必修1数学新教材人教B版第三章 3.1.1 函数及其表示方法.pptx
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1、第三章第三章 函数函数 3 3. .1 1. .1 1 函数及其表示方法函数及其表示方法 我们已经学习过一些函数的知识,例如已经总结出:在 一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量;在一个变化过程 中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有 唯一确定的值与其对应,那么就称y是x的函 数. , 再例如,我们知道y=2x是正比例函数,y=-3x-1是一次函 数,y=-2是反比例函数,y=x2+2x-3是二次函数,等等。 (1)国家统计局的课题组公布,如果将2005年中国创 新指数记为100,近些年来中国创新指数的情况如下表所示。 以y表示年度值,i表示中国创新指数的取值,则i是y
2、的 的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示? (2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此 可以描绘出心电图,如下图所示。医生在看心电图时,会根据图形 的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率 等). 如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,则v是t的 函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示? 初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的,但从情境与问 题中的两个实例可知,初中的方法有一定的局限性:情境与问题中 的i是y的函数,v是t的函数,但是这两个函数与初中的函数有所不 同,比如都很难用一个解析式表示,而且每个变量的取值范围也有 了限制
3、,等等。 一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果 对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对 应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作 y=f(x),xA, 其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围 (即数集A)称为这个函数的定义域,所有函数值组成的集合 yB|y=f(x),xA 称为函数的值域. 函数的这种定义强调的是“对应关系”,对应关系也可用 其他小写英文字母如g,h等表示。 值得注意的是,这种函数的表示中,自变量与因变量 用什么字母来表示是无关紧要的,例如函数 f(x)=2x+1,xR与 y=2s+1,sR 应该看成同一个函数.习惯上,人
4、们总用x表示自变量, y表示因变量 更一般地,如果两个函数表达式表示的函数定义域相同,对应关 系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数 值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.例 如 y= ,xR与g(x)=|x|,xR表示同一个函数. 在表示函数时,如果不会产生歧义,函数的定义域通常省 略不写,此时就约定:函数的定义域就是使得这个函数有意义的所 有实数组成的集合。 在上述约定下,以下表达式都可以表示函数f(x)=2x+1,xR: f(x)=2x+1, y=2x+1. 典型例题 例1 求下列函数的定义域: (1)f(x)= (2)g(x)= 1x 1 2x 1 x
5、 1 以下都是求函数定义域常用的依据: (1)分式中分母不能为零; (2)二次根式中的被开方数要大于或等于零. 典型例题 例2 设函数g(x)= 的值域为S,分别判断-和3是否是 S中的元素. 1x 例2的解法,实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的 值域. 典型例题 例3 已知f(x)= (1)求f(-1),f(0)和f(2); (2)求函数f(x)的值域. 1 1 x 2 判断方程 是否有解,由此给出求函数f(x)值 域的一种方法。 例3(2)中的方法一实质上用的是不等式的性质. 前面我们所接触到的函数y=f(x)中,绝大多数f(x) 都是用代数式(或解析式)来表示的,例如f(x)=2x
6、+1,这种表 示函数的方法称为解析法. 前面给出的关于中国创新指数的函数,实际上是用列表 的形式给出了函数的对应关系,这种表示函数的方法称为列表 法. 如果将这个函数记为i=f(y),则从表格中可以看出 f(2013)=152.6,f(2 015)=171.5 另外,如果将这个函数的定义域记为D,值域记为S,则有 D=2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015, S=116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5 前面给出的与心电图有关的函数,实际上是用图的形式给 出了函数的对应关系. 一般地,将函数y=f(x
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