（ 高中数学讲义）圆.板块五.圆的规划问题.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】如果实数x、y满足 22 (2)3xy，则 y x 的最大值为（） A 1 2 B 3 3 C 3 2 D3 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】等式 22 (2)3xy有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为 (20)，半径3r ， （如图） ，而 0 0 yx xx 则表示圆上的点()xy，与坐标原点 (00)，的连线的斜率如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以 (20)，为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图可 见，当A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单

2、计算，得最大 值为tan603 【答案】D； 【例 2】若 集 合 3cos ()(0) 3sin x Mxy y ， 集 合()|Nxyyxb，且 MN，则b的取值范围为_ 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 22 ()|901Mxyxyy，显然，M表示以(00)，为圆心，以 3 为半 径的圆在x轴上方的部分， （如图） ，而N则表示一条直线，其斜率1k ，纵截 板块五.圆的规划问题 【学而思高中数学讲义】 距为b，由图形易知，欲使MN，即是使直线yxb与半圆有公共点， 显然b的最小逼近值为3，最大值为3 2，即33 2b 【答案】33 2b 【例 3

3、】试求圆 2cos , 2sin x y （为参数）上的点到点(3, 4)A距离的最大（小）值 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】分析 利用两点间距离公式求解或数形结合求解 解法一 设P是圆 2cos , 2sin x y 上任一点，则(2cos, 2sin )P所以 22 (32cos )(42sin )PA25412cos16sin 3 2920sin()(arctan) 4 因为R，所以R，因此 当sin()1 时，29207PA 最大值 当sin()1时，29203PA 最小值 解法二 将圆 2cos , 2sin x y 代入普通方程得 22

4、4xy 如图所示可得， 1 PA、 2 P A分别是圆上的点到(3, 4)A的距离的最小值和最大值 易知： 1 3PA ， 2 7P A 说明 在圆的参数方程 cos , sin xar ybr （为参数）中，( , )A a b为圆心，(0)r r 为半径，参数的 几何意义是：圆的半径从x轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P所得圆心角的大 【学而思高中数学讲义】 小若原点为圆心，常常用( cos, sin )rr来表示半径为r的圆上的任一点 圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具 【答案】最大值为7，最小值为4 【例 4】已知( 2, 0)A ，(2, 0)B， 点P在圆 22 (3)(

5、4)4xy上运动， 则 22 PAPB的 最小值是 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设( , )P x y，则 22 2222 (2)(2)PAPBxyxy 2 22 2()828xyOP设圆心为(3,4)C，则 min 523OPOCr， 22 PAPB的最小值为 2 23826 【答案】26 【例 5】已知圆 22 : (2)1Cxy，( ,)P x y为圆上任一点，求 2 1 y x 的最大、最小值， 求2xy的最大、最小值 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一 由 22 (2)1xy知，可设P的坐标为

6、( 2cos , sin ) ，是参数 则 2sin2 1cos3 y x ，令 sin2 cos3 t ， 得sincos23tt， 2 1sin()23tt 2 23 sin()1 1 t t 3333 44 t 所以 max 33 4 t ， min 33 4 t 即 2 1 y x 的最大值为 33 4 ，最小值为 33 4 此时22cos2sin25cos()xy 所以2xy的最大值为25 ，最小值为25 方法二 2 1 y x 表示点( ,)P x y与点(1, 2)连线的斜率，其中P点为圆上的动点， 【学而思高中数学讲义】 结合图象知，要求斜率的最值，只须求出过(1, 2)点的圆

7、的切线的斜率即可， 设过(1, 2)点的直线方程为：20kxyk 由 2 22 1 1 kk d k ，得 33 4 k ， 所以 2 1 y x 的最大值为 33 4 ，最小值为 33 4 令2xym，同理两条切线在x轴上的截距分别是2xy的最大、最小值 由 2 1 5 m d ，得25m 所以2xy的最大值为25 ，最小值为25 【答案】最大值为25 ，最小值为25 【例 6】求函数 sin1 2cos4 x y x 的值域 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 sin11sin1 2cos42cos2 xx y xx ，于是 sin1 2 cos2

8、x y x ， 其几何意义为单位圆上的任一点(cos , sin )xx与点( 2, 1)的连线的斜率 结合图象知：过点( 2, 1)与单位圆相切的直线的斜率为 1 0k ， 2 4 3 k ， 连线的斜率的取值范围为 4 , 0 3 ，从而此函数的值域为 2 , 0 3 【答案】 2 , 0 3 【例 7】设|1a ，,a bR，求 222 ()( 125)abab的最小值 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】分析式子的几何意义，它表示两点 2 ( ,1)aa与( , 25)bb 的距离的平方， 前者在半圆 22 1(0)xyy上，后者在直线25yx上，

9、 【学而思高中数学讲义】 结合简图知：半圆上的点到该直线的距离的最小值为 |5| 151 41 ， 从而所求的最小值为 2 ( 51)62 5 【答案】62 5 【例 8】实数, x y满足 22 1xy，求 2 2 xy u xy 的最大值与最小值 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一 变形得：(1)(1)2(1)0(2)u xu yuyx，此方程表示一条直线 又,x y满足 22 1xy，故直线与圆 22 1xy有公共点 故 22 |2(1)| 1 (1)(1) u uu ，解得2323ucosx 由于直线2yx与圆 22 1xy无公共点，因此，

10、2323u为所求 即 2 2 xy u xy 的最大值为23，最小值为23 方法二 设，siny， 则 2sin2 2cossin24 2cossin2 2cos2 4 xy u xy sin2 4 cos2 4 ， 几 何 意 义 为 单 位 圆 22 1xy上 的 点 cossin 44 ，与 点 (2,2)连线的斜率， 求过点(2,2)的单位圆切线的斜率： 1 23k ， 2 23k ， 从而 2 2 xy u xy 的最大值为23，最小值为23 由此式得 2 cossin221cos 444 uuu ， 从而 2 |22 | 1 1 u u ，解得2323u， 因此 2 2 xy u

11、xy 的最大值为23，最小值为23 【答案】最大值为23，最小值为23 【例 9】已知圆 22 (3)(4)1Cxy：，( ,)P x y为圆C上的动点，求 22 dxy的最大、 最小值 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【学而思高中数学讲义】 【关键字】无 【解析】方法一 由圆的标准方程 22 (3)(4)1xy 可设点P的坐标为(3cos , 4sin )（是参数） 则 2222 96coscos168sinsindxy 266cos8sin2610cos()（其中 4 tan 3 ） 所以 max 261036d， min 261016d 方法二d是圆上点到原点距离的平

12、方， 要求d的最值，即求圆上距离原点距离最远和最近的点 结合图象知：距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，距离的最小值等于 圆心到原点的距离减去半径1 所以 222 max ( 341)36d， 222 min ( 341)16d 【答案】最大值为36，最小值为16 【例 10】若220 xy，求函数 22 24uxyxy的最小值 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 2222 24(1)(2)5uxyxyxy， 先求点(1,2)与直线220 xy的距离为 1427 5 514 d ， 2 min 4924 55 55 ud 【答案】 24 5 【例

13、 11】设点( ,)P x y是圆 22 1xy是任一点，求 2 1 y u x 的取值范围 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一 设(cos,sin )P，则有cosx，siny，0, 2) sin2 cos1 u ，cossin2uu cossin(2)uu 【学而思高中数学讲义】 即 2 1sin()2uu（tanu） 2 (2) sin() 1 u u 又sin()1 2 2 1 1 u u 解之得： 3 4 u 方法二 根据几何意义求解 2 1 y u x 的几何意义是过圆 22 1xy上一动点和定点( 1, 2)的连线的斜率， 利用此直线

14、与圆 22 1xy有公共点，可确定出u的取值范围 由 2 1 y u x 得：2(1)yu x，此直线与圆 22 1xy有公共点， 故点(0, 0)到直线的距离1d 2 2 1 1 u u ，解得： 3 4 u 另外，直线2(1)yu x与圆 22 1xy的公共点还可以这样来处理： 由 22 2(1) 1 yu x xy 消去y后得： 2222 (1)(24 )(43)0uxuu xuu， 此方程有实根，故 2222 (24 )4(1)(43)0uuuuu ，解之得： 3 4 u 【答案】 3 4 u 【例 12】已知对于圆 22 (1)1xy上任一点( ,)P x y，不等式0 xym恒成立

15、， 求实数m的取值范围 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 方法一 0 xym右上方面的点满足：0 xym， 结合图象知， 要圆上的任一点的坐标都满足0 xym， 只需直线在如图所示的切线的左下方， 图中切线的纵截距21m ， 故只需21m，即21m即可 【学而思高中数学讲义】 方法二 分析 设圆上一点(cos,1sin )P，问题转化为利用三角函数求范围 解 设圆 22 (1)1xy上任一点(cos,1sin )P，0, 2) cosx，1siny ， 0 xym恒成立，cos1sin0m 恒成立， 即(1cossin )m恒成立 只须m不小于(1co

16、ssin )的最大值 设 (sincos )12sin()1 4 u ， max 21u即21m 【答案】21m 【例 13】实数x、y满足 22 86210 xyxy，求 y x 的取值范围 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一 设 y k x ，方程 22 86210 xyxy可化为 22 (1)(86 )210kxk x， 由0得： 2 621621 122450 66 kkk 方法二 方程 22 86210 xyxy表示圆心为(4, 3)A、半径为4的圆， y x 表示原点O与该圆上的点P连线的斜率 设OP方程为ykx，由点A到OP距离 2

17、43 2 1 k k 得： 2 621621 122450 66 kkk 所求 y x 的取值范围是 621621 66 y x 【答案】 621621 66 y x 【学而思高中数学讲义】 【例 14】已知点( , )P x y在圆 22 (1)1xy上运动 求 1 2 y x 的最大值与最小值； 求2xy的最大值与最小值 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 设 1 2 y k x ， 则k表示点( , )P x y与点(2,1)连线的斜率 当该直线与圆相切时， k取得最大值 与最小值 由 2 2 1 1 k k ， 解得 3 3 k ， 1 2 y

18、x 的最大值为 3 3 ， 最小值为 3 3 设2xym，则m表示直线2xym在y轴上的截距 当该直线与圆相切 时，m取得最 大值与最小值由 1 1 5 m ，解得15m ，2xy的最大值为15，最小 值为15 【答案】 1 2 y x 的最大值为 3 3 ，最小值为 3 3 2xy的最大值为15，最小值为15 【例 15】若集合 3cos ( ,), 0 3sin x Mx y y ，集合( ,)|0Nx yxyb， 且MN ，则b的取值范围是 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】M是一个圆心在原点，半径为3的半圆（不包括端点） ，N代表斜率为1，截距

19、为b的直线原问题对应的几何问题为：若直线与圆有交点，则直线的截距范 围是多少? 如图，容易得到,P Q是截距的极限位置，经过计算求出( 3, 0)P ，(3 2, 0)Q 于是b的取值范围是33 2b 【学而思高中数学讲义】 【答案】33 2b 【例 16】 2 3 41 4 xxxa 的解集为 4, 0，求a的取值范围 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】函数 2 4yxx可化为 22 (2)4xy，所以 2 4yxx表示圆心为 ( 2, 0)C ，半径为2的圆在x轴上方的部分，于是40 x 3 1 4 yxa 表示斜率为 3 4 ，截距为1a的直线 如

20、图，l为极限位置，此时14a，所以a的取值需要满足为14a，解之得 a的取值范围是3a 【答案】3a- 【例 17】求函数 2 32yxxx的值域 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】解法 1 2 ( )32f xxxx的定义域为(,12,)配方，有 2 31 ( ) 24 f xxx ，设 3 2 tx，即 3 ( ) 2 xg tt ，有 3 (,12,) 2 t ，即 11 , 22 t 于是 2 31 ( )( ( ) 24 f xf g ttt 当 1 , 2 t 时，( ( )f g t为增函数，所以 1 ( ), 2 f xfg 2,) ；

21、当 1 , 2 t 时， 【学而思高中数学讲义】 22 2 2 11 44 313 ( )( ( ) 2421 4 tttt f xf g ttt tt 2 1 3 4 21 4 tt ， 为减函数，所以 13 ( ), 22 f xfg 3 1, 2 综上，( )f x的值域为 3 1,2, 2 解法 2 同解法 1， 将函数( )f x化为 2 31 ( )( ( ) 24 f xf g ttt 以原点为圆心， 1 2 为半径作圆，设( , 0)P t在x轴上运动，则 1 2 t时，如图中A位置，过A作圆的切线，切点为C，显然 OAt， 2 1 4 ACt，分析AOC，当A位于 1 , 0

22、 2 时 OAAC最小，为 1 2 ，于是 2 31 24 tt2,) ； 1 2 t时，如图中B位置，过B作圆的切线，切点为D，显然 OAt ， 2 1 4 BDt，分析DOB，有 1 0 2 BDOB（当 B位于 1 , 0 2 时，BDOB最大，为 1 2 ，于是 2 31 24 tt 3 1, 2 ； 综上，( )f x的值域为 3 1,2,) 2 解 法3 2 ( )32f xxxx的 定 义 域 为(, 12,) 设 2 32yxxx， 则 可 以:fxy涉 及 的 实 数 对( ,)x y转 化 为 满 足 22 ()32yxxx yx 的解( ,)x y，由 22 ()32yx

23、xx yx 得 2 2 23 y x y yx 由x的 范围(, 12,) ，可以求得( )f x的值域为 3 1,2,) 2 解法 4 2 32yxxx的定义域为1x或2x 【学而思高中数学讲义】 求导，有 2 23 1 232 x y xx 2 2 23223 232 xxx xx 当2x时，0y ，所以原函数为增函数，取值范围为2, ； 当1x时， 222 23223412841290 xxxxxxx，0y， 原函数为减函数，取值范围为 3 1, 2 从而，原函数值域为 3 1,2, 2 解法 5 设 2 1 32yxx， 2 yx ，则 12 yyy 2 1 31 24 yx ， 于是

24、 2 2 1 31 24 xy （ 1 0y ） ， 其几何意义是中心在 3 , 0 2 的双曲线在x轴上方的部分 2 yx 是过原点，斜率为1的一条直线 如图， 1 l为双曲线的一条渐近线，方程为 3 2 yx ， 22 :lyx ，显然 12 ll 当1x时， 12 yyPQ，随着x越来越小，P到 1 l的距离越来越小，于是P到 2 l 的距离越来越大 （ 12 ,ll之间的距离为定值） ， 从而PQ越来越大， 取值范围为 3 1, 2 ； 当2x时，随着x越来越大，PQ也越来越大，取值范围为2, ； 综上，原函数的值域为 3 1,2, 2 【答案】 3 1,2, 2 【例 18】设90X

25、OY，P为XOY内一点，且1OP ，30XOP，过P任意作 一条直线分别交射线OX、OY于点M、N，求OMONMN的最大值 【考点】圆的规划问题 【学而思高中数学讲义】 【难度】5 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 如图 1，作OMN的内切圆，设其半径为r，则2OMONMNr，问题转化为 OMN的内切圆半径的最大值 分析图形可得当P在C上时，OMN内切圆的半径最大，设此时C半径为 0 r， 如图 2 若不然， 设在某情形下C半径大于 0 r， 那么P点将会在C内， 这与C 是OMN的内切圆矛盾（如图 3，圆心C只能在射线l上运动） 显然，此时P点 为切点 设 00 (,)C rr，而c

26、os30 , sin30P，于是 【学而思高中数学讲义】 0 CPr，即 22 2 000 cos30sin30rrr，化简有 2 00 2(sin30cos30 )10rr 2 0 2(sin30cos30 )4(sin30cos30 )4 sin30cos30sin60 2 r 从而题中所求为 4 0 21312r 【答案】 4 0 21312r 【例 19】设90XOY，P为XOY内一点，且1OP ，XOP，过P任意作 一条直线分别交射线OX、OY于点M、N，求： OMONMN的最大值m与的函数关系式； 当在 0, 2 内变化时，求m的取值范围 【考点】圆的规划问题 【难度】6 星 【题

27、型】解答 【关键字】无 【解析】 求得2(sincossin2 )m 2 2sin2 sin2 4 设 2sin 4 s ，sin2t则2()mst 22 1cos 2 2 2sin21sin2 42 s ； 2 sin2t 【学而思高中数学讲义】 于是 22 1st由于 0, 2 ，所以12s ，01t 如图，当2s 时，m取得最小值，此时 4 ，2s ，1t ， 221m ； 当1s 时，m取得最大值，此时0或 2 ，1s ，0t ，2m 【答案】 求得2(sincossin2 )m 2 2sin2 sin2 4 2 , 221 【例 20】已知实数x、y满足 2 2 33xy，则 1 y

28、 x 的最大值是 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 1 y x 可看作是过点P xy，与10M，的直线的斜率，其中点P在圆 2 2 33xy上，当直线处于图中切线位置时，斜率 1 y x 最大，最大值为 tan3 【答案】3 【例 21】不论k为何实数，直线1ykx与曲线 222 2240 xyaxaa恒有交 点，则实数a的取值范围是 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】题设条件等价于点01，在圆内或圆上，或等价于点01，到圆 2 2 24xaya的圆心距离半径，13a 【答案】13a 【学而思高中数学讲义】 【例

29、 22】如果实数x、y满足 22 (2)3xy，则 y x 的最大值为 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 实数x、y满足方程 22 (2)3xy，即点P ( ,)x y的轨迹是圆心为C (2, 0)，半 径为3的圆 此时 0 0 yy k xx ，为连接点(0, 0)O与( ,)P x y直线的斜率 这样，该代数问题可转化为如下几何问题： 圆C的圆心为(2, 0)，半径为3，动点P在圆C上移动，求直线OP的斜率的最 大值 过O作圆C的切线，设 0 P为第一象限的切点，当动点P在 0 P位置时，直线OA的 斜率最大 0 OP k容易在 0 OCP中求出：

30、 222 00 231OPOCCP， 0 0 0 3 3 1 OP CP k OP 于是， y x 的最大值为3 显然，当动点P在 0 P位置时， y x 取最小值为3 【答案】3 【例 23】函数 sin 2cos x y x 的最大值为_，最小值为_ 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 【学而思高中数学讲义】 表示点(cossin )Pxx，与点( 2 0)A ，连线的斜率的取值范围，点P在单位圆上，如 图，过A作单位圆的切线AB、AC 易知 3 3 AB k， 3 3 AC k 为斜率的最大值和最小值，那么y的最大值为 3 3 ，最 小值为 3 3

31、 【答案】最大值为 3 3 ，最小值为 3 3 【例 24】若直线yxm与曲线 2 1yx有两个不同的交点，则实数m的取值范 围是_ 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 yxm表示倾斜角为45， 纵截距为m的直线， 而 2 1yx则表示以(0 0)，为 圆心， 以1为半径的圆在x轴上方的部分 （包括圆与x轴的交点） ， 如图所示， 显然， 欲 使直 线与 半 圆有 两个 不 同交 点， 只 需直 线的 纵 截距12)m， 即 (21m ， 明确方程的几何意义，在同一坐标系中画出相应的几何图形，根据直线系的特点， 由图形研究直线与半圆的位置关系 【答案】(

32、21m ， 【例 25】曲线 2 14yx ( 22)x 与直线(2)4yk x有两个交点时，实数 【学而思高中数学讲义】 k的取值范围是 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 曲线 2 14yx ，即 22 (1)4xy，为如图所示的半圆C； 直线(2)4yk x，表示过定点(2, 4)P的直线系； 要使半圆与直线有两个交点，则:(2)4l yk x只能在 12 ,ll之间移动，设 12 ,ll的 斜率分别为 12 ,kk，则 12 kkk 解得 1 5 12 k ， 2 3 4 k ，从而 53 124 k 【答案】 53 124 k 【例 26】过点

33、(12)，的直线l将圆 22 (2)4xy分成两段弧， 当劣弧所对的圆心角 最小时，直线l的斜率k 【考点】圆的规划问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 由图形可知点(12)A ，在圆 22 (2)4xy的内部，圆心为(2 0)O，要使得劣弧 所对的圆心角最小，即l被圆截得的弦长最短，只能是直线lOA，所以 112 22 l OA k k 对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、 弦长问题， 往往要转化为点到线的 【学而思高中数学讲义】 距离问题来解决 【答案】 2 2 【例 27】一束光线从点1 1A ，发出，经x轴反射到圆 22 231Cxy上， 其最短路程是（）

34、A4B5C3 21D2 6 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】设光线与x轴交于点0B x，依题意0 BCBA kk，即 31 0 21xx ，解得 1 4 x ， 于是最短路程为 981 1914 1616 d 或者求出A关于x轴的对称点11A ，191614dA C 【答案】A 【例 28】若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点，则b的取值范围是 A1 12 2 ，B12 212 2 ， C12 23 ，D123 ， 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】2010 年，湖北高考 【解析】略 【答案】C； 【例 29】在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 4xy上有且仅有四个点到直线 1250 xyc的距离为1，则实数c的取值范围是 【考点】圆的规划问题 【难度】3 星 【题型】填空 【学而思高中数学讲义】 【关键字】2010 年，江苏高考 【解析】略 【答案】13, 13；