（ 高中数学讲义）指数与指数函数.板块二.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一 指数函数的定义与表示 【例 1】求下列函数的定义域 (1) 3 2 x y (2) 21 3 x y (3) 5 1 2 x y (4) 1 0.7 x y 【例 2】求下列函数的定义域、值域 1 1 2xy ；3 x y ； 2 1 2 0.5 x x y 【例 3】求下列函数的定义域和值域： 1 x ay12 3 1 ) 2 1 ( x y 【例 4】求下列函数的定义域、值域 (1) 1 1 0.4xy ；(2) 51 3 x y .(3)21 x y 板块二.指数函数 【学而思高中数学讲义】 【例 5】求下列函数的定义域 (1) 1 3xy ;(

2、2)51yx. 【例 6】已知指数函数( )(0, x f xaa且1)a 的图象经过点(3, )，求(0)f，(1)f， ( 3)f 的值 【例 7】若1a ，0b ，且2 2 bb aa，则 bb aa的值为（） A6B2或2C2D2 题型二 指数函数的图象与性质 【例 8】已知1abc，比较下列各组数的大小： _ bc aa； 1 b a 1 c a ； 11 _ bc aa；_ aa bc 【例 9】比较下列各题中两个值的大小： 2.5 1.7， 3 1.7； 0.1 0.8， 0.2 0.8； 0.3 1.7， 3.1 0.9 【例 10】比较下列各题中两个值的大小 (1) 0.80

3、.7 33，(2) 0.10.1 0.750.75 ， (3) 2.73.5 1.011.01，(4) 3.34.5 0.990.99， 【学而思高中数学讲义】 【例 11】已知下列不等式，比较 m、n 的大小 (1)22 mn (2)0.20.2 mn (3)01 mn aaa(4)1 mn aaa 【例 12】图中的曲线是指数函数 x ya的图象，已知a取 413 3, 3 10 5 四个值，则相 应于曲线 1234 ,cccc的a依次为_ 【例 13】已知 51 2 a ，函数( ) x f xa，若实数mn，满足( )( )f mf n，则mn，的 大小关系为 【例 14】设 4 24

4、a ， 312 b ，6c ，则a，b，c的大小关系是 【例 15】若对1,2x，不等式22 x m 恒成立，求实数m的取值范围 【学而思高中数学讲义】 【例 16】判断函数 1 1 ( ) 3 x y 的单调性 【例 17】函数 | | ( ) x f xe（） A是奇函数，在(,0上是减函数B是偶函数，在(,0上是减函数 C是奇函数，在0,)上是增函数D是偶函数，在(,) 上是增函数 【例 18】已知函数 f(x)为偶函数， 当0 x ，时， 1 2xf x ,求当0 x ，时， f x的解析式. 【例 19】证明函数 x ay 和 x ay ) 10(aa且的图象关于 y 轴对称。 题型

5、三 关于指数的复合函数 1.二次函数复合型 【例 20】求函数 2 2 1 2 xx y 单调区间，并证明 【学而思高中数学讲义】 【例 21】函数 2 2 1 ( ) 3 xx f x 的单调增区间为，值域为 【例 22】函数( )3 42 xx f x ，求( )f x在0,)x上的最小值 【例 23】求函数 1 ( )423 xx f xa (R)x的值域 【例 24】已知43 23 xx y ，当其值域为1,7时，x的取值范围是 【例 25】求下列函数的单调区间 2 32xx ya （0a ，且1a） ； 已知910390 xx ，求函数 11 11 ( )4 ( )5 42 xx y

6、 最值 【例 26】函数 2 281(0 1) xx yaa 的单调增区间是 【例 27】设( )124 () xx f xaa R，当(,1x 时，( )f x的图象在x轴上方，求 【学而思高中数学讲义】 a的取值范围 【例 28】如果函数 2 21(0,1) xx yaaaa在区间 1,1上的最大值是14，求a的 值 【例 29】求函数 11 ( )1 ( 3, 2) 42 xx f xx 的单调区间及其值域 【例 30】已知12x ，求函数 1 ( )32 39 xx f x 的最大值和最小值 【例 31】求函数 4 44222 xxx f xa 的最小值， 并指出使 f x取得最小值时

7、 x的值 2.分式函数复合型 【例 32】当 a1 时，证明函数 1 ( ) 1 x x a f x a 是奇函数 【学而思高中数学讲义】 【例 33】求证下列命题： (1) 2 xx aa f x （a0，a1)是奇函数； (2) (1) 1 x x ax f x a （a0，a1）是偶函数. 【例 34】已知函数 21 21 x x f x ， (1)判断函数 f x的奇偶性； (2)求证函数 f x在 ，上是增函数. 【例 35】讨论函数 21 ( ) 21 x x f x 的奇偶性、单调性，并求它的值域 【学而思高中数学讲义】 【例 36】已知 1010 ( ) 1010 xx xx

8、f x ，判断函数的单调性、奇偶性，并求( )f x的值域 【例 37】正实数 12 xx，及函数 f x满足 1 4 1 x f x f x ，且 12 1f xf x，求 12 f xx的最小值 【例 38】设aR， 2 ( )() 21 x f xax R，若( )f x为奇函数，求a的值 【例 39】在计算机的算法语言中有一种函数 x叫做取整函数（也称高斯函数） ，它 表示x的整数部分，即 x是不超过x的最大整数例如：22，3.13， 2.63 设函数 21 ( ) 122 x x f x ，则函数 ( ) ()yf xfx的值域为 题型四 其他综合题目 【例 40】小明即将进入一大学

9、就读，为了要支付 4 年学费，小明欲将一笔钱存入银 行，使得每年皆有 40000 元可以支付学费而银行所提供的年利率为 6%，且 为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额 【学而思高中数学讲义】 【例 41】求函数 2 23 2 xx y 的单调区间 【例 42】已知函数|22| x y ， 作出函数的图象； 根据图象指出函数的单调区间； 根据图象指出当x取什么值时，函数有最值 【例 43】方程22 x x的解的个数为 【例 44】已知函数 | | 1 2 2 x x f x ， 若( )2f x ，求x的值； 若 220 t ftmf t对于1 2t，恒成立，求实数m的取值范围 【例

10、 45】函数 2 lg 34yxx的定义域为 M， 当 xM 时， 求 4 2234 x f x 的 最值. 【学而思高中数学讲义】 【例 46】设 a 是实数， 2 21 x f xa (xR) (1)试证明对于任意 af x为增函数； (2)试确定 a 值，使 f(x)为奇函数. 【例 47】因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或 者 是 多 个 函 数 的 复 合 后 得 到 的 ， 比 如 下 列 函 数 ： 2 2xf xg xxh xx， 则 f xg x，复 合 后 可 得 到 函 数 22 xx gf xg 和 2 x fg xfx ，像这样，一个函数

11、的函数值 作为另一个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由 f xg x，进行乘法运算得到函数 2 x f x g xx所以我们在研究较复杂 的函数时， 常常设法把复杂的函数进行逆向操作， 把其拆分转化为简单的函数， 借助简单函数的性质进行研究 复合函数 f h g x 的解析式为；其定义域 为 可判断 2xf x g xx是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是 否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例； 已知函数 2 x f xx ，若121f xfx，则x的取值范围 为 请用函数 2 2ln x f xg xxh xxk xx，中的两个进行复合，得 到三个函数，

12、 使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数 【学而思高中数学讲义】 【例 48】已知函数 2 ( )() 1 xx a f xaa a ，其中0a ，1a 判断函数( )f x的奇偶性； 判断函数( )f x的单调性，并证明 【例 49】已知 2 ( )()(0,1) 2 xx a f xaaaa a 是R上的增函数， 求a的取值范围 【例 50】已知函数 x f xb a (其中 a， b 为常量， 且 a0， a1)的图象经过点 A(1,6)， B(3,24). (1)求 f x； (2)若不等式 11 23 xx m 在1x ，时恒成立，求实数m的取值范围. 【例 5

13、1】已知 11 ( ) 212 x f xx 求证：( )0f x ； 若( )()()F xf xtf xt（t为常数） ，判断( )F x的奇偶性 【学而思高中数学讲义】 【例 52】用min abc， ，表 示a，b，c三 个 数 中 的 最 小 值 ， 设 ( )min 2210 x f xxx，(0)x，则( )f x的最大值为（） A4B5C6D7 【例 53】已知函数 x f xa满足条件：当,0 x 时， 1f x ；当0,1x时， 不等式， 2 3112fmxfmxxf m恒成立，求实数m的取值范围 【例 54】如果函数 2 ( )(31) xx f xaaa(0,1)aa且

14、仔区间0, 上是增函数， 那么实数a的取值范围是（） A 2 0, 3 B 3 , 1 3 C1,3 D 2 , 3 【例 55】若关于 x 的方程 11 254 50 xx m 有实根，求 m 的取值范围 【学而思高中数学讲义】 【例 56】已知 11 235723511 xyzxyz ，求 11 235 xyz 的取值范围。 【例 57】已知 x x a f x aa 其中01aa，。 （1）求证：函数 f x的图像关于点 11 22 ，中心对称 （2）求 1239 10101010 ffff 【例 58】已知函数 2xf x ， 1 2 2 x g x (1)求函数 g x的值域； (2)求满足方程 0f xg x的x的值.