曲线的焦点 角形的面积为 12 2 cot 2 F PF Sb ， 2 222 (cot,cot) 22 ab Pcb cc . 21若 P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点, 12 PFF, 21 PF F， 则tant 22 ca co ca （或tant 22 ca co ca ）. 22双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的焦半径公式： 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c 当 00 (,)M xy在右支上时，

7、 10 |MFexa, 20 |MFexa. 当 00 (,)M xy在左支上时， 10 |MFexa , 20 |MFexa . 23若双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求 一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d1与 PF2的比例中项. 24 P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 上任一点,F1,F2为二焦点， A 为双曲线左支内一定点， 则 21 | 2|AFaPAPF, 当且仅当 2 ,A F P三点共线且P在左支时，等号成立. 25 双 曲 线 22 22 1 xy

8、 ab （ a 0,b 0 ） 上 存 在 两 点 关 于 直 线l： 0 ()yk xx对 称 的 充 要 条 件 是 222 2 0 222 () 0 aba xkk ab kb 且. 26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28P 是双曲线 sec tan xa yb （a0，b0）上一点，则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是 2 2 1 1tan e . 29设 A,B 为双曲线 22 22 xy k ab （a0,b0

9、，0,1kk）上两点，其直线 AB 与双曲线 22 22 1 xy ab 相交于,P Q,则 APBQ. 30在双曲线 22 22 1 xy ab 中，定长为 2m（0m ）的弦中点轨迹方程为 22 2222 22 2 22 2222 22 1coshsinh,coth,00 1sinhcoshcoth,00 xyay atbttxt abbx m xybx atbttyt abay 时，弦两端点在两支上 ，时，弦两端点在同支上 31 设 S 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 的通径， 定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲线右支上移动， 记|AB|=l， 00 (,)M

10、xy 是 AB 中点，则当lS 时，有 2 0min () 2 al x ce 222 (cab, c e a );当lS 时，有 22 0min ()4 2 a xbl b . 32双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 A aB bC. 33 双 曲 线 22 00 22 ()() 1 xxyy ab （ a 0,b 0 ） 与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 22222 00 ()A aB bAxByC. 34设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端

11、点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记 12 FPF, 12 PFF, 12 FF P，则有 sin (sinsin) c e a . 35经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的实轴的两端点 A1和 A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于 P1和 P2，则 2 1122 | |PAP Ab. 36 已知双曲线 22 22 1 xy ab （ba0） ， O为坐标原点， P、 Q为双曲线上两动点， 且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ; （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 22 22 4a b ba ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a

12、 b ba . 37MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）过焦点的任一弦(交于两支)，若 AB 是经过双曲线中心 O 且平行于 MN 的 弦，则 2 |2 |ABa MN. 38MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （ab0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心 O 的半弦OPMN，则 222 2111 |a MNOPba . 39设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与双曲线相 交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点 N 在直线l： 2

13、 a x m 上. 40设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF. 41过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42设双曲线方程 22 22 1 xy ab ,则斜率为 k(k0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线 yk x上,而且 2 2 b kk a . 43设 A、B、C、D 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）

14、上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为, ，直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在双曲线上,则 2222 2222 | |cossin | |cossin PAPBba PCPDba . 44已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,点 P 为其上一点 F1, F2为双曲线的焦点， 12 FPF的内（外）角平分线为l，作 F1、F2分别垂直l于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时，R、S 形成的轨迹方程是 222 xya( 2 222 22 2 222 a yb x xc c y a ybxc ). 45设ABC 三顶点分别在双曲线上，且 AB 为的直径，l为 AB 的

15、共轭直径所在的直线，l分别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为l上一点，则 CD 与双曲线相切的充要条件是 D 为 EF 的中点. 46过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 47设 A（x1,y1）是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上任一点，过 A 作一条斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线 L，又设 d 是原点到直线 L 的距离, 12 , r r分别是 A 到双曲线两焦点的距离，则 1 2 rr dab. 48已知

16、双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）和 22 22 xy ab （01） ，一条直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点， 则AB=|CD. 49已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0 (,0)P x, 则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 50设 P 点是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF，则 (1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1 2 2 cot 2 PF F Sb

17、 . 51设过双曲线的实轴上一点 B（m,o）作直线与双曲线相交于 P、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结 AP 和 AQ 分 别交相应于过 B 点的直线 MN：xn于 M，N 两点,则90MBN 2 2 22 () anmam amb na . 52 L 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 焦点 F 且与实轴垂直的直线， A、 B 是双曲线的两个顶点， e 是离心率,点PL， 若APB，则是锐角且 1 sin e 或 1 sinarc e （当且仅当|PFb时取等号）. 53 L 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 的实轴顶点 A 且与 x

18、轴垂直的直线， E、 F 是双曲线的准线与 x 轴交点,点PL， e 是离心率，EPF， H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距， 则是锐角且 1 sin e 或 1 sinarc e （当且仅当| ab PA c 时取等号）. 54L 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）焦点 F1且与 x 轴垂直的直线，E、F 是双曲线准线与 x 轴交点，H 是 L 与 x 轴的 交点，点PL，EPF,离心率为 e，半焦距为 c，则为锐角且 2 1 sin e 或 2 1 sinarc e （当且仅当 22 1 | b PFac c 时取等号）. 55已知双曲线 22 22 1 xy a

19、b （a0,b0） ，直线 L 通过其右焦点 F2,且与双曲线右支交于 A、B 两点，将 A、B 与双曲线左 焦点 F1连结起来，则 222 11 2 (2) | | ab F AFB a （当且仅当 ABx 轴时取等号）. 56 设 A、 B 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 的长轴两端点， P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA， c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) 2 222 2|cos| | |s| ab PA ac co .(2) 2 tantan1e .(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 57设 A、B 是双曲线 22

20、 22 1 xy ab （a0,b0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域） 、外部的两点，且 A x、 B x 的横坐标 2 AB xxa， （1）若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，则PBAQBA ； （2）若过 B 引直线 与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，则180PBAQBA . 58设 A、B 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域） ，外部的两点， （1）若过 A点引直线与双曲线这一支相交于P、 Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点， 则P、 Q不关于x轴对称） ， 且PBAQBA ， 则点 A、B 的

21、横坐标 A x、 B x满足 2 AB xxa； （2）若过 B 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，且 180PBAQBA ,则点 A、B 的横坐标满足 2 AB xxa. 59设 ,A A是双曲线 22 22 1 xy ab 的实轴的两个端点， QQ是与 AA垂直的弦，则直线AQ与 AQ的交点 P 的轨迹是双曲 线 22 22 1 xy ab . 60过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右焦点F作互相垂直的两条弦 AB、CD,则 2 22 8 | | ab ABCDab ab ； 2 2 |4 c ABCDa ab a 61到双曲线 22 22 1 xy ab （

22、a0,b0）两焦点的距离之比等于 ca b （c 为半焦距）的动点 M 的轨迹是姊妹圆 222 ()()xecyeb. 62到双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的实轴两端点的距离之比等于 ca b （c 为半焦距）的动点 M 的轨迹是姊妹圆 222 ()xcyb. 63到双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 ca b （c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆 222 ()( ) b xay e （e 为离心率）. 64已知 P 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上一个动点， , A A是它实轴的两个端点,且AQAP

23、, AQAP，则 Q 点的轨迹方程是 222 24 1 xb y aa . 65双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项. 66 设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 实轴的端点为 ,A A, 11 ( ,)P x y是双曲线上的点过 P 作斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线l， 过 ,A A 分别作垂直于实轴的直线交l于 ,M M,则（1） 2 |AMAMb.（2）四边形 AMAM面积趋近于2ab. 67已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双

24、曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 68OA、OB 是双曲线 22 22 () 1 xay ab （a0,b0,且ab）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线 AB 必 经过一个定点 2 22 2 (,0) ab ba .(2) 以 OA、 O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 22 222 2222 ()() abab xy baba （除原点） 。 69( , )P m n是双曲线 22 22 () 1 xay ab （a0,b0）上一个定点，PA、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线 AB 必经过一 个定

25、点 22222 2222 2()() (,) abm ban ab baba .（2）以 PA、P B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 22224222 22 2222222 () ()() () aba mb na bn ab xy bababa (除 P 点). 70如果一个双曲线虚半轴长为 b，焦点 F1、F2到直线L的距离分别为 d1、d2，那么（1） 2 12 d db，且 F1、F2在L异侧 直线 L 和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线. （2） 2 12 d db， 且 F1、 F2在 L 异侧直线L和双曲线相离，（3） 2 12 d db， 或 F1、F2在 L 同

26、侧直线 L 和双曲线相交. 71AB 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的实轴，N是双曲线上的动点，过N的切线与过 A、B 的切线交于C、D两 点，则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 22 22 4 1(0) xy y ab . 72设点 00 (,)P xy为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB 是双曲线过定点 00 (,)P xy的 任一弦. (1)如ab,则当弦 AB 垂直于双曲线实轴所在直线时 222222 00 min 2 () (| |) b xa ya b PAPB a . (2)如ab,则当弦

27、 AB 平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, 222222 00 min 2 () (| |) b xa ya b PAPB b . 73双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a+c 与 c-a. 76双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值 c-a. 77双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非 焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78双曲线焦三

28、角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 82双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平 行. 83双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长. 84 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非

29、焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直 径的圆的切点. 85双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e. 86双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 89.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上有一点P， 过P分别引其渐近线的平行线， 分别交x轴于,M N， 交y轴于,R Q， O为原点，则： （1） 2 | |O

30、MONa； （2） 2 | |OQORb. 90. 过平面上的P点作直线 1: b lyx a 及 2: b lyx a 的平行线，分别交x轴于,M N，交y轴于,R Q.（1）若 2 | |OMONa， 则P的 轨 迹 方 程 是 22 22 1(0,0) xy ab ab .(2) 若 2 | |OQORb， 则P的 轨 迹 方 程 是 22 22 1(0,0) xy ab ab . 91. 点P为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于 ,M N，交直线 b yx a 于,Q R，记OMQ与ONR的面积为 12

31、 ,S S，则： 12 | 2 ab SS. 92. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于,M N，交直线 b yx a 于,Q R，记OMQ 与ONR的面积为 12 ,S S，已知 12 | 2 ab SS，则P的轨迹方程是 22 22 1(0,0) xy ab ab 或 22 22 1(0,0) yx ab ba 双曲线性质双曲线性质 92 条证明条证明 1.双曲线第一定义。2.由定义即可得双曲线标准方程。3.双曲线第二定义。 4.设 00 (,)P xy在第一象限，切线 PT（即l）的斜率为 k， 1 PF所在直线 1 l斜率为 1 k， 2 PF所在直线 2

32、l斜率为 2 k， 1 PF与 PT 的夹角为， 2 PF与 PT 的夹角为。由两直线夹角公式 12 12 tan 1 kk k k 得： 2 00 22 2222222222 0 0000001 222222 2 001000000000 00 2 00 tan 1 1 yb x bacx xca yb xa yb x ca bb cxkkb b xykka x ya cyb x yc x ya cyc ycyacx a yxc 2 00 22 2222222222 0 0000002 222222 2 002000000000 00 2 00 tan 1 1 b xy bacx a yxc

33、b xa yb x ca bb cxkkb b xykka x ya cyb x yc x ya cyc ycyacx a yxc ,0, 2 同理可证其它情况。故切线 PT 平分点 P 处的内角。 5.不妨设 P 在第一象限。作 F2关于切线 PT 的对称点 M，由 4 可知 M 在 PF1上，则 112 2FMPFPFa，垂足 H 为 F2M 的中点，则 OH= 1 2 FM a，同理可证其它情况。射影 H 的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。 6. 设 P，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为 12 ,d d，以 PQ 中点到准线的距离为d，以 PQ 为直径的圆的半径为 r， 则 12

34、 22 ddPFFQr dr ee ，故以 PQ 为直径的圆与对应准线相交。 7. 如图，两圆圆心距为 211 2 222 PFaPFPF dOMaar ，故两圆外切。 7 图8 图 8. 如图，由切线长定理： 111212 22FSFTPFPFFFac， 11 FSFTac 而 112 FTacF A，T与 2 A重合，故内切圆与 x 轴切于右顶点，同理可证 P 在其他位置情况。 9. 设 12 sec , tan,sec ,tanP abP ab，则 1 122 tantan :,: sec11 sec bb APyxaA Pyxa aa 则cos ,sin P xaybP 点的轨迹方程为

35、 22 22 1 xy ab 10. 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab 上 22 00 22 1 xy ab ，对 22 22 1 xy ab 求导得： 22 22 0 xyy ab 2 0 2 0 b x y a y 切线方程为 2 0 00 2 0 b x yyxx a y 即 22 0000 2222 1 x xy yxy abab 11.设 111222 ,P x yP xy，由 10 得： 01010202 2222 1,1 x xy yx xy y abab ，因为点 12 ,P P在直线 12 PP上，且同时满足方程 00 22 1 x xy y ab

36、，所以 00 2 12 2 1:P xy a P xy b 12. 112200 ,A x yB xyM xy设 2222 1122 2222 1,1 xyxy abab 则有作差得： 2222 1212 22 0 xxyy ab 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 2 222 12 012 2222 12120 ABABOM OM bxxb xyybb kkk xxayya ya ka 13.由 12 可得： 2 0 2 00 0 b x xx a y yy 222222 0000 0a y ya yb x xb x 222222 0000 b x xa y yb xa y

37、22 0000 2222 x xy yxy abab 14. .由 12 可得： 2 2 0 0 b xx yyy xa 222222 00 0a ya y yb xb x x 222222 00 b xa yb x xa y y 22 00 2222 x xy yxy abab 15. 设sec , tan,sec, tanP abQ ab，则 tantan 1 secsec OPOQ bb kk aa 2 2 sinsin a b 22 2222222222222222 12 2222222222 44222222 222222222222 1111coscos sectansectans

38、insin cossincoscossincos sinsinsinsin sinsin1 sinsinsin1 sin rrabababab abab aba b aabaab 42222 2222222222222222 42222422422 2sinsin 2sinsin2sinsin2sinsin 2sinsin2sinsin aa b ababababba aa ba ba b 222222 22 222222 2sinsin 11 2sinsin baab ab a bab 16. 将直线 AB 代入双曲线方程中得： 222222222 210B bA axAa xaB b 22

39、22222 41a B bB bA a ， 22 2222 2222 2 1 ab AB ABB bA a B bA a 设 1122 ,A x yB xy则 2 12 2222 2Aa xx B bA a ， 222 12 2222 1aB b x x B bA a OAOB 22222222 1212 22 11 0 x xy ybaa bABAB ab 222222 22 2222 22222222 2424222222 2424 22222222 21 2 1 2 2 baB bA a ab AB ABB bA a B bA aB bA a A aB ba bABba A aB b A

40、 aB bA aB b 17. 设双曲线内直角弦 AB 的方程为：yxqkp即ykxqkp。 当斜率 k 存在时，代入双曲线 C1方程中得： 2 2222222 20ba kxa k qkp xaqkpb 设 1122 ,A x yB xy得 12 2 222 2a k q x kp ba x k ， 2 22 2 22 1 2 aqk ba x pb k x 则 01020102 PA PBxxxxyyyy 2 222 12001200 10kx xkqk pkyxqxxypxk 2 222 0000 22 00 22 2 2 222222 22 00000 0 222 222 222222

41、222 222222222222 2 2 222 2 1 0 2 0a k qkpaqkpbba kba kqkp a kqkpa kqkpa kqkpaqkpaqkpa b a bba kb kqk pk qkpa ka kqkp yxkxy yxkk xxa kqkpy q yy xa k 2 22222 2 2222222 000 2 00 20kpaqkpbaa kbbqkpqkk xxyb ypy 22222 00 2222222222 0000 2 2222222 2222 00 22 0 222 2 a k pb k pa k pba ka kpqa kxk xxx qbyykp

42、b kpqa qa bb qqyby 22 222 0 22 222 2 2 00 2 00 2 2 22 222 0 22 00 abapbp px ab a pqb pqa qp ab qy bqaq xx xby yy ba 即直线 AB 过定点 2222 00 2222 , abab xy abba ，此点在 C2上。当直线斜率不存在时，直线 AB 也过 C2上的定点。 由上可知 C1和 C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。 18.必要性：设 P1P2： 00 k xmmyyx。k 存在时，代入双曲线方程中得： 2 222222222 0000 20ba kxa km ykxx

43、a mykxa b 设 111222 ,P x yP xy得 2 00 12 222 2a km y a x kx bk x ， 2 2222 22 2 2 1 00 a mykxa a x b x bk 2 2 01021212 12 2 0102120120 0000 2222 2 0000 2 2222 0000 00 1211 1 11211 yyyyk x xk mxxm kk xxxxx xxxxx bmkmx yk xmym bm amamkmx yk x ymk my xyxy m ymk k 不存在时，P1P2：x=mx0则 222 0 b ym xa a ， 2 22222

44、2 2222 222 2 0000 00 2 0 12222 2 2222 000 + 1 1 1 111 bb b ym xaym xa ym xa b xm bm aa a kk am xmxma xm 必要性得证。 充分性：设 P1P2过定点, p q，则 P1P2：ykxqkp。代入双曲线方程得： 2 22222222 20ba kxa k qkp xaqkpa b 设 111222 ,P x yP xy得 2 12 222 2qkp xx ba a k k ， 2 2 12 222 22 aqkp x a a b x bk 则 2 2 1020120120 12 2 10201201

45、20 yyyyk x xkyxxqy kk x kpq xxxx xxxxx kp 2 22 00 2 00 2 222 22 00 000000 22 2 22 000000 0 2 22222222 2 22222 0 22 2 2 kkyy xx byk x aqkpa ba kqkpqkpqkpba k aqkpa ba kqkpba k qkp qkpbykxykxbyqkpkpq qkpqkp kx aykxykxaykxq qkpaykx 2 2 1 1 m b mkpa 00 00 00 0000 0 1 0 01 pmxpmx ykxm k pmxqmy qmyqmyykxm

46、 kpq qkp 验证 k 不存在的情况，也得到此结论。故l过定点 00 ,1mxmym，充分性得证。 19. 设 AB： 00 kyxyx即 00 ykxykx 00 2 2222222 22 0000 22 20 1 ykxykx ba kxa k ykxxaykxb xy ab 2 222222222222 00 000000000 0 222222222222 2222 , BB a k ykxa kya k xb xa kya k xb xa k yb yb kx xxxB ba kba kba kba k 2222222222 00000000 22222222 00 224 ,

47、4 BC a kya k xb xa k yb yb kxb kxb x Ck ba kba ka kya y 同理 20. 由余弦定理： 2 222 2 12121212 2cos242cos1PFPFPF PFcPFPFcPF PF 22 22 1212 2 2 442cos1 1 cos sin 2 bb acPF PFPF PF 12 2 2 2 12 2 2222 22222222 2 2sincos 1sin 22 sincot 21 cos2 2sin 2 cot,cotcotcot,cot 22222 F PFP PP b b SPF PFbc y ba baab yxacbP

48、cb ccccc 21.由正弦定理得 1212 sinsinsin PFPFFF P 在右支时， 222 sinsinsinsin cca 2sincossinsincossincos1tancot sin 222222222 sinsin 2sincossinsincossincos1tancot 222222222 e 1 tancot1tancottancot 2222221 eca ee eca 同理当 P 在左支时， 1tancot sin1 22 tancot sinsin221 1tancot 22 eca e eca 22. 由第二定义得：M 在右支时， 22 100200 ,

49、 aa MFe xexa MFe xexa cc M 在左支时， 22 100200 , aa MFexaexMFexaex cc 。 23. 易知 P 在左支上， 12 21000 2 1 1 1 PFPFe ePFe PFaexe aexxa dPFee 2 0 2 1 1210121211,12 e xaeeeee ee 24.易知当 P 在左支时 1 PAPF有最小值，此时： 122 22PAPFPAPFaAFa。当且仅当 2 ,A F P三点共 线且P在左支时，等号成立.。 25.易知当 k=0 时，只有 x 轴符合要求，但此时 0 x不存在。故0k 。当0k 时，设 A，B 两点关

50、于直线 y=kx+m 对称， 直线 AB 的方程为 1 yxp k ，易知 1b ka 即 a k b 。 联立 AB 与双曲线方程得： 22222222222 20b kaxa kpxa k pa b k得 22222222 40a b kk pb ka 即 22222 0k pb kaAB 中点 222 222222 , a kpb k p M b kab ka 在 y=kx+m 上，得 22222 c k pm b ka 代入得 2 00 c p pm m ，解得 222 22 m b ka p c k 当 m=0 时由得 p=0， 2 2 2 a k b 。 当 m0 时解得0p 或