（ 高中数学讲义）二项式定理.版块一.二项展开式1求展开式中的指定项.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1二项式定理 二项式定理 011222 . n nnnnn nnnn abC aC abC abC bn N 这个公式表示的定理叫做二项式定理 二项式系数、二项式的通项 011222 . nnnnn nnnn C aC abC abC b 叫做 n ab的二项展开式，其中的系数 0, 1, 2, ., r n Crn叫做二项式系数，式中的 rn rr n C ab 叫做二项展开式的通项，用 1r T 表示， 即通项为展开式的第1r 项： 1 rn rr rn TC ab 二项式展开式的各项幂指数 二项式 n ab的展开式项数为1n 项，各项的幂指数状况是 各项

2、的次数都等于二项式的幂指数n 字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减 1 直到零，字母b按升幂排列，从 第一项起，次数由零逐项增 1 直到n 几点注意 通项 1 rn rr rn TC ab 是 n ab的展开式的第1r 项，这里0, 1, 2, .,rn 二项式 n ab的1r 项和 n ba的展开式的第1r 项 rn rr n C ba 是有区别的， 应用二项式 定理时，其中的a和b是不能随便交换的 注意二项式系数（ r n C）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有时可为负 求展开式中的指定项 【学而思高中数学讲义】 通项公式是 n ab这个标准形

3、式下而言的，如 n ab的二项展开式的通项公式是 1 1 r rn rr rn TC ab （只须把b看成b代入二项式定理）这与 1 rn rr rn TC ab 是不同的，在这 里对应项的二项式系数是相等的都是 r n C，但项的系数一个是1 r r n C，一个是 r n C，可看出， 二项式系数与项的系数是不同的概念 设1,abx，则得公式： 122 11. n rrn nnn xC xC xC xx 通项是 1r T rn rr n C ab 0, 1, 2, .,rn中含有 1, , r Ta b n r 五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素 当n不是很大，x比较小时可以用展

4、开式的前几项求(1)nx的近似值 2二项式系数的性质 杨辉三角形： 对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算 杨辉三角有如下规律： “左、 右两边斜行各数都是 1 其余各数都等于它肩上两个数字的和 ” 二项式系数的性质： n ab展开式的二项式系数是： 012 , ., n nnnn CCCC，从函数的角度看 r n C可以看成是r为自 变量的函数 f r，其定义域是：0, 1, 2, 3, ., n 当6n 时， f r的图象为下图： 这样我们利用 “杨辉三角” 和6n 时 f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质 对称性

5、：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 【学而思高中数学讲义】 事实上，这一性质可直接由公式 mn m nn CC 得到 增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大 由于展开式各项的二项式系数顺次是 012 1 1, 11 2 nnn n nn CCC ， 3 12 1 2 3 n n nn C ， 1 12 .2 1 2 3 .1 k n n nnnk C k ， 12 .21 1 2 3.1 k n n nnnknk C kk ， 1 n n C 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘

6、以逐次减小 1 的数（如 ,1,2, .n nn），分母是乘以逐次增大的数（如 1，2，3，）因为，一个自然数乘以 一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，从而当k依次取 1，2，3，等值 时， r n C的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等， 所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间 当n是偶数时，1n 是奇数，展开式共有1n 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的 二项式系数最大，最大为 2 n n C 当n是奇数时，1n 是偶数，展开式共有1n 项，所以有中间两项 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 11

7、22 nn nn CC 二项式系数的和为2n，即 012 .2 rnn nnnnn CCCCC 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 0241351 .2n nnnnnn CCCCCC 常见题型有： 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题 典例分析 【例 1】 6 3 1 2 x 的展开式中的第四项是 【学而思高中数学讲义】 【例 2】 6 xy yx 的展开式中， 3 x的系数等于_ 【例 3】 35 3 121xx的展开式中x的系数是 A4B2 C2D4 【例 4】 若 9 a x x 的展开式中 3 x的系数是84，则a 【例 5】

8、 5 a x x ()xR展开式中 3 x的系数为 10，则实数a等于 A1B 1 2 C1D2 【例 6】 若 2 012 (12 )n n n xaa xa xa x，则 2 a的值是（） A84B84C280D280 【例 7】 8 (2 )xy的展开式中 62 x y项的系数是（） A56B56C28D28 【例 8】 若 5 54 5410 31xa xa xa xa，则 2 a的值为（） A270B270 2 xC 90D90 2 x 【学而思高中数学讲义】 【例 9】 64 (1) (1)xx的展开式中x的系数是_（用数字作答） 【例 10】在 25 (42)xx的展开式中，x的

9、系数为_（用数字作答） 【例 11】在 25 (42)xx的展开式中， 2 x的系数为_（用数字作答） 【例 12】在 25 (42)xx的展开式中， 3 x的系数为_（用数字作答） 【例 13】求 294 (31) (21)xxx展开式中含 2 x项系数 【例 14】在 26 (1)(1)(1)xxx的 展 开 式 中 ， 2 x项 的 系 数 是 （用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 15】 2345 (1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中 2 x的系数等 于_ （用数字作答） 【例 16】 29 1 () 2 x x 展开式中 9 x的系数是_（用数字作答） 【例 1

10、7】在 8 (1)(1)xx的展开式中 5 x的系数是（） A14B14C28D28 【例 18】在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含 4 x的项的系数是 （） A15B85C120 D274 【例 19】在 56789 (1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中，含 3 x项 的系数是（用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 20】求 26 (1)xx展开式中 5 x的系数 【例 21】 64 (1) (1)xx的展开式中x的系数是_（用数字作答） 【例 22】在 25 (42)xx的展开式中，x的系数为_（用数字作答） 【例 23】在 25 (42)xx的展

11、开式中， 2 x的系数为_（用数字作答） 【例 24】在 25 (42)xx的展开式中， 3 x的系数为_（用数字作答） 【例 25】求 294 (31) (21)xxx展开式中含 2 x项系数 【学而思高中数学讲义】 【例 26】在 26 (1)(1)(1)xxx的 展 开 式 中 ， 2 x项 的 系 数 是 （用数字作答） 【例 27】 2345 (1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中 2 x的系数等 于_ （用数字作答） 【例 28】 29 1 () 2 x x 展开式中 9 x的系数是_（用数字作答） 【例 29】在 8 (1)(1)xx的展开式中 5 x的系数是（） A

12、14B14C28D28 【例 30】在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含 4 x的项的系数是 （） （A）15（B）85（C）120（D）274 【学而思高中数学讲义】 【例 31】在 56789 (1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中，含 3 x项 的系数是（用数字作答） 【例 32】求 26 (1)xx展开式中 5 x的系数 【例 33】在二项式 5 2 1 x x 的展开式中，含 4 x的项的系数是（） A10B10C5D5 【例 34】 34 (12 ) (1)xx的展开式中x的系数是_， 2 x的系数为 _ 【例 35】 4 1 1(1) x x 的展

13、开中含 2 x的项的系数为（） A4B6C10D12 【例 36】 64 11xx的展开式中x的系数是（） A4B3C3D 4 【学而思高中数学讲义】 【例 37】求 310 11xx展开式中 5 x的系数； 【例 38】在二项式 5 2 1 x x 的展开式中，含 4 x的项的系数是（） A10B10C5D5 【例 39】 6 (2)x 的展开式中 3 x的系数是（） A20B40C80D160 【例 40】在 4 (1)x的展开式中，x的系数为（用数字作答） 【例 41】在 33 33 (1)11xxx的 展 开 式 中 ，x的 系 数 为 _ （用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例

14、 42】 9 1 x x 的二项展开式中含 3 x的项的系数为（） A36B84C36D84 【例 43】若 26 1 ()x ax 的 二 项 展 开 式 中 3 x的 系 数 为 5 , 2 则 a （用数字作答） 【例 44】设常数0a ， 24 1 ()ax x 展开式中 3 x的系数为 3 2 ，则a_ 【例 45】已知 26 (1)kx（k是正整数）的展开式中， 8 x的系数小于 120，则 k 【例 46】已知 5 ( cos1)x的展开式中 2 x的系数与 4 5 () 4 x 的展开式中 3 x的 系数相等 cos 【学而思高中数学讲义】 【例 47】 10 1 x x 的二

15、项展开式的第6项的系数为（） A210B252C210D252 【例 48】若 26 1 ()x ax 的 二 项 展 开 式 中 3 x的 系 数 为 5 , 2 则 a _ （用数字作答） 【例 49】若 21 () n xm 与 2 (1) (*0) n mxnmN ，的展开式中含 n x的系数 相等，则实数m的取值范围是（） A1 2 ( 23 ，B21) 3 ，C(0)，D(0) ， 【例 50】已知 0 sincosaxx dx ，则二项式 6 1 a x x 展开式中含 2 x项的系数是 【例 51】在 7 (1)ax 的展开式中， 3 x的系数是 2 x的系数与 4 x的系数的

16、等差 中项，若实数1a ，那么_a 【学而思高中数学讲义】 【例 52】已知 26 (1)kx（k是正整数）的展开式中， 8 x的系数小于120，则 k _ 【例 53】 4 ()xyy x的展开式中 33 x y的系数为 【例 54】若(1)nx的展开式中， 3 x的系数是x的系数的7倍，求n； 【例 55】 10 ()xy的展开式中， 73 x y的系数与 37 x y的系数之和等于 _ 【例 56】已知a为实数， 10 ()xa展开式中 7 x的系数是15， 则a _ 【学而思高中数学讲义】 【例 57】二项式 4 1 n x x x 的展开式中第三项系数比第二项系数大44， 求 第4项

17、的系数 【例 58】求 9 1 x x 的二项展开式中含 3 x的项的二项式系数与系数 【例 59】若 1 2 n x x 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 4 x 项的系数为_ 【例 60】令 n a为 1 ( )(1)n n fxx 的展开式中含 1n x 项的系数，则数列 1 n a 的前2009项和为_ 【学而思高中数学讲义】 【例 61】在 7 (1)ax (1)a 的展开式中， 3 x的系数是 2 x的系数与 4 x的系 数的等差中项，求a的值 【例 62】已知 5 255 11 10axxbxa x ，则b 【例 63】在1 n x展开式中， 3 x与 2 x的系数分

18、别为ab，如果3 a b ， 那么b的值为（） A70B60C55D40 【例 64】若 5 (1)ax 的展开式中 3 x的系数是80， 则实数a的值是 _ 【学而思高中数学讲义】 【例 65】设 常 数0a ， 4 2 1 ax x 展 开 式 中 3 x的 系 数 为 3 2 ， 则 a 【例 66】若 1 2 n x x 展开式中含 2 1 x 项的系数与含 4 1 x 项的系数之比为 5，则n等于（） A4B6C8D10 【例 67】设 n a为 1 ( )(1)n n fxx 的展开式中含 1n x 项的系数，则数列 1 n a 的前n项和为_ 【例 68】已知 1 2 n x x

19、 展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则 n _ 【例 69】在 220 (1)x的展开式中，如果第4r项和第2r 项的二项式系数 相等，则第4r项为_ 【学而思高中数学讲义】 【例 70】若在二项式 10 (1)x 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的 概率是_ 【例 71】已 知 lglg2 (21) xn x 展 开 式 中 最 后 三 项 的 系 数 的 和 是 方 程 2 lg(7272)0yy的正数解，它的中间项是 4 2lg2 10 ，求x的值 【例 72】设数列 n a是等比数列， 31 1232 C m mm a ，公比q是 4 2 1 () 4 x x 的展 开式的第二项 用nx，表示通项 n a与前n项和 n S； 若 12 12 CCCn nnnnn ASSS用nx，表示 n A