（ 高中数学讲义）幂函数、零点与函数的应用.板块二.函数的零点.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：函数的零点 【例 1】若 1 ( ) x f x x ，则方程(4 )fxx的根是() A 1 2 B 1 2 C2D2 【考点】函数的零点【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】A 【例 2】若函数1yax在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是（）. A.1a B.1a C.1a D.1a 【考点】函数的零点【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例 3】已知函数( )34f xmx，若在 2,0上存在 0 x，使 0 ()0f x，则实数 m 的取值 范围是. 【考点】函数的零点【难度】2 星【题

2、型】填空 【关键词】无 【解析】在 2,0上存在 0 x，使 0 ()0f x， 则( 2)(0)0ff， ( 64)( 4)0m ，解得 2 3 m . 所以， 实数 m 的取值范围是 2 (, 3 . 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在 性定理，转化得到有关参数的不等式 【答案】 2 (, 3 板块二.函数的零点 【学而思高中数学讲义】 【例 4】函数( )23 x f x 的零点所在区间为（） A. （1，0）B. （0，1）C. （1，2） D. （2，3） 【考点】函数的零点【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】C 【例 5】函

3、数( )ln26f xxx的零点一定位于区间（）. A. (1, 2)B. (2 , 3)C.(3, 4)D. (4, 5) 【考点】函数的零点【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】易知函数( )f x在定义域(0,)内是增函数. (1)ln12640f ，(2)ln246ln220f， (3)ln366ln30f. (2)(3)0ff，即函数( )f x的零点在区间(2,3). 所以选 B. 【答案】B 【例 6】函数 2 log21f xxx的零点必落在区间（） A. 4 1 , 8 1 B. 2 1 , 4 1 C. 1 , 2 1 D.(1,2) 【考点】函数的零点【难度】

4、2 星【题型】选择 【关键词】2009 年，泉州市，高考模拟 【解析】 【答案】C 【例 7】函数xxxfln)(的零点所在的区间为（） .A （1，0）B （0，1）C （1，2）D （1，e） 【考点】函数的零点【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【学而思高中数学讲义】 【例 8】若函数 01 x f xaxa aa且有两个零点，则实数 a 的取值范围 是. 【考点】函数的零点【难度】2 星【题型】填空 【关键词】2009 年，山东文，高考 【解析】设函数(0, x yaa且1a 和函数yxa,则函数 01 x f xaxa aa且有两个零点, 就是函数(0,

5、x yaa且1a 与 函数yxa有两个交点,由图象可知当10 a时两函数只有一个交点,不符 合,当1a时,因为函数(1) x yaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的 点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 1|aa. 【答案】1|aa 【例 9】利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1） 3 ( )21f xxx ；（2） 1 ( )32 x f xex . 【考点】函数的零点【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1）易知函数 3 ( )21f xxx 在定义域 R 上是减函数. 用计算器或计算机作出,( )x

6、f x的对应值表或图象. x-3-2-10123 ( )f x 341341-2-11-32 由列表或图象可知，(0)0f，(1)0f，即(0)(1)0ff，说明函数( )f x在区 间(0,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数( )f x的零点所在大致区间为(0,1). （2）易知函数 1 ( )32 x f xex 在定义域 R 上是增函数. 用图形计算器或计算机作出图象. 由图象可知，( 2)0f ，( 1)0f ，即( 2)( 1)0ff，说明函数( )f x在区间 ( 2, 1)内有零点，且仅有一个. 所以函数( )f x的零点所在大致区间为( 2, 1). 【答案】 （1）(0,1

7、)（2）( 2, 1) 【例 10】已知函数( )f x图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零 点. 【学而思高中数学讲义】 x21.510.500.511.52 f x3.511.022.371.560.381.232.773.454.89 【考点】函数的零点【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 （2，1.5） 、 （0.5，0） 、 （0，0.5）内有零点 【例 11】画出函数 3 ( )231f xxx的图象， 判断函数在以下区间(-1.5， -1)， (0， 0.5)， (0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数. 【考点】函数的零点【难度】2

8、 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】通过作出x、 f x的对应值表(如下). x -1.5-1-0.500.511.5 f x-1.2522.251-0.2503.25 所以图象为 由上表和上图可知，1.50f ，10f ，即1.510ff，说明这个 函数在区间1.5, 1内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外， 10f，所以 1 也是它的零点.由于函数 f x在定义域, 1.5 和(1，) 内是增函数，所以它共有 3 个零点. 【答案】共有 3 个零点 【例 12】求函数 32 22yxxx的零点，并画出它的图象. 【考点】函数的零点【难度】2 星【题型】解答 【关键词】

9、无 【解析】因为 322 22(2)(2)(2)(1)(1)yxxxxxxxxx 所以函数的零点为-1，1，2 3 个零点把 x 轴分成 4 个区间：(-，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+). 在这四个区间内，取 x 的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表： x -1.5-1-0.500.511.522.5 y -4.3801.8821.132-0.6302.63 在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示. 【学而思高中数学讲义】 【答案】零点为-1，1，2 【例 13】函数( )yf x的图象是在R上连续不断的曲线， 且(1)(2)0ff， 则( )yf x 在区间1,2

10、上（）. A. 没有零点B. 有 2 个零点 C. 零点个数为偶数D. 零点个数为 k，kN 【考点】函数的零点【难度】3 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例 14】已知函数)(xfy 和)(xgy 在2 , 2的图象如下所示： 给出下列四个命题： 方程0)(xgf有且仅有 6 个根方程0)(xfg有且仅有 3 个根 方程0)(xff有且仅有 5 个根方程0)(xgg有且仅有 4 个根 其中正确的命题是 （将所有正确的命题序号填在横线上）. 【考点】函数的零点【难度】3 星【题型】填空 【关键词】2009 年，北京市石景山，高考一模 【解析】 【答案】 【例 15】若函数

11、 f x的零点与 422 x g xx的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则 f x可以是 A. 41f xxB. 2 (1)f xx 【学而思高中数学讲义】 C. 1 x f xeD. 1 ln 2 f xx 【考点】函数的零点【难度】3 星【题型】选择 【关键词】2009 年，福建文，高考 【解析】 41f xx的零点为 1 4 x , 2 (1)f xx的零点为1x , 1 x f xe的 零 点 为0 x , 1 ln 2 f xx 的 零 点 为 3 2 x . 现 在 我 们 来 估 算 422 x g xx的零点， 因为 01g , 1 1 2 g ,所以g(x)的零点x(0,

12、 2 1 ), 又函数 f x的零点与 422 x g xx的零点之差的绝对值不超过 0.25，只 有 41f xx的零点适合，故选 A。 【答案】A 题型二：二次函数的零点与方程 函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实 根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函 数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等. 【例 16】函数 2 243yxx的零点个数（）. A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 不能确定 【考点】二次函数的零点与方程【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】C 【例 17】函数 2 ( )56f

13、 xxx的零点是. 【考点】二次函数的零点与方程【难度】1 星【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】2 或 3 【例 18】方程 2 250 xmxm的两根都大于 2，求实数 a 的取值范围 【考点】二次函数的零点与方程【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】令 2 25f xxmxm，要使 0f x 的两根都大于 2，则应满足 【学而思高中数学讲义】 2 (2)4(5)0 (2)0 2 2 2 mm f m 解得 2 160 42(2)50 2 m mm m 44 5 2 mm m m 或 即54m . 【答案】54m 【例 19】若方程 2 (1)2(1)0mxmxm的根

14、都为正数，求 m 的取值范围. 【考点】二次函数的零点与方程【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】(1)当此方程为一次方程时，即1m 时，方程的根为 1 0 4 x ，满足题意 (2)当 m1 时，依题意有 2 4(1)4 (1)0 2(1) 0 1 0 1 mm m m m m m ，解得 0m1 综上，m 的取值范围是(0,1. 【答案】(0,1. 【例 20】若一元二次方程 2 330kxkxk的两根都是负数，求 k 的取值范围. 【考点】二次函数的零点与方程【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】由题意，k0， 2 (3 )4 (3)0 3 0 3 0 kk k

15、k k k k 解得 12 5 k 或 k3. 【答案】 12 5 k 或 k3 【例 21】关于x的方程 22 (28)160 xmxm的两个实根 1 x、 2 x满足 【学而思高中数学讲义】 12 3 2 xx，则实数 m 的取值范围。 【考点】二次函数的零点与方程【难度】2 星【题型】填空 【关键词】无 【解析】设 22 ( )(28)16f xxmxm，则 2 39 ( )3(4)160 216 fmm， 即： 2 41270mm，解得： 17 22 m 【答案】 17 (,) 22 【例 22】已知关于 x 的方程 22 (28)160 xmxm的两个实根 1 x和 2 x，满足 2

16、1 3 2 xx，求实数m的取值范围. 【考点】二次函数的零点与方程【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】本题根据根的判别式和韦达定理也可以求出，但比较麻烦，现在利用函数以及 函数的图象来解，非常容易. 令 22 ( )(28)16f xxmxm 要使方程 22 (28)160 xmxm的两个实根满足 21 3 2 xx ( )f x的开口向上，只需 3 ( )0 2 f即可 即： 2 33 ( )( )(28) 22 fm 2 3 160 2 m 即 2 41270mm，解得 17 22 m， 即m的取值范围为 17 | 22 mm 【答案】 17 (,) 22 【例 23】已知

17、二次方程 2 (2)310mxmx 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m的 取值范围. 【考点】二次函数的零点与方程【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设( )f x= 2 (2)31mxmx，则( )f x=0 的两个根分别属于(-1,0)和(1,2). 所以 ( 1)(0)0 (2)(0)0 ff ff ，即 ( 21) 10 (107) 10 m m ， 17 210 m 【答案】 17 210 m 【学而思高中数学讲义】 【例 24】已知 mR，函数 2 1f xm xxa恒有零点，求实数 a 的取值范围。 【考点】二次函数的零点与方程【难度】3 星【题型】解答

18、 【关键词】无 【解析】(1)当0m 时， 0f xxa解得xa恒有解，此时aR； (2)当0m 时， 0f x ，即 2 0mxxma恒有解， 2 1 1440mam 恒成立， 令 2 441g mmam 0g m 恒成立， 2 ，解得11a , 综上所述知，当0m 时，aR； 当0m 时，11a . 【答案】当0m 时，aR； 当0m 时，11a 【例 25】若函数 2 113 ( ) 22 f xx 在区间a，b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求区 间a，b. 【考点】二次函数的零点与方程【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 f x的最大值只能是 13 (0) 2 f，

19、或 f(a)，或 f(b)，f(x)的最小值只能是 f a或 f b其中之一，令 min 2ya，且 max 2yb，即可得关于 a、b 的方程组，解出 a、 b 的值. 当 a 值由负值增大到正值时， 区间a，b在 x 轴上自左向右移动， 因此在求 f x 的最值时，须按区间a，b的位置分类求解. f x图象顶点坐标为 13 (0,) 2 ， 2 113 ( ) 22 f aa ， 2 113 ( ) 22 f bb . （1）当 ab0)， 再在同一坐标系中分别也作出抛物线y= 2 x+12x+3 和直线y=6a， 如图，显然当 36a163， 1631 62 a 时， 直线y=6a与抛物

20、线有且只有一个公共点. 【答案】 1631 62 a 题型三：函数的图像与方程 【例 30】方程lg0 xx在下列的哪个区间内有实数解（）. A.100.1，B.0.1 1，C.1 10，D.0 ， 【考点】函数的图象与方程【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例 31】0 1 lg x x有解的区域是（） A(0, 1B(1, 10C(10, 100D(100,) 【考点】函数的图象与方程【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【学而思高中数学讲义】 【例 32】若函数 |1 | ( )2 x f xm 的图象与x轴有交点， 则实数m的取值

21、范围是 （） A01mB01mC10mm或D10mm或 【考点】函数的图象与方程【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】令( )0f x ，得： |1 | 1 ( ) 2 x m ，|1| 0 x ， |1 | 1 0( )1 2 x ，即01m 【答案】A 【例 33】函数 3 ( )231f xxx零点的个数为. 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】3 【例 34】当01x时，函数1yaxa的值有正值也有负值，则实数a的取值范 围是（） A 1 2 a B1a C 1 1 2 aa或D 1 1 2 a 【考点】函数的图象与方程【难度

22、】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例 35】关于 x 的方程lg(1)lg(3)1axx有解，则 a 的取值范围是。 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】显然有3x ，原方程可化为 110(3) (10)29 10 3 30 axx a x ax x x 29 31 1010 3 100 aa a 【答案】 1 10 3 a 【学而思高中数学讲义】 【例 36】已知函数 32 ( )f xaxbxcxd的图象如下，则（） A (, 0)b B (0, 1)b C (1,2)bD(2,)b 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题

23、型】选择 【关键词】无 【解析】 32 ( )(1)(2)32f xax xxaxaxax，2ba 当2x 时， ( )0f x ，当0 x 时， ( )0f x ，0a ，故0b ， 答案为 A 【答案】A 【例 37】 0 x是方程log x a ax(01)a的解，则 0, 1, xa这三个数的大小关系 是。 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 在同一坐标系中作出函数 x ya和logayx的图象， 可以看出： 0 1x ， 0 log1 ax ， 0 xa， 0 1ax 【答案】 0 1ax 【例 38】函数 22 (2 )9yxx的图象与x轴交

24、点的个数是（） A1B2C3D4 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】令0y ， 22 (23)(23)0 xxxx 2 230 xx 2 230 xx，解得 1x 或3x 即方程 ( )0f x 只有两个实数根 【答案】B 【例 39】若关于x的方程 123 ( ) 35 x a a 有负根，则实数a的取值范围是 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】填空 【学而思高中数学讲义】 【关键词】无 【解析】由 23 1 5 a a 得： 32 0 5 a a ，解得： 2 5 3 a 【答案】 2 5 3 a 【例 40】关于 x 的不等式 22 2

25、 3330 xx aa，当01x时恒成立，则实数a的 取值范围为 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】设3xt ，则 t1，3 ， 原不等式可化为： 22 32,1, 3aatt t ， 等价于 2 3aa大于 2 ( )2,1, 3f ttt t 的最大值 ( )f t在1，3上为减函数， max ( )(1)1f tf 2 31aa ，解得：21aa 或 【答案】( ,1)(2,) 【例 41】直线2yk与曲线 2222 918|k xykx(,0)kRk且的公共点的个数为 （） A1B2C3D4 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【

26、关键词】无 【解析】将2yk代入 2222 918|k xykx得： 2222 9418|k xkkx 2 9|18| 40 xx ，显然该关于| x|的方程有两正解，故关于x的方程有四 解，所以交点有 4 个，答案 D 【答案】 【例 42】若方程 2 210ax 在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是. 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】设函数 2 ( )21f xax，由题意可知，函数( )f x在(0,1)内恰有一个零点. (0)(1)1 (21)0ffa ， 解得 1 2 a . 【学而思高中数学讲义】 【答案】 1 2 a 【例 43】

27、试判断方程 2 22 x x 的实数解的个数是多少 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】本题是一个超越方程， 对这类方程用解方程的办法无法求出方程的解.可以构造 函数，直接用数形结合看图象来得出结论 令2 x y ， 2 2yx ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图： 可以很明显的看到图象有两个交点.所以原方程的实数解的个数为 2 个. 【答案】2 【例 44】试判断方程 2 |9|2xa实根的个数. 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】本题利用先去根号，在讨论一元二次方程的根的个数的方法也能做，但步骤较 繁复，而

28、且容易出错，不如利用函数的图象简单明了. 令 2 |9|yx，2ya，如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象： 由图可知： 当29a ，即7a 时，函数有两个交点，即方程有 2 个实根； 当29a ，即7a 时，函数有 3 个交点，即方程有 3 个实根； 当029a，即27a 时，函数有 4 个交点，即方程有 4 个实根； 当20a ，即2a 时，函数有 2 个交点，即方程有 2 个实根； 当20a ，即2a 时，函数没有交点，即方程没有实数根； 综上所述：当27a 时，方程有 4 个实根；当7a 时，方程有 3 个实根； 当7a 或2a 时，方程有 2 个实根；当2a 时，方程没有实根

29、. 【答案】当27a 时， 方程有 4 个实根； 当7a 时， 方程有 3 个实根； 当7a 或2a 【学而思高中数学讲义】 时，方程有 2 个实根；当2a 时，方程没有实根. 【例 45】若a为方程20 x x的解，b为不等式 2 log1x 的解，c为方程 1 2 log xx的 解，则a、b、c从小到大依次为； 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】填空 【关键词】无 【解析】0a ，2b ，在同一坐标系内作出函数 1 2 logyx和函数yx的图象，可以看 出01c，答案为acb 【答案】a cb 【例 46】设 123 ,xxx依次是方程 1 2 log2xx， 2 log

30、(2)xx，22 x x的实数 根，试比较 123 ,xxx的大小 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】在同一坐标内作出函数2yx， 1 2 logyx ，2xy 的图象 从图中可以看出， 31 0 xx 又 2 0 x ，故 231 xxx 【答案】 231 xxx 【例 47】求证方程 2 3 1 x x x 在(0,1)内必有一个实数根. 【考点】函数的图象与方程【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】设函数 2 ( )3 1 x x f x x . 由函数的单调性定义， 可以证出函数( )f x在( 1,) 是 减函数. 而 0 (0)3

31、210f ， 1 15 (1)30 22 f， 即(0)(1)0ff， 说明函数( )f x在 【学而思高中数学讲义】 区间(0,1)内有零点， 且只有一个. 所以方程 2 3 1 x x x 在(0,1)内必有一个实数根. 点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的 问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题 可变式为研究方程 2 3 1 x x x 的实根个数. 【答案】 设函数 2 ( )3 1 x x f x x . 由函数的单调性定义， 可以证出函数( )f x在( 1,) 是 减函数. 而 0 (0)3210f ， 1 15 (

32、1)30 22 f， 即(0)(1)0ff， 说明函数( )f x在 区间(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程 2 3 1 x x x 在(0,1)内必有一个实数根 【例 48】三个同学对问题“关于x的不等式 2 x25| 3 x5 2 x|ax在1，12上恒成 立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围 是 【考点】函数的图象与方程【难度】3

33、星【题型】填空 【关键词】无 【解析】112x， 原不等式可化为： 2 25 |5 |xxxa x 当5x 时， 25 x x 和 2 |5 |xx同时取到最小值 5，故10a 【答案】10a 【例 49】已知函数 2 1 1 y x 的图象与直线ymx只有一个公共点，求这个公共点 的坐标 【考点】函数的图象与方程【难度】3 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】由 2 1 1 mx x ，得 2 (1)10,mxmx 因为两个图象只有一个公共点，所以 2 (1)40mm ，解得：32 2.m 当32 2m 时， 1 21 2 m x m ， 1 21 2 m ymx ； 当32 2m 时，2

34、1,21.xy 当32 2m 时，公共点的坐标是(21, 21)； 【学而思高中数学讲义】 当32 2m 时，公共点的坐标是( 21,21) 【答案】当32 2m 时，公共点的坐标是(21, 21)； 当32 2m 时，公共点的坐标是( 21,21) 题型四：函数零点的应用 【例 50】若关于 x 的方程 2 2210 xxa a 有实根，求实数 a 的取值范围 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】设2 (0) x tt，则原方程可变为 2 10tata 原方程有实根，即方程有正根 令 2 ( )1f ttata (1)方程有两个正实根 12 ,tt，则

35、2 12 12 4(1)0 0 10 aa tta tta 解得 122 2a ； （2）方程有一个正实根和一个负实根，则 (0)10fa ，解得：1a 综上：22 2a 【答案】22 2a 【例 51】已知关于x的方程 211 3(1)(31)(3) 30 xxx mm 有两个不同的实根， 求m的取值范围. 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设3(0) x t t，原方程化为： 2 3(1)(31)(3)0tmtmt，即 2 3210tmtm 原问题等价于方程有两个不同的正根， 2 2 0 3 1 0 3 412(1)0 m m mm 解得： 321

36、2 m . 【答案】 321 2 m 【学而思高中数学讲义】 【例 52】已知 2 ( )logf tt，t2，8，对于( )f t值域内的所有实数 m，不等式 2 424xmxmx恒成立，求x的取值范围 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】t2，8，( )f t 1 2 ，3， m 1 2 ，3 原题转化为： 2 (2)(2)m xx0 恒成立， 当2x 时，不等式不成立 2x ，令 2 ( )(2)(2)g mm xx，m 1 2 ，3， 则： 2 2 12 ( )(2)0 22 (3)3(2)(2)0 x gx gxx ，解得：21xx 或 x的取值

37、范围为(,1)(2,) 【答案】(,1)(2,) 【例 53】已知函数 2 ( )24 (03),f xaxaxa若 1212 ,1,xxxxa 则 1 ()f x与 2 ()f x的大小关系为 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 2 ( )(1)4f xa xa其图象是开口向上的抛物线，对称轴为1x ， 12 (1)( 2, 1)xxa ， 1 x与 2 x的中点在(1， 1 2 )之间， 12 xx 2 x到对称轴的距离大于 1 x到对称轴的距离， 12 ()()f xf x，答案为 A 【答案】 12 ()()f xf x 【例 54】若对于任意

38、1, 1a ，函数 2 ( )(4)42f xxaxa的值恒大于零,则 x的取值范围是。 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】设 2 ( )(2)44g axaxx，显然，2x 【学而思高中数学讲义】 则 2 2 ( 1)2440 (1)2440 gxxx gxxx ，即 32 21 xx xx 或 或 ，解得：31xx或 【答案】(, 1)(3,) 【例 55】设函数( )f x对xR都满足(3)(3)fxfx,且方程( )0f x 恰有 6 个不同 的实数根，则这 6 个实根的和为（） A0B9C12D18 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型

39、】选择 【关键词】无 【解析】由(3)(3)fxfx知( )f x的图象有对称轴3x ， 方程( )0f x 的 6 个根在x轴 上对应的点关于直线3x 对称，依次设为 123123 3, 3,3,3,3,3tttttt， 故 6 个根的和为 18，答案为 D 【答案】 【例 56】已知 5 1 5 bc a ， （a、b、cR） ，则有（） A 2 4bacB 2 4bacC 2 4bacD 2 4bac 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】提示一：依题设有550abc 5是实系数一元二次方程 2 0axbxc的一个实根； 2 4bac0 2 4bac，

40、答案为 B 提示二：去分母，移项，两边平方得： 222 52510baacc10ac2 5a c 20ac 2 4bac，答案为 B 【答案】B 【例 57】已知函数( ) ()yf xxR满足(3)(1)f xf x，且x1,1时， ( ) |f xx，则( )yf x与 5 logyx的图象交点的个数是() A3B4C5D6 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】由(3)(1)f xf x知(2)( )f xf x故( )f x是周期为 2 的函数，在同一坐标系 【学而思高中数学讲义】 中作出( )yf x与 5 logyx的图象，可以看出，交点个数为

41、4 【答案】B 【例 58】关于x的方程 222 (1)|1|0 xxk ，给出下列四个命题： 1当0k 时，方程恰有 2 个不同的实根； 2当0k 时，方程恰有 5 个不同的实根； 3当 1 4 k 时，方程恰有 4 个不同的实根； 4当 1 0 4 k时，方程恰有 8 个不同的实根 其中假命题的个数是 () A0B1C2D3 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】记 2 |1|xt，则方程变为 2 0ttk ，14k 0k 时， 12 0,1tt，原方程有 5 个解； 0k 时， 12 0,1tt，原方程有 2 个解； 1 0 4 k时， 12 11 (

42、0,),( , 1) 22 tt，原方程有 8 个解； 1 4 k 时， 12 1 2 tt，原方程有 4 个解； 1 4 k 时，关于 t 的方程无解，原方程有 0 个解 【答案】A 【例 59】已知函数 2 ( ) 1 x x f xa x (1)a ， 求证： （1）函数( )f x在( 1,) 上为增函数； （2）方程( )0f x 没有负数根 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 （1）设 12 1xx ， 则 12 12 12 12 22 ()() 11 xx xx f xf xaa xx 1212 1212 1212 223() 1

43、1(1)(1) xxxx xxxx aaaa xxxx ， 12 1xx ， 1 10 x ， 2 10 x ， 12 0 xx， 12 12 3() 0 (1)(1) xx xx ； 12 1xx ，且1a ， 12 xx aa， 12 0 xx aa， 【学而思高中数学讲义】 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x，函数( )f x在( 1,) 上为增函数； （2）假设 0 x是方程( )0f x 的负数根，且 0 1x ，则 0 0 0 2 0 1 x x a x ， 即 0 00 000 23(1)3 1 111 x xx a xxx 当 0 10 x 时， 0

44、011x ， 0 3 3 1x ， 0 3 12 1x ， 而由1a 知 0 1 x a， 式不成立； 当 0 1x 时， 0 10 x ， 0 3 0 1x ， 0 3 11 1x ，而 0 0 x a， 式不成立 综上所述，方程( )0f x 没有负数根 【例 60】方程 2 210(0axxa ， 且1)a 在区间1,1上有且仅有一个实根， 求函 数 2 3xx ya 的单调区间. 【考点】函数的零点的应用【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】令 2 ( )21f xaxx， （1）由( 1)20fa，得0a ，舍去； （2）由(1)220fa，得1a ，舍去； （3）( 1

45、)(1)0ff 2 0aa 01a 综上：01a 对于函数 2 3xx ya ，令 t ya， 22 11 33() 612 txxx 则 t ya在 R 上为减函数，t在 1 (, 6 上为增函数，在 1 ,) 6 上为减函数. 当 1 (, 6 x 时， 2 3xx ya 是减函数；当 1 ,) 6 x时， 2 3xx ya 是增函数. 【答案】单调减区间 1 (, 6 单调增区间 1 ,) 6 【例 61】已知方程 22 (2)(2)0 xxm xxn的四个根组成一个首项为的等差数列, 则|mn() 【学而思高中数学讲义】 A1B 3 4 C 1 2 D 3 8 【考点】函数的零点的应用

46、【难度】4 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】由题意， 等差数列的首项为 1 4 ， 四项的和为 4， 设公差为 d， 则 143 44 42 d 解得： 1 2 d ，故该数列的四项为： 1357 , 4444 【答案】C 【例 62】解不等式|21|21xx 【考点】函数的零点的应用【难度】4 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】此不等式当然两边平方可用，但是利用图象来处理也是非常简便的，令 |21|yx，21yx，分别画出两个函数的图形很容易找到答案. 令|21|yx，21yx， 函数|21|yx的图象比较容易画出，而21yx的函数图象是通过 1 2 yx平移 缩放等等变化得来的，

47、可以不同考虑怎样平移缩放，因为函数21yx与函数 1 2 yx的图象相似，只要找函数21yx的几个特殊点，就可以准确无误的画出 来.如下图： 由上图可以看出，原不等式的解集为 3 0 2 x. 【答案】 3 0 2 xx 【例 63】已知函数 11 ( )f x ax (0,0)ax （1）求证： ( )f x在(0,+)上是增函数； （2）若 ( )2f xx 在(0,+)上恒成立，求a的取值范围； （3）若 ( )f x在m，n上的值域是m，n(mn)，求a的取值范围 【考点】函数的零点的应用【难度】4 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1）任取 12 0 xx 【学而思高中数学讲义

48、】 12 12 122112 111111 ()()()() xx f xf x axaxxxx x 12 0 xx， 12 0 xx， 12 0 xx， 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x，故( )f x在(0,+)上是增函数 （2） 11 2x ax 在(0,+)上恒成立，且 a0, 1 1 2 a x x 在（0，+）上恒成立， 令 112 ( ) 1 41 2 2 2 g x x x x x ，当且仅当 1 2(0)xx x 即 x= 2 2 时取等号 要使 1 1 2 a x x 在(0,+)上恒成立，则 2 4 a 故a的取值范围是 2 4 ,+) （3）

49、由（1）( )f x在定义域上是增函数 ( ),( )mf mnf n，即 2 1 10mm a ， 2 1 10nn a 故方程 2 1 10 xx a 有两个不相等的正根 m，n，注意到1m n， 1 0mn a 故只需要( 2 1 ( )40 a ,由于0a ，则 1 0 2 a 【答案】 （1）任取 12 0 xx 12 12 122112 111111 ()()()() xx f xf x axaxxxx x 12 0 xx， 12 0 xx， 12 0 xx， 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x，故( )f x在(0,+)上是增函数 （2） 2 4 ,+)

50、（3） 1 0 2 a 【例 64】已知函数 2 ( ) x f x axb （, a b为常数）且方程( )120f xx有两个实根为 12 3,4xx。 （1）求函数( )f x的解析式； （2）设1k ，解关于x的不等式： (1) ( ) 2 kxk f x x 。 【考点】函数的零点的应用【难度】4 星【题型】解答 【学而思高中数学讲义】 【关键词】无 【解析】（1）( )120f xx即 2 120 x x axb ,由题意： 9 3120 3 16 4120 4 ab ab 整理，得： 31 42 ab ab ，解得：1,2ab ， 2 ( ) 2 x f x x ； （2） (1