必修1数学新教材人教A版第二章 2.2 基本不等式.pptx

1、第第二二章章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 情境导学 思考思考1 1：这图案中含有怎样的几何图形？：这图案中含有怎样的几何图形？ 思考思考2 2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ 三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。 222 222 22 )2(2 )() 2 1 4 cba caabbab cabab （证明： 情境导学 a b （1）大正方形边长为_， 面积S为_ （2）四个直角三角形_， 面积和S为_ （3）S与S的大

2、小关系是_，故有_ （4）S与S可能相等吗？满足什么条件时相等？ 22 ba 22 ba 全等 ab2 SS abba2 22 探究新知 a b 上述结论可描述为： abbaba20, 0 22 时，当 成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（ba5 时取等）。当且仅当 证明： baabba bababa (2 020)( 22 222 此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式 探究新知 1 1、基本不等式、基本不等式 0,0, ,ababa b如果我们用分别代替 可得到什么结论？ 22 ()()2abab 2 ab ab 替换后得到：替换后得到： 即：即： ), 0, 0(时取等当

3、且仅当baba 2abab 即：即： 基本不等式基本不等式 基本不等式 ab ba 2 注意：注意： 0, 01ba、 时取等、取等条件：当且仅当ba 2 叫几何平均数叫算术平均数，、ab ba 2 3 基本不等式 基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释 AB C D E a bO 如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，点为圆心，点C是是AB 上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的的 弦弦DE,连接连接AD、BD、OD. 如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_ 如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2 ab ab OD与与CD的大小关

4、系怎样的大小关系怎样? OD_CD 几何意义：半径不小于半弦长几何意义：半径不小于半弦长 当点当点C C在什么位置在什么位置 时时OD=CDOD=CD？ 此时此时a a与与b b的关系是？的关系是？ 基本不等式的证明基本不等式的证明 2 ab ab 证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 只要证只要证_0ab 只要证只要证 2 (_)0 显然显然, 上式是成立的上式是成立的.当且仅当当且仅当a=b时取等。时取等。 2 ab ab )0, 0(ba 证明不等式：证明不等式： 2 ab 2 ab ba 适用范围适用范围 文字叙述文字叙述 “=”成立条件成立条件 22 2abab 2 ab ab

5、a=ba=b 两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数 两数的平方和不两数的平方和不 小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0 的最小值。求）已知、（例baabba,36, 0, 011 解：解： 2 22 3612 (6 12 ab ab abab ab ab + += = + Q 当且仅当时取等） 故的最小值为 的最小值为定值时，求和当积 常用变形： baab abba 2 典例解析典例解析 的最大值。求）已知（abbaba,18, 0, 02 解解： 81 9( 81) 2 18 () 2 ( 2 22 的最大值为故 时取等）当

6、且仅当 ab ba ba ab ba ab 的最大值为定值时，可以求积当和 常用变形： abba ba ab 2 ) 2 ( 典例解析典例解析 1 210,( )xf xx x =+例 、（ ）已知求函数的最小值 . 2 2) 1 ()(2 )()( 1 )(: 时有最小值即当且仅当 解 1x x 1 x x 1 x x x x xxf 一正一正 典例解析典例解析 有最值，并求其最值。 为何值时，函数当函数）已知、（例x x xyx, 3 1 , 322 53 3 1 )3(2 3 3-x 1 )3-x( 3 1 y 3x x x x x 。最小值为 时，函数有最小值，即当且仅当 5 4, 3

7、 1 3 x x x 二定二定 解：解： 的最大值。求函数）若、（例)21 (, 2 1 032xxyx 解解: 0 x0. 1 2 y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 1 2 2 2x+(1- -2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当当且仅当 时时, 取取“=”号号.2x=(1- -2x), 即即 x= 1 4 当当 x = 时时, 函数函数 y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 . 1 4 1 8 三等三等 3 0,4 (32 ) 2 xyxx=-练习：1.设求函数的最大值。 ）时取等，（即当且仅当 解： 2 3 0 4 3 232 2 9 ) 2 232 (2)

8、23(22 023 2 3 0 2 xxx xx xxy xx- 跟踪训练跟踪训练 2 2 1 ( )2 2 f xx x =+ + 2.函数能否用基本不等式求最小值？ 解解： 基本不等式求最小值。能的，故此函数不能用 时取等，而这是不可即当且仅当 由基本不等式知 12 2 1 2 2 2 1 22 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x 利用基本不等式求最值的条件：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。 跟踪训练跟踪训练 达标检测达标检测 1 1、重要不等式与基本不等式的内容：、重要不等式与基本不等式的内容： 时取等），当且仅当、ba

9、Rbaabba(2 22 时取等）当且仅当babaab ba , 0, 0( 2 2 2、基本不等式的应用条件：、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等一正、二定、三相等 3 3、基本不等式的应用：、基本不等式的应用： 求最值求最值 课堂小结课堂小结 小试牛刀小试牛刀 问题问题1.1.用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m100m的矩形菜园，问这个矩形的长、的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ A B D C 问题探究问题探究 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为

10、2（x+y）m. 2 xy xy 2 100,xy 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 结论结论1 1：两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两变量，当且仅当两变量 值相等时取最值值相等时取最值. .简记简记“积定和最小积定和最小”. . 2()40 xy 问题问题2.2.用段长为用段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽 各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多

11、少？ 18 9 22 xy xy 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18 矩形菜园的面积为xym2 81xy 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2 结论结论2 2：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两变量值相，当且仅当两变量值相 等时取最值等时取最值. .简记简记“和定积最大和定积最大”. . 例1:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如 果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为

12、120元,怎样设计 水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 3m 均值不等式在实际问题中的应用均值不等式在实际问题中的应用 4800 z150120(2 3x2 3y)240000720(xy) 3 240000720(xy)240000720 2 xy 解解:设底面的长为设底面的长为xm,宽为宽为ym,水池总造价为水池总造价为z元元.根据题意根据题意,有有: 由容积为由容积为4800m3,可得可得:3xy=4800 ， 因此因此 xy=1600 z240000720 2 1600 z297600 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时, ,等号成立等号成立. . 所以所以,

13、,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形时总造价最低的正方形时总造价最低, , 最低总造价为最低总造价为297600297600元元. . 即： 跟踪训练跟踪训练 跟踪训练跟踪训练 归纳总结归纳总结 利用基本不等式证明简单的不等式利用基本不等式证明简单的不等式 分析:结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形, 然后利用基本不等式进行证明即可. 跟踪训练跟踪训练 归纳总结归纳总结 D 当堂达标当堂达标 A 2、利用基本不等式求最值时，要注意、利用基本不等式求最值时，要注意 1、已知、已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数. (1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ). (2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ). 1 4 一正二定三相等一正二定三相等 实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果 课堂小结 3、数学建模需注意的问题、数学建模需注意的问题