( 高中数学讲义)幂函数、零点与函数的应用.板块三.函数的应用.学生版.doc
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1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一:正比例、反比例和一次函数型 【例 1】某商人将彩电先按原价提高 40%,然后“八折优惠”,结果是每台彩电比原价多 赚 144 元,那么每台彩电原价是元. 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 1200 【例 2】某商品降价 10%后,欲恢复原价,则应提价的百分数是. 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 100 % 9 【例 3】某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况, 进行了连续 5 年的观测,并
2、将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给 的信息进行预测: (1)如果不采取任何措施,那么到 2010 年底,该地区的沙 漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如果从 2000 年底后采取植树造林等措施, 每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公 顷? 观测时间1996年 底 1997年 底 1998年 底 1999年 底 2000年底 该地区沙漠比原有面积增 加数(万公顷) 0.20000.40000.60010.79991.0001 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】(1) 由表观察知, 沙漠面积增加
3、数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次 板块三.函数的零点 【学而思高中数学讲义】 函数ykxb的图象。 将 x=1,y=0.2 与 x=2,y=0.4,代入 y=kx+b, 求得 k=0.2,b=0, 所以 y=0.2x(xN) 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷,则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.515=98(万公顷) 。 (2)设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷,由题意 得 95+0.2x0.6(x5)=90, 解得 x=20(年) 。 故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 点评:初中我们学习过的正比
4、例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质,我们 要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。 【答案】 (1)98(万公顷) (2)2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷 【例 4】已知函数 f x在 R 上有定义,对任何实数0a 和任何实数x,都有 f axaf x ()证明 00f; ()证明 ,0 ,0 kx x f x hx x 其中k和h均为常数; 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】2006 年,安徽理,高考 【解析】()令0 x ,则 00faf,0a , 00f。 ()令xa,0a ,0 x ,则 2
5、 f xxf x。 假设0 x 时,( )f xkx()kR,则 22 f xkx,而 2 xf xx kxkx, 2 f xxf x,即( )f xkx成立。 令xa ,0a ,0 x , 2 fxxf x 假设0 x 时,( )f xhx()hR,则 22 fxhx ,而 2 xf xx hxhx , 2 fxxf x ,即( )f xhx成立。 ,0 ,0 kx x f x hx x 成立。 点评:该题应用了正比例函数的数字特征,从而使问题得到简化。而不是一味 的向函数求值方面靠拢。 【答案】 ()令0 x ,则 00faf,0a , 00f。 ()令xa,0a ,0 x ,则 2 f
6、xxf x。 【学而思高中数学讲义】 假设0 x 时,( )f xkx()kR,则 22 f xkx,而 2 xf xx kxkx, 2 f xxf x,即( )f xkx成立。 令xa ,0a ,0 x , 2 fxxf x 假设0 x 时,( )f xhx()hR,则 22 fxhx , 而 2 xf xx hxhx , 2 fxxf x ,即( )f xhx成立。 ,0 ,0 kx x f x hx x 成立。 【例 5】某市的一家报刊摊点,从报社买进晚报的价格是每份 0.20 元,卖出价是每 份 0.30 元,卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元价格退回报社在一个月(以 30 天计)里
7、,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每 天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月 所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多少元? 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设摊主每天从报社买进 x 份,显然当 x250,400时,每月所获利润才能最 大于是每月所获利润 y 为 200.3100.3250100.05250300.20.5625yxxxx,x250, 400 因函数 y 在250,400上为增函数,故当 x = 400 时,y 有最大值 825 元. 【答案】当 x
8、 = 400 时,y 有最大值 825 元 【例 6】某地区上年度电价为 0.8 元/kWh,年用电荷量为 a kWh,本年度计划将电价降 到 0.55 元/ kWh 至 0.75 元/ kWh 之间, 而用户期望电价为 0.4 元/ kWh.经测算, 下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数 为 k).该地区电力的成本价为 0.3 元/ kWh. (1)写出本年度电价下调后,电力部门的受益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (2)设 k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增 长 20% (注:受益实际用电量(实际电价成本价)? 【考点
9、】正比例、反比例和一次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】(1)0.550.75x, 下调电价后新增的用电荷量为 0.4 k x 本年度用电荷量为 0.4 k a x 【学而思高中数学讲义】 受益实际用电量(实际电价成本价),()(0.3) 0.4 k yax x (2)0.2ka, 0.2 ()(0.3)()(0.3) 0.40.4 ka yaxax xx 上年受益(0.80.3)a, 0.2 ()(0.3)(0.80.3) (120%) 0.4 a yaxa x 解得0.6x 0.55,0.75 即最低电价应定为0.6元/kW h. 答:关系式为()(0.3) 0.4
10、 k yax x ,最低电价为0.6元/kW h. 【答案】 (1)()(0.3) 0.4 k yax x , (2)最低电价为0.6元/kW h. 【例 7】我国从 1990 年至 2000 年间,国内生产总值(GDP) (单位:亿元)如下表所 示: 年份19901991199219931994199519961997199819992000 生产总值 18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.8 89404 根据表中数据,建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型,并利 用所建立的函数模型,预
11、测 2010 年我国的国内生产总值. 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】由表中数据作出散点图,如右图所示. 根据散点图,可以看出大致分布在一条直线附近. 选择 1990 年、2000 年的数 据代入yaxb,得 18598.41990 894042000 ab ab ,解得 7080.56 -14071716 a b . 所以,近似的函数模型为7080.5614071716yx. 当 x=2010 时,y=160209.6, 即预测 2010 年我国的国内生产总值为 160209.6 亿元. 点评点评:根据收集到的数据,作散点图,通过观察图象
12、的特征,选用适合的函数 模型,也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能,作出具体的函数解析式, 再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线,如果由 以后的线性回归知识求解,所得模型则更接近实际情况. 【答案】预测 2010 年我国的国内生产总值为 160209.6 亿元 【学而思高中数学讲义】 题型二:二次函数型 【例 8】一辆中型客车的营运总利润 y(单位:万元)与营运年数 x(xN)的变化关 系如表所示,则客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大。 (A)4(B)5(C)6(D)7 x 年468 cbxaxy 2 (万元) 7117 【考点】二次函数型【难度】 3 星
13、【题型】解答 【关键词】无 【解析】表中已给出了二次函数模型 cbxaxy 2 , 由表中数据知,二次函数的图象上存在三点(4,7) , (6,11) , (8,7) ,则 .887 ,6611 ,447 2 2 2 cba cba cba 。 解得 a=1,b=12,c=-25, 即 2512 2 xxy 。 又 25 12 y x xx 25 12x x 10122 而取“=”的条件为 25 x x , 即 x=5,故选(B) 。 点评: 一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型, 解决此类问题要充分利 用二次函数的结论和性质,解决好实际问题。 【答案】B 【例 9】行驶中的汽车,在刹
14、车后由于惯性的作用,要继续向前滑行一段距离后才会停 下,这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能,对这种型号的汽 车在国道公路上进行测试,测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发 生的交通事故中,测得刹车距离为 15.13m,问汽车在刹车时的速度是多少? 刹车时车速 v/km/h153040506080 刹车距离 s/m1.237.3012.218.4025.8044.40 【学而思高中数学讲义】 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】所求问题就变为根据上表数据,建立描述 v 与 s 之间关系的数学模型的问题。 此模型不能由表格中的数据直接看出,因此
15、,以刹车时车速 v 为横轴,以刹车 距离 s 为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图,可看出应选择二次 函数作拟合函数。假设变量 v 与 s 之间有如下关系式: cbvavs 2 ,因为 车速为 0 时,刹车距离也为 0,所以二次曲线的图象应通过原点(0,0) 。再在 散点图中任意选取两点 A(30,7.30) ,B(80,44.40)代入,解出 a、b、c 于 是 vvs0563. 00062. 0 2 。 (代入其他数据有偏差是许可的) 将 s=15.13 代入得 vv0563. 00062. 013.15 2 , 解得 v45.07。 所以,汽车在刹车时的速度是 45.07km/h
16、。 【答案】汽车在刹车时的速度是 45.07km/h 【例 10】某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每 月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 少? 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】2003 年,北京,高考春 【解析】(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为: 50 3
17、0003600 =12,所以这时租出了 88 辆车. (2) 设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为: f (x) = (100 50 3000 x ) (x150) 50 3000 x 50, 整理得: f (x) = 50 2 x +162x21000= 50 1 (x4050) 2+307050.所以,当 x=4050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4050)=307050.即当每 辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元. 点评:本题贴近生活。要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际问题转 化为数学问题并加以解决。 【
18、答案】 (1)租出了 88 辆, (2)当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最 大,最大收益为 307050 元 【学而思高中数学讲义】 【例 11】某工厂今年 1 月、 2 月、 3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2万件、1.3万件, 为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数据为依据,用一个函数模拟 产品的月产量 y 与月份数 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 x yabc(其中 a,b,c 为常数),已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请 问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由. 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】
19、无 【解析】(1)利用二次函数模型,设 2 ( )(0)f xaxbxc a 由已知条件可得方程组: 1 421.2 931.3 abc abc abc , 解得0.05,0.35,0.7abc 2 ( )0.050.350.7f xxx 把 4 月份代入可得(4)1.3f (2)用模型 2,即指数模型 x yabc( )u x 把 1,2,3 月分别代入可得方程组如下: 2 3 1 1.2 1.3 abc abc ab 解方程组可得:0.8,0.5,1.4abc ,( )0.8u x (0.5)x1.4 (4)1.35u,综上可知用模型( )0.8u x (0.5)x1.4好. 答:用模型(
20、 )0.8u x (0.5)x1.4作为模拟函数较好. 【答案】用模型( )0.8u x (0.5)x1.4作为模拟函数较好 【例 12】一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比,已知当航速为每小时 a 海里时,每小时所耗燃料费为 b 元;此外,该海轮航行中每小时的其它费用为 c 元(与航速无关), 若该海轮匀速航行 d 海里, 问航速应为每小时多少海里才能 使航行的总费用最省?此时的总费用为多少? 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省,那么就要找到总费用和 航速的关系, 总费用等于燃料费和其它费用的总和, 燃料
21、费与时间和航速有关, 而其它费用只和时间有关,而时间又是由航速确定的,所以本题的一切变量都 可以用航速表达出来,从而可以列出函数关系求最值. 由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为 k,则: 2 bka, 2 b k a 设航速为每小时x海里使最省,则:航行的总费用为 2 2 bdd Sxc axx 当 2 bdcd x ax ,即 a xbc b 时取最小值. 【学而思高中数学讲义】 答:当航速满足 a bc b 时,费用最小,其最小值为 2d bc a . 【答案】当航速满足 a bc b 时,费用最小,其最小值为 2d bc a 【例 13】有甲、乙两种商品,经销这两种商品所能获得
22、的利润依次是 p 万元和 q 万 元,它们与投入的资金 x 万元的关系有经验公式:p= 1 10 x,q= 2 5 x. 现有资金 9 万元投入经销甲、乙两种商品,为了获取最大利润,问:对甲、乙两种商品 的资金分别投入多少万元能获取最大利润? 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设对乙商品投入 x 万元,则对甲商品投入 9x 万元. 设利润为 y 万元,0,9x. y= 12 (9) 105 xx= 1 (49) 10 xx = 2 1 ( (2)13) 10 x, 当x=2,即 x=4 时,ymax=1.3. 所以,投入甲商品 5 万元,乙商品 4 万元时,
23、能获得最大利润 1.3 万元. 【例 14】某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/个,出厂价为 60 元/个,日销售量 为 1000 个.为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本,若每个蛋糕 成本增加的百分率为 x(0 x70, 得 n9.4,取 n=10。 所以到 2010 年可以收回全部投资款。 点评:分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式,从而寻求在不同情况 下实际问题的处理结果。 【答案】到 2010 年可以收回全部投资款 【例 18】某蔬菜基地种植西红柿, 由历年市场行情得知, 从二月一日起的 300 天内, 西红柿市场售价与上市时间的关系用图 210 中(1)的一条折线
24、表示;西红 柿的种植成本与上市时间的关系用图 210 中(2)的抛物线表示. 图 210 (1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 Pf(t) ; 写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Qg(t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元102,g,时间单位:天) 【考点】分段函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】2000 年,全国,高考 【解析】(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t) ;300200,3002 ,2000 ,300 tt tt 由图(2)可得种植成本与时间的函
25、数关系为 g(t) 200 1 (t150)2100,0t300 (2)设 t 时刻的纯收益为 h(t) ,则由题意得 h(t)f(t)g(t) , 【学而思高中数学讲义】 即 h(t) .300200, 2 1025 2 7 200 1 ,2000 , 2 175 2 1 200 1 2 2 ttt ttt 当 0t200 时,配方整理得 h(t) 200 1 (t50)2100, 所以,当 t50 时,h(t)取得区间0,200上的最大值 100; 当 200t300 时,配方整理得 h(t) 200 1 (t350)2100, 所以,当 t300 时,h(t)取得区间(200,300上的
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