必修1数学新教材人教B版第三章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系.pptx

1、第三第三章章 函数函数 3 3. .2 2 函数与方程、不等式之间的关系函数与方程、不等式之间的关系 已知函数f（x）=x-1，我们知道，这个函数的定义域为 ，而且可 以求出，方程f（x）=0的解集为 ，不等式f（x）0的解集 为 ，不等式f（x）0的解集为 在下图中作出函数f（x）=x-1的图像，总结上述方程、不等式的解集与函数定义 城、函数图像之间的关系. R 1（1， + ） （- ， 1） 由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函 数的定义域分为几个不相交的集合。具体来说，假设函数f（x）的定义 域为D，若 A=xD|f（x）0， 显然，A，B，C两两的交集都为空集，且

2、D=ABC. 不难看出，a是函数f（x）零点的充分必要条件是，（a，0） 是函数图像与x轴的公共点。因此，由函数的图像可以方便地看出 函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0相对大小比较的不等 式的解集. 一般地，如果函数y=f（x）在实数a处的函数值等 于零，即f（a）=0，则称a为函数y=f（x）的零点.上述集合B就 是函数所有零点组成的集合。 典型例题 例例1 1 如下图所示是函数y=f（x）的图像，分别写出f（x）=0，f（x） 0，f（x）0的解集. 解 由图可知，f（x）=0的解集为 一5，一3，一1，2，4，6. f（x）0的解集为 （一5，-3）（2，4）（4，6）. f（x）

3、0的解集为 -6,-5U-3,2U4,6) 依照零点的定义可知，求函数y=f（x）的零点，实 质上就是要解方程f（x）=0，而且只要得到了这个方程的解集， 就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能 得到类似f（x）0等不等式的解集. 我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图像是抛物 线，因此可以借助二次函数的图像得到一元二次不等式的解集. 典型例题 例2 利用函数求下列不等式的解集： （1）x2-x-60；（2）x2-x-60. 解 设f（x）=x2-x-6，令f（x）=0，得 x2-x-6=0， 即(x-3)(x+2)=0，从而x=3或x=-2. 因此3和-2

4、都是函数f（x）的零点，从而f（x）的图像与x轴相交 于（3，0）和（-2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线， 所以可以作出函数图像示意图如下图所示. 由图可知： （1）所求解集为（-2，3）； （2）所求解集为（-，-23，+）. 典型例题 例3 利用函数求下列不等式的解集： （1）-x2-2x-30； （2）-x2-2x-30；（2）x2-4x+40. 解 设f（x）=x2-4x+4，令f（x）=0，得 x2-4x+4=0， 即(x-2)2=0，从而 x=2. 因此函数f（x）的零点为2，从而f（x）的图像与x轴 相交于（2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可 知： （1

5、）所求解集为（-，2）（2，+）； （2）所求解集为2. 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x） =ax2+bx+c（a0）： （1）当=b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1， x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图像与x轴有两个公共 点（x1，0），（x2，0）； （2）当=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元 素xo，且xo是f（x）唯一的零点，f（x）的图像与x轴有一个公共 点； （3）当=b2-4ac=00和f（x）0的解集。 解解 函数零点为一2，-1，1. 函数的定义域被这三个点分成了四部分，每

6、一部分函数值的 符号如下 由此可以画出函数图像的示意图如下图所示。 由图可知f（x）0的解集为（-2，-1）（1，+oo）； f（x）0的解集为（-，-2-1，1. 关于x的一元一次方程kx+b=0（k0）的求根公式为 k b x 一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为 一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判 别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式。 但是，对于次数大于或等于3的多项式函数（例如 f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a0），以及其他表达式更复杂的函数来说， 判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已 经证明

7、：次数大于4的多项式方程，不存在求根公式）.因此，我们有必 要探讨什么情况下一个函数一定存在零点. 如下图所示，已知A，B都是函数y=f（x）图像上的点，而且函数图像是连接A，B两点 的连续不断的线，画出3种y=f（x）的可能的图像. 判断f（x）是否一定存在零点，总结出一般规律。 可以看出，尝试与发现中的函数f（x）在区间（a，b）中一 定存在零点 函数零点存在定理函数零点存在定理 如果函数y=f（x）在区间a，b上的图像 是连续不断的，并且f（a）f（b）0，f（-2）=-8+4+2=-20， 所以f（-2）f（0）0，因此xo（-2，0），f（xo）=0， 即结论成立。 例6中的函数在区

8、间（-2，0）中存在零点xo，但是不难看出， 求出xo的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的 近似值呢？比如，能否求出一个x1，使得|x1-x0| ？ 8 1 如果在区间（一2，0）中任取一个数作为xo的近似值，那么 误差小于多少？ 如果取区间（一2，0）的中点作为xo的近似值，那么误差小 于多少？怎样才能不断缩小误差？ 如果在区间（一2，0）中任取一个数作为xo的近似值，误差小 于2；如果取区间（一2，0）的中点作为x。的近似值，误差小于1. 一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而 不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示. 其中第2行的区间是

9、（-2，-1），这是因为f（-2） f（-1）0，其他区间都是用类似方式得到的.最后一行的函数值 没有计算，是因为不管xo（-2， ，还是 xo ， ），我们都可以将 要看成xo的近似值， 而且误差小于 8 15 8 15 4 7 8 15 8 1 当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法。 在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间a，b上的图像是连续 不断的，且f（a）f（b）0），给定近似的精度，用二分法求零点xo的近似值 x1，使得|x1-xo|的一般步骤如下： 典型例题 例7 已知函数f（x）=x2+ax+1有两个零点，在区间（-1，1）上 是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围.