( 高中数学讲义)函数及其表示.板块二.函数的表示法.学生版.doc
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1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一 求函数值 【例 1】若函数( )f x满足(21)1fxx,则(1)f 【例 2】(2006 年安徽高考) 函 数( )f x对 于 任 意 实 数x满 足 条 件 1 (2) ( ) f x f x , 若(1)5f , 则 ( (5)f f 【例 3】若函数 2 (21)2fxxx,则(3)f= 【例 4】已知函数 2 2 ( ), 1 x f xxR x . (1) 求 1 ( )( )f xf x 的值; (2) 计算: 111 (1)(2)(3)(4)( )( )( ) 234 fffffff. 【例 5】已知, a b为常数,若 22 (
2、)43,()1024,f xxxf axbxx求5ab的值 【例 6】若函数 2 ( )f xx,则对任意实数 12 ,x x,下列不等式总成立的是() A 12 () 2 xx f 12 ()() 2 f xf x B 12 () 2 xx f 12 ()() 2 f xf x 板块二.函数的表示法 【学而思高中数学讲义】 C 12 () 2 xx f 12 ()() 2 f xf x D 12 () 2 xx f 12 ()() 2 f xf x 【例 7】(2006台湾) 将正整数18分解成两个正整数的乘积有:1 18,29,3 6三种,又3 6是 这三种分解中两数的差最小的,我们称3
3、6为18的最佳分解当pq()pq 是正整数n的最佳分解时,我们规定函数( ) p F n q ,例如 31 (18) 62 F,下列 有关函数( )F n的叙述,正确的序号为(把你认为正确的序号都写上) (4)1F; 3 (24) 8 F; 1 (27) 3 F; 若n是一个质数,则( )F n 1 n ;若n是一个完全平方数,则( )1F n 【例 8】设函数 3(100) ( ),(89). (5)(100) xx f xf f f xx 求 【例 9】(2001 上海理,1)设函数 f(x) 81 2 ,(,1 log ,(1,) x x x ,则满足 f(x)= 1 4 的 x 值 为
4、。 【例 10】(2006 山东 文 2)设 1 2 3 2,2 ( )( (2) log (1)2. x ex f xf f xx , 则的值为 , () A0B1C2D3 题型二 求函数解析式 一、定义法:一、定义法: 【例 11】设23) 1( 2 xxxf,求)(xf. 【学而思高中数学讲义】 【例 12】设函数( )23, (2)( )f xxg xf x,则( )g x的表达式是() A21x B21x C23x D27x 【例 13】设 2 1 )( x x xff,求)(xf. 【例 14】设 3 3 2 2 1 ) 1 (, 1 ) 1 ( x x x xg x x x xf
5、,求)(xgf. 【例 15】设)(sin,17cos)(cosxfxxf求. 二、待定系数法:二、待定系数法: 【例 16】如果反比例函数的图象经过点(1,2),那么这个反比例函数的解析式为 【例 17】在反比例函数 k y x 的图象上有一点P,它的横坐标m与纵坐标n是方程 2 420tt的两个根,则k 【例 18】已知1392)2( 2 xxxf,求)(xf. 三、换元(或代换)法:三、换元(或代换)法: 【学而思高中数学讲义】 【例 19】已知函数 1 () 1 x fx x . 求: (1)(2)f的值; (2)( )f x的表达式 【例 20】(1)已知(1)2fxxx,求( )f
6、 x及 2 ()f x; (2)已知 ( )3 ()21f xfxx ,求 ( )f x. 【例 21】已知 2 2 111 (), xx f xxx 求( )f x 【例 22】设xxf 2 cos) 1(cos,求)(xf. 【例 23】设( )f x满足 1 ( )( )af xbfcx x (其中,abc均不为0,且ab ) ,求( )f x 四、反解函数法:四、反解函数法: 【例 24】已知2)( 21 xaf x ,求)(xf. 五、特殊值法:五、特殊值法: 【例 25】设)(xf是定义在 N 上的函数,满足1) 1 (f,对于任意正整数yx,,均有 【学而思高中数学讲义】 xyy
7、xfyfxf)()()(,求)(xf. 六、累差法:六、累差法: 【例 26】若 a f 1 lg) 1 (, 且当), 0(,lg)() 1(,2 1 Nxaaxfxfx x 满足时, 求)(xf. 七、归纳法:七、归纳法: 【例 27】已知afNxxfxf) 1 ()(),( 2 1 2) 1(且,求)(xf. 八、微积分法:八、微积分法: 【例 28】设2) 1 (,cos)(sin 22 fxxf,求)(xf. 九、其他综合问题九、其他综合问题 【例 29】(1)已知 3 3 11 ()f xx xx ,求( )f x; (2)已知 2 (1)lgfx x ,求( )f x; (3)已
8、知( )f x是一次函数,且满足3 (1)2 (1)217f xf xx,求( )f x; (4)已知( )f x满足 1 2 ( )( )3f xfx x ,求( )f x。 【学而思高中数学讲义】 【例 30】(2006 重庆理 21)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)x2+x)=f(x)x2+x。 ()若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); ()设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0。求函数 f(x)的解析表达式。 【例 31】已知函数( )yf x的图象关于直线1x 对称, 且当(0,)x时, 有 1 ( ),f x x 则当(
9、, 2)x 时,( )f x的解析式为() A 1 x B 1 2x C 1 2x D 1 2x 【例 32】(05 全国卷 I)已知二次函数( )f x的二次项系数为 a,且不等式( )2f xx 的 解集为(1,3) 方程( )60f xa有两个相等的根,求( )f x的解析式; 若( )f x的最大值为正数,求a的取值范围 题型三 分段函数 【例 33】画出下列函数的图象: (1)|2|yx; (2)|1|24|yxx. 【例 34】函数( ) f xx的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如 3.54 ,2.12, 当( 2.5,3x 时,写出( )f x的解析式,并作出函数的图象.
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