必修1数学新教材人教B版第二章 2.2.4 均值不等式及其应用.pptx
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1、第二章第二章 等式与不等式等式与不等式 2 2. .2 2. .4 4 均值不等式及其应用均值不等式及其应用 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算术平均值;数 称为a,b的几何平均值.两个数的算术平均值,实质上是这 两个数在数轴上对应的点的中点坐标,那么几何平均值有什么 几何意义呢?两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相 对大小关系呢? 2 ba ab 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义.例如,a,b,c的算术平均 值为 ,几何平均值为 3 cba 3 abc (1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等 的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,
2、并 比较这两个边长的大小; (2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和 几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值 的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义. a12 b14 13 1 从具体实例中可以看出,两个正数的算术平均值大于或等于它们 的几何平均值.一般地,我们有如下结论. 当且仅当a=b时,等号成立. 均值不等 式 如果a,b都是正数,那么 ab 2 ba 证明 因为a,b都是正数,所以 而且,等号成立时,当且仅当 ,即a=b. 即 , 0 22 ab2ba ab 2 baba 2 )( ab 2 ba 0 ba 2 )( 值得注意的是,均值不等式中的
3、a,b可以是任意正实数,因此我们可 以代入任意满足条件的数或式子,比如 一定是正确的. 均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,b还可以为 零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均 值.那么,均值不等式有什么几何意义呢? 2 76 42 将均值不等式两边平方可得 如果矩形的长和宽分别为a和b,那么矩形的面积为ab, 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积,因此均值不等式的一个 几何意义为:所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大. ab 2 ba 2 2 ba 2 你能推广这个结论吗?比如所有周长相等的三角形中,什么 样的三角形面积最大?平面上,周长相等的所有封闭图形中,什
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