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类型( 高中数学讲义)向量.板块四.平面向量的应用.学生版.doc

  • 上传人(卖家):四川天地人教育
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  • 上传时间:2021-08-26
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    1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一:向量综合 【例 1】设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ()()0a b cc a b abab ()()b c ac a b 不与c 垂直 22 (32 ) (32 )94ababab 中, 真命题是() ABCD 【例 2】设向量a b ,满足:| 3a ,| 4b ,0a b 以a bab , ,的模为边长构成三 角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为() A3B4C5D6 【例 3】 已知(1 3)A ,,3 7B,,(6 0)C,,(81)D, ,求证:AB CD 已知( 32)a, ,(4 4)b, 求23a

    2、b ,cosa, b 已知(1 2)axy,xy ,(22)bxy, xy ,若23ab ,求x、y的值 【例 4】关于平面向量a b c , ,有下列三个命题: 若a ba c =,则bc 若(1)ak ,( 2 6)b ,ab ,则3k 非零向量a 和b 满足abab ,则a 与ab 的夹角为60 其中假命题的序号为 (写出所有真命题的序号) 【例 5】如图, 以原点和(5 2)A,为顶点作等腰直角OAB, 使90B, 求点B和向量AB 的坐标 板块四.平面向量的应用 【学而思高中数学讲义】 【例 6】设(1)A a,(2)Bb,(4 5)C,为坐标平面上三点,O为坐标原点,若OA 与OB

    3、 在OC 方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为() A453abB543ab C4514abD5414ab 【例 7】已知( , )P x y,( 1,0)A ,向量PA 与(1,1)m 共线. (1)求y关于x的函数; (2)是否在直线2yx和直线3yx上分别存在一点,B C,使得满足BPC为 锐角时x取值集合为 |7x x 或7x ?若存在,求出这样的,B C的坐标; 若不存在,说明理由. 【例 8】已知向量, a b 满足| | 1ab ,且|3 |akbkab ,其中0k . (1)试用k表示a b ,并求出a b 的最大值及此时a 与b 的夹角的值; (2)当a b 取得最大值时

    4、,求实数,使|ab 的值最小,并对这一结果作 出几何解释. 【例 9】已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5)及OP OA tAB OP OA AB 求:(1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能, 求出相应的 t 值; 若不能, 请说明理由. 【学而思高中数学讲义】 【例 10】已知 A、B、C 是直线l上的不同的三点,O 是外一点,向量,OA OB OC 满 足 2 3 (1)ln(23 )0 2 OAxOBxyOC ,记( )yf x.求函数( )yf x的解 析式; 【例 11】已知|(1 0)

    5、(0 1)RPa amm , , |(1 1)( 1 1)RQb bnn , ,是 两个向量集合,则PQ () A(1 1),B( 1 1) ,C(1 0),D(0 1), 题型题型二二:与三角函数综合:与三角函数综合 【例 12】已知向量(2cos ,2sin )a,(, ),(0, 1) 2 b , 则向量a与b 的夹角为() A 3 2 B 2 C 2 D 【例 13】已 知a b c,为ABC的 三 个 内 角A B C, ,的 对 边 , 向 量 ( 31)m , (cossin)nAA ,若mn ,且coscossinaBbAcC,则角 B 【例 14】已知向量(cossin)a

    6、,(cossin)b ,且ab ,那么ab 与ab 的夹角的大小是_ 【例 15】已知向量 33 cos,sin 22 xx a ,cos, sin 22 xx b ,且, 2 x . 求a b 及ab ; 求函数( )f xa bab 的最大值,并求使函数取得最大值时x的值. 【学而思高中数学讲义】 【例 16】若cossin,a =,cossin,b =,且3kka + bab,其中0k (1)用k表示a b; (2)求当1k 时,a与b所成角(0)的大小 【例 17】已知向量cossin ,m =和2sincos ,n=,() 2, 且 8 2 5 m+ n,求cos 2 8 的值 【例

    7、 18】设(1cossin) ,a =,1cossin ,b =,0 ,c =,(0),(0), a与 c的夹角为 1 , b与 c的夹角为 2 (1)用表示 1 ; (2)若 12 6 ,求 sin 4 的值 【例 19】已知O为坐标原点, 2 (2cos1)OAx ,(1 3sin2)OBxa ,(Rx,Ra, a为常数) ,若yOA OB , (1)求y关于x的函数解析式( )f x; 【学而思高中数学讲义】 (2)若0 x 2 ,时,( )f x的最大值为 2,求a的值,并指出函数( )(R)f x x的 单调区间 【例 20】在锐角ABC中,已知2cos2cos32cos()ABAB

    8、,求角C的度数 【例 21】设0 2 ,向量 13 cossin 22 ab , 证明:向量ab 与ab 垂直;当22abab 时,求角 【例 22】已知点2, 0A,0, 2B,cos, sinC,且0 若7OAOC ,求OB 与OC 的夹角; 若ACBC ,求tan的值 【例 23】已知A、B、C的坐标分别为(4, 0)A,(0, 4)B,(3cos, 3sin)C 若, 0 且ACBC ,求角的值; 若0AC BC ,求 2 2sinsin2 1tan 的值 【例 24】已知向量(cossin )( 22)ax,x , b, ,若 8 5 a b ,且 42 x. 【学而思高中数学讲义】

    9、 试求出cos 4 x 和tan 4 x 的值;求 sin2 (1tan ) 1tan xx x 的值. 【例 25】设向量 3sincoscoscosaxxbxx ,记 f xa b 求函数 f x的最小正周期; 画出函数 f x在区间 11 1212 ,的简图,并指出该函数的图象可由 sinRyx x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 若 63 x , 函数 g xf xm的最小值为2, 试求出函数 g x的最大 值并指出x取何值时,函数 g x取得最大值 【例 26】已知向量 33 cossin 22 xx a, ,cossin 22 xx b, ,且0 2 x, , 求a b 及ab

    10、 ; 若 2f xa bab 的最小值是 3 2 ,求的值 【例 27】设平面上P、Q两点的坐标分别是cos, sin 22 xx , 33 cos, sin 22 xx ,其 中0, 2 x 求PQ的表达式; 记 2 ( )4Rf xPQPQ,求函数( )f x的最小值 【学而思高中数学讲义】 【例 28】, ,a b c为 ABC的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 ,(cos,sin) 22 CC m , (cos, sin) 22 CC n ,且m 与n 的夹角为 3 ,求 C; 【例 29】在ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边;若向量(2,0)m 与 (sin

    11、,1cos)nBB 的夹角为 3 ,求角 B 的大小 【例 30】已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为(3,0)A、(0,3)B、 3 (cos ,sin),(,). 22 C (1)若| |ACBC ,求角的值; (2)若1AC BC ,求 2 2sinsin2 1tan 的值。 【例 31】已知:A、B、C 是ABC的内角,, ,a b c分别是其对边长,向量 【学而思高中数学讲义】 3,cos1mA ,cos,1 2 nA ,mn .求角 A 的大小; 【例 32】在ABC中,已知角A为锐角,向量 22 2sinsin 222 tan 2 sinsin 222 AA mA AA , c

    12、os(2 )1 sin(2 ) 22 AA n ,( )f Am n 向量m n 时,求A; 求( )f A的最大值 若 7 ( )12 12 ABf ABC,求ABC的三个内角和AC边的长 【例 33】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴正半轴上,直线AB的倾斜角 为 3 4 ,2OB ,设AOB, 3 24 , 用表示点B的坐标及OA; 若 4 tan 3 ,求OA OB 的值 【学而思高中数学讲义】 题型三:平面向量在平面几何 【例 34】在直角坐标系xOy中, 已知点 A (0, 1) 和点 B (3, 4) , 若点 C 在AOB 的一平分线上,且| 2OC ,则OC _. 【

    13、例 35】在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的 延长线与CD交于点F若ACa ,BDb ,则AF =() ? O ? F ? E ? D ? C ? B ? A A 11 42 ab B 21 33 ab C 11 24 ab D 12 33 ab 【例 36】若O是ABC内一点,0OAOBOC ,则O是ABC的() 内心B外心C垂心D重心 ? O ? E ? D ? C ? B ? A 【例 37】若点O是ABC的外心,且0OAOBCO ,则内角C的大小为_ 【例 38】在ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则()OAOBOC 的 最小

    14、值为. 【学而思高中数学讲义】 【例 39】已知点M是ABC的重心,,MAa MBb ,用, a b 表示,AB AC BC ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? M 【例 40】在 ABC 中 , 已 知 向 量AB 与AC 满 足()0 | ABAC BC ABAC 且 1 2| | ABAC ABAC ,则ABC 为() A三边均不相等的三角形B直角三角形 C等腰非等边三角形D等边三角形 【例 41】已知1OA ,3OB ,0OA OB ,点 C 在AOB内,且30oAOC, 设OCmOAnOB ( ,)m nR,则 m n 等于() A 1 3 B3C 3 3 D3 【例

    15、 42】O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 ABAC OPOA ABAC ,0), ,则P的轨迹一定通过ABC的() A外心B内心C重心D垂心 【例 43】已知: 如图所示, ABCD 是菱形, AC 和 BD 是它的两条对角线求证 ACBD 【例 44】证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍. 【学而思高中数学讲义】 【例 45】四边形ABCD中,(6,1),( , ),( 2, 3)ABBCx y CD (1)若/ /BCDA ,试求x与y满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有ACBD ,求, x y的值及四边形ABCD的面积。 【例 46

    16、】求证: 已知点G是ABC的重心, 过G作直线与AB、AC两边分别交于M、 N两点,且设AMxAB ,ANyAC ,则 11 3 xy ? N ? M ? G ? C ? B ? A 【例 47】非正ABC的外接 圆的圆心为O,两条 边上的高的交 点为H, ()OHm OAOBOC ,求实数m的值 【例 48】如图,设G为OAB的重心,过G的直线与,OA OB分别交于P和Q,已 OPhOA ,OQkOB ,OAB与OPQ的面积分别为S和T求证: 11 3 hk ; 41 92 S TS 【学而思高中数学讲义】 ? B ? A ? M ? G ? Q ? P ? O 题型四: 平面向量的实际应用(含物理中的应用) 【例 49】如果一架向东飞行 200km,再向南飞行 300km,记飞机飞行的路程为 s, 位移为 a,则() As|a|Bs0,y0,且 x+y=1,求2121xy 的最大值 【例 84】已知 x0,y0,且 x+y=1,求证: 11 (1)(1)9 xy 。 【例 85】求证: 22222 ()()()acbdabcd 【学而思高中数学讲义】 【例 86】设任意实数 x,y 满足| 1x ,| 1y , 求证: 22 112 111xyxy 【例 87】设 a,b 为不等的正数,求证 4422332 ()()()ababab

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