（ 高中数学讲义）空间几何体.板块二.截面与距离问题.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 棱锥、棱台的中截面与轴截面 【例 1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，求k的取值范围 【例 2】 正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平 行于底面的截面）的面积？ 【例 3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高 【例 4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a，b，c，则它的高和斜高分 别为 【例 5】 已知正三棱锥SABC的高SOh，斜高SMl， 求经过SO的中点且平行于底面 的截面 111 ABC的面积 ? M ? O ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C

2、 ? B ? A ? S 【例 6】 如图所示的正四棱锥VABCD，它的高3VO ，侧棱长为7， 求侧面上的斜高与底面面积 O是高VO的中点，求过O点且与底面平行的截面（即中截面）的面积 板块二.截面与距离问题 【学而思高中数学讲义】 ? H ? O ? O ? D ? C ? B ? A ? V 【例 7】 如图，已知棱锥VABC的底面积是 2 64cm，平行于底面的截面面积是 2 4cm，棱锥 顶点V在截面和底面上的射影分别是 1 O、O，过 1 OO的三等分点作平行于底面的截 面，求各截面的面积 ? O ? O ? 3 ? O ? 2 ? O ? 1 ? V ? C ? B ? A 圆锥

3、、圆台的中截面与轴截面 【例 8】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1 4，母线长10，求 圆锥的母线长 【例 9】 一圆锥轴截面顶角为120，母线长为1，求轴截面的面积 【例 10】圆台的母线长为2a， 母线和轴的夹角为30， 一个底面半径是另一个底面半径 的2倍，求圆台的高与上下两底面面积之和 【例 11】圆台两底半径分别是2和5，母线长是3 10，求它的轴截面的面积； 【例 12】圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面半径是另一个 底面半径的2倍，则两底面半径为 【学而思高中数学讲义】 ? C ? B ? A ? O ? B ? 1 ? A ? 1 ? O

4、 ? 1 【例 13】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍， 轴截面的面积等于 2 392cm， 母线与底面的夹角是45，求这个圆台的母线长 【例 14】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是 1 4，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长 【例 15】圆台母线长为2a， 母线与轴的夹角为30， 一个底面的半径是另一个底面半径 的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和 【例 16】圆锥轴截面顶角为120，母线长为1求轴截面的面积；过顶点的圆锥的 截面中，最大截面的面积 球的截面 【例 17】在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49和400求 球的半径

5、【例 18】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12和16， 求这两个截面间 的距离 【例 19】（2008 四川卷） 设,M N是球心O的半径OP上的两点， 且NPMNOM， 分别过,N M O作垂直 于OP的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（） A3:5:6B3:6:8C5:7:9D5:8:9 【例 20】球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点， 其中18AB ，24BC 、30AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半， 求球的半径 【例 21】（2008 全国）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两 【学而思高中数学讲义】 个圆若两圆

6、的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A1B2C3D2 组合体的截面分析 【例 22】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱， 求它们的 高的比值和母线长的比值 【例 23】（2007 湖南理 8） 棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D的8个顶点都在球O的表 面上，EF，分别是棱 1 AA， 1 DD的中点， 则直线EF被球O截得的线段长为 （） A 2 2 B1C 2 1 2 D2 【例 24】（2008 年江西卷 10）连结球面上两点的线段称为球的弦半径为 4 的球的两 条弦AB、CD的长度分别等于2 7、4 3，M、N分别为AB、CD的中点，每 条弦的两端

7、都在球面上运动，有下列四个命题： 弦AB、CD可能相交于点M弦AB、CD可能相交于点N MN的最大值为 5MN的最小值为 1 其中真命题的个数为（） A1 个B2 个C3 个D4 个 多面体与简单旋转体的表面最短距离问题 【例 25】如图正方体 1111 ABCDABC D，其棱长为1，,P Q分别为线段 1 AA， 11 C D上的两 点，且 11 APC Q求在正方体侧面上从P到Q的最短距离 【例 26】已知如图， 正三棱柱ABCDEF的底面边长为 1， 高为 8， 一质点自A点出发， 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D点的最短路线的长为_ 【学而思高中数学讲义】 F E D C B A 【例

8、 27】如图所示， 正三棱锥SABC的侧棱长为1，45ASB ，M和N分别为棱SB 和SC上的点，求AMN的周长的最小值 【例 28】如图，长方体 1111 ABCDABC D中，aAB ，bBC ，cBB 1 ，并且 0cba求沿着长方体的表面自A到 1 C的最短线路的长 ? c ? b ? a ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 29】如图所示， 设正三棱锥VABC的底面边长为a， 侧棱长为2a，AVB 过 A作与侧棱,VB VC相交的截面AEF，求截面周长的最小值 ? F ? E ? C ? B ? A ? V 【例 30

9、】如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB ，从AB中点M拉一 绳子绕圆台侧面转到A点（A在下底面） 求绳子的最短长度； 求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离 【学而思高中数学讲义】 ? r ? B ? A ? M 【例 31】已知以A为顶点的正四面体ABCD，其棱长为1，,P Q分别为,AB CD上的 两点，且APCQ求在正四面体侧面上从P到Q的最短距离 ? P ? Q ? C ? B ? D ? A 【例 32】（2005 江西，理 15）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABBC， 1 2BB ，90ABC，E、F分别为 1 AA、 11 C B的中点，沿棱柱

10、的表面从E到F 两点的最短路径的长度为 ? F ? E ? C ? B ? A ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 【例 33】如图所示， 正三棱锥SABC的侧棱长为1，40ASB ，M和N分别为棱SB 和SC上的点，求AMN的周长的最小值 球面距离 【例 34】（2008 辽宁）在体积为4 3的球的表面上有ABC， ，三点，1AB ， 2BC ，A，C两点的球面距离为 3 3 ， 则球心到平面ABC的距离为 【学而思高中数学讲义】 【例 35】（06 四川卷理 10） 已知球O的半径是 1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的 球面距离都是 4 ，B、C两点的球面距

11、离是 3 ，则二面角BOAC的大小是 （） A 4 B 3 C 2 D 2 3 【例 36】A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为 2 R，求过A、 B的平面中，与球心的最大距离是多少？ 【例 37】已知, ,A B C三点在球心为O，半径为R的球面上，且ABACBCR，那 么,A B两点的球面距离为_，球心到平面ABC的距离为_ 【例 38】A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为 2 R，求过A、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？ 【例 39】（2009 陕西）如图球O的半径为2，圆 1 O是一小圆， 1 2OO ，A、B是圆 1 O上两点，若，A B两点间的

12、球面距离为 2 3 ，则 1 AO B= ? O ? 1 ? B ? A ? O 【例 40】（2009 四川卷）如图，在半径为 3 的球面上有A、B、C三点，90ABC ， BABC，球心O到平面ABC的距离是 3 2 2 ，则B、C两点的球面距离是（） A 3 BC 4 3 D2 【例 41】球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1 6 ，经过3个点 的小圆的周长为4，求这个球的半径 【学而思高中数学讲义】 【例 42】（06 浙江）如图，O是半径为1的球心，点, ,A B C在球面上，,OA OB OC两 两垂直，,E F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点,E F在该球

13、面上的球面距离是 （） A 4 B 3 C 2 D 2 4 ? E ? F ? G ? O ? C ? B ? A 【例 43】（2008 安徽） 已知A B CD， ， ，在同一个球面上，AB 平面BCD，BCCD，若6AB ， 2 13AC ，8AD ，则,B C两点间的球面距离是 【例 44】（2009 辽宁卷文） 如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60纬线长和赤道长的比值为（） A0.8B0.75C0.5D0.25 在半径为R的球面上有A，B两点，球心为O，半径OA，OB的夹角是 3 ， 则A，B两点的球面距离为_ 【例 45】在北纬60纬线上有A，B两地，它们分别在东经60与西经

14、120的经线上， 设地球半径为R，求A，B两地的球面距离 【例 46】已知地球的半径为R，球面上,A B两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为 3 R，A点在东经30上，求B点的位置及A，B两点所在的纬线圈上对应的劣弧 的长度 【例 47】从北京A（靠近北纬45、东经120，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都 约翰内斯堡B（南纬30、东经30） ，有两条航空线可供选择： 甲航空线：从北京A沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉C（北纬45、东经30） ， 然后向南飞到目的地B 乙航空线：从北京A沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯D（南纬30、东经120） ， 然后向沿纬线向西飞到目的地B 请问： 哪一条航空

15、线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线， 那么这条航 【学而思高中数学讲义】 线的总长为多少？（地球视为半径R的球） 【例 48】（2008 陕西）长方体 1111 ABCDABC D的各顶点都在球O的球面上，其中 1 :1:1:2AB AD AA A B，两点的球面距离记为m， 1 A D，两点的球面距离记 为n，则 m n 的值为 【例 49】（08 湖南）长方体 1111 ABCDABC D的 8 个顶点在同一个球面上，且 1 231ABADAA，则顶点A B，间的球面距离是（） A 2 4 B 2 2 C2 D22 【例 50】在半径为R的球内， 有一个内接正三棱锥， 它的底面上的三个顶点恰好在同一 个大圆上， 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动， 经过其余三顶点后返回， 则经过的最短路程是_