（ 高中数学讲义）函数的图象与性质.板块一.函数的单调性.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。 1.定义法 【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 2 ( ) 1 x f x x 在区间(0, 1)上的单调性 【例 2】证明函数 3 yx在定义域上是增函数 【例 3】根据函数单调性的定义，证明函数 3 ( )1f xx 在(,) 上是减函数 【例 4】证明函数( )f xx 在定义域上是减函数 【例 5】讨论函数 2 ( ) 1 x f x x ( 11)x 的单调性 【例 6】求函数 f(x)=x+ 1 x 的单调区间。 板块一.函数的单调性 【学而思高中数学讲义】 【例 7】求证:函数( )(0) a f

2、 xxa x 在(,)a 上是增函数. 【例 8】（2001 春季北京、安徽，12）设函数 f（x） bx ax （ab0） ，求 f（x）的 单调区间，并证明 f（x）在其单调区间上的单调性。 【例 9】（2001 天津，19）设0a ，( ) x x ea f x ae 是R上的偶函数。 （1）求a的值； （2）证明( )f x在(0,)上为增函数。 【例 10】已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)= f(x)+ )( 1 xf ，讨论 F (x)的单调性，并证明你的结论。 【例 11】已知函数( )f x对任意实数x，y均有()

3、( )( )f xyf xf y且当x0 时， ( )0f x ，试判断( )f x的单调性，并说明理由 【例 12】已知给定函数( )f x对于任意正数x，y都有()f xy( )f x( )f y，且 ( )f x0，当1x 时，( )1f x 试判断( )f x在(0,) 上的单调性，并说明理 由 【学而思高中数学讲义】 2.图象法 【例 13】如图是定义在区间 5, 5上的函数( )yf x，根据图象说出函数的单调区 间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【例 14】求函数122yxx的单调减区间 【例 15】求下列函数的单调区间： |1|yx； 1 yx x （0 x ）

4、 【例 16】求下列函数的单调区间： |1|24|yxx； 2 2| 3yxx 【例 17】作出函数 2 |yxx的图象，并结合图象写出它的单调区间 【学而思高中数学讲义】 【例 18】画出下列函数图象并写出函数的单调区间 （1） 2 2| 1yxx （2） 2 |23|yxx 3.求复合函数的单调区间 【例 19】函数 2 1 x y x （xR，1x）的递增区间是（） A2xB0 x或 2xC0 xD12x或2x 【例 20】已知 yf x是偶数，且在0 ，上是减函数，求 2 1fx单调增区间。 【例 21】求函数 2 1 2 y xx 的单调区间 【例 22】讨论函数 2 23yxx的单

5、调性 【例 23】求函数( )f x 2 0.5( 87)xx的单调区间 【学而思高中数学讲义】 【例 24】（1）求函数 2 0.7 log(32)yxx的单调区间； （2）已知 2 ( )82,f xxx若 2 ( )(2)g xfx试确定( )g x的单调区间和单 调性。 题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围 【例 25】设函数( )(21)f xaxb是 R 上的减函数，则a的范围为() A 1 2 a B 1 2 a C 1 2 a D 1 2 a 【例 26】函数 2 (0,)yxbxc x)是单调函数的充要条件是() A0b B0b C 0b D0b 【例 27】已知 2 (

6、 )() 2 xx a f xaa a （0a 且1a）是R上的增函数则实数a的 取值范围是（） A(01)，B (01)2 ， C 2 ，D (01)2 ， 【例 28】设a是实数， 2 ( )() 21 x f xax R， 试证明对于任意a，( )f x为增函数； 试确定a值，使( )f x为奇函数 【例 29】设定义域为 R 上的函数 f(x)既是单调函数又是奇函数，若 【学而思高中数学讲义】 2 222 logloglog20f ktftt对一切正实数 t 成立，求实数 k 的取值范围。 【例 30】已知 f（x）是奇函数，在实数集 R 上又是单调递减函数且 0 2 时,0) 2 1

7、 ()sin 2 3 sin 2 1 ( 2 ftf,求 t 的取值范围. 【例 31】已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在0，+上是增函数，是否存在 实数 m，使 f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0, 2 都成立？若 存在，求出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由。 题型三：函数的单调性与方程、不等式 【例 32】比较)32(log) 1(log 22 xx与的大小. 【例 33】已知( )f x在区间(,) 上是减函数，, a bR且0ab，则下列表达正 确的是（ ） A ( )( ) ( )( )f af bf af b B ( )( )(

8、)()f af bfafb C ( )( ) ( )( )f af bf af b D ( )( )()()f af bfafb 【例 34】若( )f x是R上的减函数，且( )f x的图象经过点(03)A，和点(31)B，则 不等式|(1)1| 2f x 的解集为（） A(3)，B(2)，C(03)，D( 12) ， 【学而思高中数学讲义】 【例 35】解方程xxx25963. 【例 36】设 f(x)在 R 上是偶函数， 在区间 （-,0） 上递增， 且有 f(2a2+a+1)1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+ 1 1m )。 (1)证明：当 mM 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若 f(x)对所有实数 x 都 有意义，则 mM； (2)当 mM 时，求函数 f(x)的最小值； (3)求证：对每个 mM,函数 f(x)的最小值都不小于 1。