（ 高中数学讲义）推理与证明.板块二.直接证明与间接证明.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：综合法 【例 1】若 11 0 ab ,则下列结论不正确的是() 22 ab 2 abb2 ba ab abab 【例 2】如果数列 n a是等差数列，则（） 。 （A） 1845 aaaa（B） 1845 aaaa （C） 1845 aaaa（D） 1845 a aa a 【例 3】在ABC 中若2 sinbaB,则 A 等于() (A) 00 3060或(B) 00 4560或(C) 00 60120或(D) 00 30150或 【例 4】下列四个命题：若 1 0 2 a,则cos 1cos 1aa;若01a,则 1 1a 1a 2a;若 x、yR

2、，满足 2 yx,则 2 log22 xy 的最小值是 7 8 ； 若 a、bR，则 22 1ababab 。其中正确的是（） 。 (A) (B) (C) (D) 【例 5】下面的四个不等式：cabcabcba 222 ； 4 1 1 aa； 2 a b b a ； 2 2222 bdacdcba.其中不成立的有 （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 【例 6】已知, a bR且,0a b ，则在ab ba 2 22 ；2 b a a b ； 板块二.直接证明与 间接证明 【学而思高中数学讲义】 2 ) 2 ( ba ab ； 2 ) 2 ( 22 2 baba 这四个式子中，恒成

3、立的个数是 （） A1 个B2 个C3 个D4 个 【例 7】已知cba,均大于1， 且4loglog c b c a ， 则下列各式中， 一定正确的是 （） Abac Bcab Cabc Dcab 【例 8】已知不等式 1 ()()9, a xy xy 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值 是（） A2B4C6D8 【例 9】、为锐角sina，sinsinb，则 a、b 之间关系为（） AabBbaCabD不确定 【例 10】设 M 是ABC内一点，且内一点，且2 3AB AC ，30BAC，定义，定义()( , , )f Mm n p， 其中 m、n、p 分别是MBC，MC

4、A，MAB的面积， 若 1 ( )( , , ) 2 f Px y， 则 14 xy 的最小值是（） A8B9C16D18 【例 11】若函数32) 1( 2 mxxmy是偶函数，则) 4 3 (f，) 1( 2 aaf（aR） 的大小关系是) 4 3 (f) 1( 2 aaf. 【例 12】设 cba cbacba 111 , 1, 0, 0, 0则若 【例 13】函数 yf x在（0，2）上是增函数，函数2yf x是偶函数，则 1f,2.5f,3.5f的大小关系是. 【例【例 14】已知5, 2ba ，向量ba 与 的 夹角为 0 120，则aba )2(= 【学而思高中数学讲义】 【例

5、15】定义运算 () () aab a b bab ，例如，1 21，则函数 2 ( )(1)f xxx的最大 值为_ 【例 16】若cba， * Nn， 且 ca n cbba 11 恒成立， 则n的最大值是。 【例 17】已知集合 M 是满足下列条件的函数 f（x）的全体： 当), 0 x时，函数值为非负实数； 对于任意的,0,)s t，都有( )( )()f sf tf st 在三个函数) 1ln()(, 12)(,)( 321 xxfxfxxf x 中，属于集合 M 的 是。 【例 18】给出下列四个命题： 若0ab，则 11 ab ； 若0ab，则 11 ab ab ； 若0ab，则

6、 2 2 aba abb ； 若0a ，0b ，且21ab，则 21 ab 的最小值为 9. 其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上） 【例 19】如图，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如 ABCD 是正方形、菱形等）时， 有 A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情 形） 图 【学而思高中数学讲义】 【例 20】用一根长为 12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使 这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为. 【例 21】若0a b c ，

7、，求证：()()()abcabc bca acb 【例 22】若a b c R， ，求证： 3 () a b c abb a b cabc 【例 23】已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证 3 c cba b bca a acb 【例 24】证明：已知：0, 0ba，求证：ba a b b a 【例 25】已知(0,), 2 求 2 sincosy的最大值。 【例 26】设0, 10 2 yxa，求证： 8 1 loglog 2)( a aa a yx 【例 27】某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买x吨，运费为 4 万元/次，一年 的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总

8、存储费用之和最小，则x 吨 【例 28】在锐角三角形ABC中,求证:CBACBAcoscoscossinsinsin 题型二：分析法 【例 29】设mn， 43 xmm n， 34 yn mn，则 x 与 y 的大小关系为（） 。 （A）xy；（B）xy；（C）xy；（D）xy 【学而思高中数学讲义】 【例 30】已知1,1,1cacc bcc ，则正确的结论是（） 。 (A)ab(B)ab(C)ab(D)a、b 大小不定 【例 31】设 a、b、m 都是正整数，且 ab，则下列不等式中恒不成立的是（） 。 (A)1 aam bbm (B) aam bbm (D)1 aam bbm (D)1

9、bmb ama 【例 32】已知 f xyf xfy，且 12f，则 12fff n不能等于 （） 。 (A)f（1）+2f（1）+nf（1）(B) (1) 2 n n f (C)n（n+1）(D)n（n+1）f（1） 【例 33】75226与的大小关系是_. 【例 34】在十进制中 0123 20044 100 100 102 10 ，那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为。 【例 35】设26, 37,2RQP，那么 P, Q, R 的大小顺序 是。 【例 36】有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌 手，甲说： “是乙或丙获奖。 ”乙说： “甲、丙

10、都未获奖。 ”丙说： “我获奖了。 ” 丁说： “是乙获奖。 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 【例 37】若a b c， ，是ABC的三边长，求证： 444222222 2()abca bb cc a 【例 38】ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列， 【学而思高中数学讲义】 求证： cbacbba 311 。 【例 39】用分析法证明：若 a0，则2 1 2 1 2 2 a a a a。 【例 40】设acbxaxxf) 0()( 2 若函数) 1( xf与)(xf的图象关于轴对称，求 证) 2 1 ( xf为偶函数。 【例 41】自然状态下鱼类是一种可再生资源， 为持续

11、利用这一资源， 需从宏观上考察其 再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用 n x表示某鱼群在第n年年初的总 量， Nn，且 1 x0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量 都与 n x成正比，死亡量与 2 n x成正比，这些比例系数依次为正常数cba,. （）求 1n x与 n x的关系式； （）猜测：当且仅当 1 x，cba,满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持 不变？（不要求证明） 【例 42】设函数)(sin)(Rxxxxf. （1）证明：Zkxkxfkxf,sin2)()2(； （2）设 0 x为)(xf的一个极值点，证明 2 0 4 02 0 1 )( x x xf .

12、 【例 43】已知二次函数 cbxaxxf 2 , （1）若cba且 01 f,证明: xf的图像与 x 轴有两个相异交点; （2） 证明: 若对 1 x, 2 x, 且 12 xx， 21 xfxf,则方程 2 21 xfxf xf 【学而思高中数学讲义】 必有一实根在区间 ( 1 x, 2 x) 内; （3）在(1)的条件下,是否存在Rm,使 amf成立时,3mf为正数. 题型三：反证法 【例 44】下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x358915 xlgba 2ca ca333ba24 13cba 请将错误的一个改正为lg= 【例 45】用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一

13、个不大于 60 度”时，反设正确 的是（） (A) 假设三内角都不大于 60；(B) 假设三内角都大于 60； (C) 假设三内角至多有一个大于 60；(D) 假设三内角至多有两个大于 60。 【例 46】已知 33 qp 2，关于 pq 的取值范围的说法正确的是（） （A）一定不大于 2（B）一定不大于22 （C）一定不小于22（D）一定不小于 2 【例 47】否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() （A）有一个解（B）有两个解（C）至少有三个解（D）至少有两个解 【例 48】设, ,a b c大于 0，则 3 个数： 1 a b ， 1 b c ， 1 c a 的值 () （A）都

14、大于 2（B）至少有一个不大于 2 （C）都小于 2（D）至少有一个不小于 2 【例 49】已知l，a、b，若 a、b 为异面直线，则 () （A） a、b 都与 l 相交（B） a、b 中至少一条与 l 相交 （C） a、b 中至多有一条与 l 相交（D） a、b 都与 l 相交 【例 50】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时,反设正确的 是（） A、假设三内角都不大于 60 度；B、 假设三内角都大于 60 度； 【学而思高中数学讲义】 C、假设三内角至多有一个大于 60 度；D、 假设三内角至多有两个大于 60 度。 【例 51】命题“关于 x 的方程)0(0a

15、ax的解是唯一的”的结论的否定是 （） A、无解B、两解C、至少两解D、无解或至少两解 【例 52】用反证法证明命题“如果,ab那么 33 ab”时，假设的内容应为 _. 【例 53】用反证法证明“ 2 ( )f xxpxq，求证：(1) ,(2) ,(3)fff中至少有一个 不小于 1 2 ”时的假设为 【例 54】用反证法证明“若ba 0，则 ba ba 2 1 2 1 ”时的假设为 【例 55】用反证法证明命题“abNba, 可以被 5 整除，那么ba,中至少有一个能被 5 整 除。 ”那么假设的内容是 【例【例 56】证明：5, 3,2不能为同一等差数列的三项. 【例 57】对于直线

16、l：y=kx+1，是否存在这样的实数 k，使得 l 与双曲线 C：3x 2 y 2 =1 的交点 A、B 关于直线 y=ax（a 为常数）对称？若存在，求出 k 的值；若不存 在，请说明理由。 【例 58】已知 33 2a babR，=，求证：2ab 【例 59】若cba,均为实数，且 6 2, 3 2, 2 2 222 xzczybyxa。 求证：cba,中至少有一个大于 0。 【例 60】求证：形如43n 的正整数不能写成两个整数的平方和 【学而思高中数学讲义】 【例 61】若0 1 a、1 1 a， n n n a a a 1 2 1 ),(，21n (1)求证： nn aa 1 ； (

17、2)令 2 1 1 a，写出 2 a、 3 a、 4 a、 5 a的值，观察并归纳出这个数列的通 项公式 n a； (3)证明： 存在不等于零的常数 p， 使 n n a pa 是等比数列， 并求出公比 q 的值. 【例 62】设0a ，函数 3 ( )f xxax在), 1 上是单调函数. （1）求实数a的取值范围； （2）设 0 x1，)(xf1，且 00) (xxff，求证： 00) (xxf. 【例 63】设集合W由满足下列两个条件的数列 n a构成： 2 1 2 nn n aa a ； 存在实数M，使 n aM （n为正整数） 在只有5项的有限数列 n a， n b中， 其中 123

18、45 1 ,2 ,3,4 ,5aaaaa； 12345 1 ,4 ,5 ,4 ,1bbbbb； 试判断数列 , nn ab是否为集合W的元素； 设 n c是各项为正的等比数列， n S是其前n项和， 3 1 4 c ， 3 7 4 S ， 证明数列 n SW；并写出M的取值范围； 设数列, n dW且对满足条件的M的最小值 0 M，都有 * nn dMnN 求证：数列 n d单调递增 【例 64】设( )f x是定义在 1 , 0上的函数，若存在 * x) 1 , 0(，使得( )f x在, 0 * x上单 【学而思高中数学讲义】 调递增，在 1 , * x上单调递减，则称( )f x为 1

19、, 0上的单峰函数， * x为峰点， 包含峰点的区间为含峰区间.对任意的 1 , 0上的单峰函数( )f x，下面研究 缩短其含峰区间长度的方法. （1）证明：对任意的 21,x x) 1 , 0(， 21 xx ，若)()( 21 xfxf，则), 0( 2 x为含峰 区间；若)()( 21 xfxf，则) 1 ,( 1 x为含峰区间； （2）对给定的)5 . 00( rr，证明：存在 21,x x) 1 , 0(，满足rxx2 12 ，使得 由（1）所确定的含峰区间的长度不大于r5 . 0； （3）选取 21,x x) 1 , 0(， 21 xx ，由（1）可确定含峰区间), 0( 2 x

20、或) 1 ,( 1 x，在所 得的含峰区间内选取 3 x，由 3 x与 1 x或 3 x与 2 x类似地可确定一个新的含峰区间.在第 一次确定的含峰区间为), 0( 2 x的情况下，试确定 21,x x， 3 x的值，满足两两之差的 绝对值不小于 0.02,且使新的含峰区间的长度缩短到 0.34. （区间长度等于区间的右端 点与左端点之差） 【例 65】已知数列 n a满足： 1 1 2 a ， 1 1 3(1)2(1) 11 nn nn aa aa ， 1 0 nn a a ；数列 n b满足： 22 1 1() nnn baan 求数列 n a， n b的通项公式； 证明：数列 n b中的任意三项不可能成等差数列