（ 高中数学讲义）直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(2).学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 1椭圆的定义：平面内与两个定点 12 FF，的距离之和等于常数（大于 12 |FF） 的点的轨迹（或集合）叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 2椭圆的标准方程： 22 22 1(0) xy ab ab ，焦点是 1( 0)Fc ， 2( 0)F c，且 222 cab 22 22 1(0) yx ab ab ，焦点是 1(0 )Fc， 2(0 )Fc，且 222 cab 3椭圆的几何性质（用标准方程 22 22 1(0) xy ab ab 研究） ： 范围：axa ，byb ； 对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中

2、 心又叫做椭圆的中心； 椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的 1212 AABB， ， ，； 长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴， 如图中线段的 12 A A；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段 12 B B 椭圆的离心率： c e a ，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭 圆越扁； 反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆 4直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0f xy ，的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说， 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来 说，平行于渐近线的

3、直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位 板块一.直线与椭圆(2) 【学而思高中数学讲义】 置关系的判定条件可归纳为： 设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0f xy ，由 0 ()0 AxByC f xy ， 消去y（或消去x）得： 2 0axbxc 若0a ， 2 4bac ，0 相交；0 相离；0 相切 若0a ，得到一个一次方程：C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行； C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行 因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的 必要条件，但不是充分条件 5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲

4、线的方程联立，求出两交点的坐 标，然后运用两点间的距离公式来求； 另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分 别为 1122 () ()xyxy，则弦长公式为 2 2 1212 1 |11ABkxxyy k 两根差公式： 如果 12 xx，满足一元二次方程： 2 0axbxc， 则 2 2 2 121212 4 ()44 bcbac xxxxx x aaaa （0 ） 6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 从方程的观点出发， 利用根与系数的关系来进行讨论， 这是用代数方法来解 决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在 适当时利用图形的平面几何

5、性质 以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题 典例分析 【例 1】设椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab 过点 21M，且左焦点为 1 20F ， 求椭圆C的方程； 当过点41P，的动直线l与椭圆C相交与两不同点AB，时， 在线段AB上取点 Q，满足APQBAQPB ，证明：点Q总在某定直线上 【例 2】已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴 为半径的圆与直线60 xy相切 【学而思高中数学讲义】 求椭圆C的方程； 设(4, 0)P，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交 椭

6、圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q； 在的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求OM ON 的取值范 围 【例 3】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最 大值为3，最小值为1 求椭圆C的标准方程； 若直线: l ykxm与椭圆C相交于A，B两点 （A B，不是左右顶点） ， 且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 【例 4】在直角坐标系xOy中， 点M到点 1 3 , 0F ， 2 3 , 0F的距离之和是4， 点M 的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线: l ykxb与轨迹C交 于不同的两点

7、P和Q 求轨迹C的方程； 当0AP AQ 时，求k与b的关系，并证明直线l过定点 【例 5】在直角坐标系xOy中， 点M到点 1 3 , 0F ， 2 3 , 0F的距离之和是4， 点M 的轨迹是C，直线:2l ykx与轨迹C交于不同的两点P和Q 求轨迹C的方程； 是否存在常数k，0OP OQ ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 【例 6】 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个顶点与抛物线 2 :4 3C xy的焦点重合， 12 FF，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 1 2 e ，且过椭圆右焦点 2 F的直线l与 椭圆C交于MN、两点 求椭圆C的方程； 是否存在

8、直线l，使得2OM ON 若存在，求出直线l的方程；若不存在， 说明理由 若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证： 2 | | AB MN 为定值 【学而思高中数学讲义】 【例 7】已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 短轴两个端点为A、 B，且四边形 12 F AF B是边长为2的正方形 求椭圆的方程； 若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连结CM，交 椭圆于点P 证明：OM OP 为定值 在的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆 恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由 【例 8】已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的 直线交椭圆于A、B两点，OAOB 与(31)a ，共线 求椭圆的离心率； 设M为椭圆上任意一点， 且 ()OMOAOB R ， 证明 22 为定值 【例 9】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，经过点P ( 2,1)且离心率 2 e 2 过 定点( 10)C ，的直线与椭圆相交于A，B两点 求椭圆的方程； 在x轴上是否存在点M，使MA MB 为常数？若存在，求出点M的坐标；若不 存在，请说明理由