( 高中数学讲义)二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.学生版.doc
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1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1二项式定理 二项式定理 011222 . n nnnnn nnnn abC aC abC abC bn N 这个公式表示的定理叫做二项式定理 二项式系数、二项式的通项 011222 . nnnnn nnnn C aC abC abC b 叫做 n ab的二项展开式,其中的系数 0, 1, 2, ., r n Crn叫做二项式系数,式中的 rn rr n C ab 叫做二项展开式的通项,用 1r T 表示, 即通项为展开式的第1r 项: 1 rn rr rn TC ab 二项式展开式的各项幂指数 二项式 n ab的展开式项数为1n 项,各项的幂指数状况是 各项
2、的次数都等于二项式的幂指数n 字母a的按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减 1 直到零,字母b按升幂排列,从 第一项起,次数由零逐项增 1 直到n 几点注意 通项 1 rn rr rn TC ab 是 n ab的展开式的第1r 项,这里0, 1, 2, .,rn 二项式 n ab的1r 项和 n ba的展开式的第1r 项 rn rr n C ba 是有区别的, 应用二项式 定理时,其中的a和b是不能随便交换的 注意二项式系数( r n C)与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而 项的系数有时可为负 求展开式中的特定项 【学而思高中数学讲义】 通项公式是 n ab这个标准形
3、式下而言的,如 n ab的二项展开式的通项公式是 1 1 r rn rr rn TC ab (只须把b看成b代入二项式定理)这与 1 rn rr rn TC ab 是不同的,在这 里对应项的二项式系数是相等的都是 r n C,但项的系数一个是1 r r n C,一个是 r n C,可看出, 二项式系数与项的系数是不同的概念 设1,abx,则得公式: 122 11. n rrn nnn xC xC xC xx 通项是 1r T rn rr n C ab 0, 1, 2, .,rn中含有 1, , r Ta b n r 五个元素, 只要知道其中四个即可求第五个元素 当n不是很大,x比较小时可以用展
4、开式的前几项求(1)nx的近似值 2二项式系数的性质 杨辉三角形: 对于n是较小的正整数时,可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理,二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算 杨辉三角有如下规律: “左、 右两边斜行各数都是 1 其余各数都等于它肩上两个数字的和 ” 二项式系数的性质: n ab展开式的二项式系数是: 012 , ., n nnnn CCCC,从函数的角度看 r n C可以看成是r为自 变量的函数 f r,其定义域是:0, 1, 2, 3, ., n 当6n 时, f r的图象为下图: 这样我们利用 “杨辉三角” 和6n 时 f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质 对称性
5、:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 【学而思高中数学讲义】 事实上,这一性质可直接由公式 mn m nn CC 得到 增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大 由于展开式各项的二项式系数顺次是 012 1 1, 11 2 nnn n nn CCC , 3 12 1 2 3 n n nn C , 1 12 .2 1 2 3 .1 k n n nnnk C k , 12 .21 1 2 3.1 k n n nnnknk C kk , 1 n n C 其中,后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘
6、以逐次减小 1 的数(如 ,1,2, .n nn),分母是乘以逐次增大的数(如 1,2,3,)因为,一个自然数乘以 一个大于 1 的数则变大,而乘以一个小于 1 的数则变小,从而当k依次取 1,2,3,等值 时, r n C的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等, 所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间 当n是偶数时,1n 是奇数,展开式共有1n 项,所以展开式有中间一项,并且这一项的 二项式系数最大,最大为 2 n n C 当n是奇数时,1n 是偶数,展开式共有1n 项,所以有中间两项 这两项的二项式系数相等并且最大,最大为 11
7、22 nn nn CC 二项式系数的和为2n,即 012 .2 rnn nnnnn CCCCC 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 0241351 .2n nnnnnn CCCCCC 常见题型有: 求展开式的某些特定项、项数、系数,二项式定理的逆用,赋值用,简单的组合数式问题 典例分析 二项展开式 2 求展开式中的特定项(常数项,有理项,系数最大项等 ) 常数项 【学而思高中数学讲义】 【例 1】 在 20 4 3xy展开式中,系数为有理数的项共有项 【例 2】 1003 ( 23)的展开式中共有_项是有理项 【例 3】 6103 4 1 (1) (1)x x 展开式中的常数
8、项为_(用数字作答) 【例 4】 6 2 1 1xxx x 的展开式中的常数项为_ 【例 5】 二项式 4 2 x+ x 的展开式中的常数项为_,展开式中各项系数和 为 (用数字作答) 【例 6】 若 12 3 a x x 的展开式中的常数项为220,则实数a _ 【学而思高中数学讲义】 【例 7】 在二项式 5 2 a x x 的展开式中,x的系数是10,则实数a的值为 【例 8】 在 6 2 1 x x 的展开式中,常数项是_ (结果用数值表示) 【例 9】 如果 1 n x x 展开式中,第四项与第六项的系数相等,则n ,展开式中 的常数项的值等于 【例 10】 28 1 (12)()x
9、x x 的展开式中常数项为(用数字作答) 【例 11】若 1 ()nx x 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 _(用数字作答) 【学而思高中数学讲义】 【例 12】若 3 1 (2)nx x 的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等 于 【例 13】在 2 ()nx x 的 二项 展 开 式中 , 若 常数 项 为60, 则n等 于 (用数字作答) 【例 14】 2 1 ()nx x 的展开式中,常数项为 15,则n 【例 15】已知 2 3 1 (1)()nxxx x 的展开式中没有常数项,n * N,且 28n,则n _ 【例 16】 12 3 1 ()x x 展开式中的
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