最值问题100题(教师版).docx
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1、更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher 1.如图 3.1 所示, 在 RtABC 中, A=30, AB=4, 点 D 为边 AB 的中点, 点 P 为边 AC 上的动点, 则 PB+PD 的最小值为() A.3B.2 2A.2 3A.4 5 1.解解 延长 BC 至点 B,使 BCB C,连接 B P、 B A,如图 4.1 所示, AC 垂直平分 BB, B ABA,AC 平分 B AB. 30CAB
2、, 60B AB , ABB为等边三角形. 点 P 为 AC 上一点, PBPB, PBPDPBPDB D, 当且仅当 B、P、D 在同一直线上时,如图 4.2 所示,PBPD取得最小值. 在 Rt ADB中, 1 2 2 ADAB, 60B AB , tan6032 3B DADAD , 故答案是 C. 思路点拨思路点拨: 这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题,利用对称法将动线段构造至动点 P 所在直线的两侧;根据“两 点之间线段最短”找到最小值位置,利用勾股定理进行计算即可. 拓展若点 D 为边 AB 上任意一定点,则依旧可以根据勾股定理和 60特殊角计算 B D的长度;若点 D 是 边
3、 AB 上的一动点,则 B D将变为一条动线段,利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处. 2.如图 3.2 所示,在矩形 ABCD 中,AB=5,AD=3,动点 P 满足 1 3 PABABCD SS= 矩形 ,则点 P 到 AB 两点距离 之和 PA+PB 的最小值为. 2.解解 令点 P 到 AB 的距离为 d. 111 =35=5=5 332 PABABCD SSd 矩形 ,2d , 点 P 为到 AB 距离为 2 的直线 1 l、 2 l上的点. 直线 1 l、 2 l关于 AB 对称,因此选其中一条进行计算. 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:A
4、BC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher 作点 B 关于直线 1 l的对称点 B,连接 B C、 B P、 AB,如图 4.3 所示, PAPBPAPBAB, 当且仅当 A、P、 B三点共线时取得最小值,如图 4.4 所示. 在 Rt ABB中,5AB , 24BBd, 2222 5441ABABBB, 故PAPB的最小值是41. 思路点拨思路点拨: 这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系,可判断点 P 的运动轨迹为直线 (或称为“隐线”) ;利用
5、轴对称的性质,构造对称点 B,再运用线段公理获得不等式;根据勾股定理计算 最值 AB. 3.如图 3.3 所示, 在矩形 ABCD 中, AD=3, 点 E 为边 AB 上一点, AE=1, 平面内动点 P 满足 1 3 PABABCD SS= 矩形 , 则DPEP-的最大值为. 3.解解 令点 P 到 AB 的距离为 d. 1 3 PABABCD SS 矩形 ,2d , 点 P 在到 AB 距离为 2 的直线 1 l、 2 l上,如图 4.5 所示. 作点 E 关于直线 1 l的对称点 E,连接 E D并延长交直线 1 l于点 P,连接 EP,如图 4.6 所示, E PEP. 当点 P 在
6、直线 1 l上时, DPEPDPE PE D,当且仅当 D、 E、P 三点共线时取得最大值 22 112E D . 当点 P 在直线 2 l上时,DPEPED,当且仅当 D、E、P 三点共线时取得最大值,如图 4.7 所示. 在 RtADE 中,3AD ,1AE , 22 3110DE , 10DPEPED, 当点 P 为 DE 的延长线与直线 2 l的交点时有最大值10. 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teac
7、her 思路点拨思路点拨: 解法如题 2,需要找出满足条件的点 P 所在的“隐线”,这里两条直线均要考虑(因为图形不对称).由于两 边之差小于第三边,在共线时取得最大值,故遵循“同侧点直接延长,异侧点需对称后再延长”的规律,分 别计算最大值并进行大小比较. 特别说明 笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”,毕竟 题中叙述点 P 时用的是“平面内”,而非“矩形内”. 4.已知 22 2222yxxxx=-+,则 y 的最小值为. 4.解解 原式 2 222 101101xx . 建立平面直角坐标系,设,0P x,1,1A,1, 1B ,则 AB 在 x
8、轴的两侧, 22 101PAx, 2 2 101PBx , 2 222 101101yxxPAPBAB , 当 A、P、B 三点共线时,y 值最小, min 2 2yAB. 思路点拨思路点拨: 若将式子看作函数,对于初中生来说解题难度较大.若换个角度,将每一个根式都看作是两点间的距离(距 离公式是平面直角坐标系中的勾股定理) ,则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型两点之间线段最 短. 5.已知 22 (3)9(1)4yxx=-+-+,则 y 的最大值为. 5.解解 原式 2222 303102xx. 建立平面直角坐标系,设,0P x,3,3A,1,2B, 22 303PAx, 22 102PB
9、x, 2222 303102yxxPAPBAB, 当 A、P、B 三点共线,即点 P 在 AB 延长线上时 y 值最大, max 5yAB. 思路点拨思路点拨: 阅读题目时需观察清楚“”或“”,切不可盲目下笔.本题与题 4 形式相似,解法相近,但是又有所不同. 将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差;利用三边关系中的两边之差小于第三边,共线时取等 找到最大值. 6如图 3.4 所示,在等腰 RtABC 中,BAC90,ABAC,BC42,点 D 是边 AB 上一动点,连 接 CD,以 AD 为直径的圆交 CD 于点 E,则线段 BE 长度的最小值为 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众
10、号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher 解:连接 AE,取 AC 得中点 F,连接 EF,如图 48 所示 AD 是圆的直径 AED90 AEC90 EF 1 2 AC2 点 E 的轨迹为以点 F 为圆心的圆弧(圆的定义) BEBFEF 当且仅当 B、E、F 三点共线时等号成立,如图 49 所示 在 RtABF 中,AF2,AB4 BF 22 AFAB 22 2425, minBEBFEF252 思路点拨 阅读题目时要找到三条关键信息:点 E
11、为圆周上一点,AD 所对的圆周角是 90,DEC 是平角,连 接 AE 后就找到了定弦定角(或斜边上的中线) ,若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值,则这个角 的顶点的轨迹为圆(根据题目需求判断是否需要考虑两侧) 因此判断出点 E 的轨迹是圆(不是完整的圆, 受限于点 D 的运动范围) 根据三角形的三边关系,知 B、E、F 三点共线时 BE 取得最小值 7如图 3.5 所示,正方形 ABCD 的边长是 4,点 E 是边 AB 上一动点,连接 CE,过点 B 作 BGCE 于点 G,点 P 时边 AB 上另一动点,则 PDPG 的最小值为 解:取 BC 得中点 F,连接 GF,作点 D 关于
12、 AB 的对称点 D,连接 DP、DA,如图 4.10 所示 DPDP BGC90,点 F 为 BC 的中点 GF 1 2 BC2 PDPGPDPGDG 又 DGGFDF PDPGGFDFGF 如图 411 所示,当且仅当 D、P、G、F 四点共线时取得最小值 根据勾股定理得 DF 22 46213 PDPG 的最小值为 2132 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher 思路点拨 不难发现BGC90是个定角
13、,因此点 G 的轨迹为以 BC 为直径的圆(部分) ,可以通过斜边上的中 线构造长度不变的动线段,再利用三边关系求解 8如图 3.6 所示,在矩形 ABCD 中,AB2,AD3,点 E、F 分别为边 AD、DC 上的点,且 EF2,点 G 为 EF 的中点,点 P 为边 BC 上一动点,则 PAPG 的最小值为 解:作点 A 关于 BC 的对称点 A,连接 AB、AP、DG,如图 4.12 所示 PAPA PAPGPAPG ADC90,EF2 DG 1 2 EF1 PAPGDGAD PAPGADDG 如图 413 所示,当且仅当 A、P、G、D 四点共线时等号成立 根据勾股定理得 AD 22
14、AAAD 2 2 2ABAD5 PAPG 的最小值为 4 思路点拨 与题 7 的已知条件是相似的,解法几乎一致,抓住核心条件,线段 EF 始终不变,线段 EF 所对的角 为直角,因此斜边上的中线 DG 始终不变,从而判断出点 G 的轨迹图形为圆利用轴对称的性质将线段和 最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题,再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher 9在平面直角坐标
15、系中,A(3,0),B(a,2),C(0,m),D(n,0),且 m2n24,若点 E 为 CD 的中点, 则 ABBE 的最小值为() A3B4C5D25 解:C(0,m),D(n,0),m2n24, CD24, CD2 在 RtCOD 中,点 E 为 CD 的中点 OE1,即点 E 在以 O 为圆心,1 为半径的圆上 作图 414,连接 OE,过点 A 作直线 y2 的对称点 A,连接 AB、AO A(3,4) ABBEABBEABBEEOEOAOEO 如图 4.15 所示,当且仅当 A、B、E、O 四点共线时等号成立 根据勾股定理得 AO 22 3 45 ABBE 的最小值为 4 思路点
16、拨 根据两点之间的距离公式 m2n2CD2,得到 CD 的长度;由已知条件判断出 OE 为斜边上的中线, OE 1 2 CD(定值) ;根据圆的定义可知点 E 的轨迹是以坐标原点为圆心、 1 2 CD 为半径的圆;利用对称的 性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题 10 如图 3.7 所示, AB3, AC2, 以 BC 为边向上构造等边三角形 BCD, 则 AD 的取值范围为 解:以 AB 为边向上作等边ABE,连接 DE,如图 416 所示 ABBE,CBBD,ABCEBD60CBE 在ABC 和EBD 中 , , , ABBE ABEEBD CBBD ABCEBD
17、(SAS) DEAC2 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher 点 D 的轨迹是以点 E 为圆心,2 为半径的圆 AEEDADAEED 如图 417 和图 418 所示,当且仅当 A、E、D 三点共线时取得最值 1AD5 思路点拨 这样理解 AB3,AC2 这个条件:固定一边 AB,CAB 可以自由变化,因此点 C 的轨迹是以点 A 为圆心、2 为半径的圆通过构造全等图形找出点 D 的运动轨迹利用圆外一点到
18、圆周上的距离最值来解 决问题 拓展 本题的解法较多,对于“定点动点”的最值问题,探究动点的轨迹图形时直接的方法 11.如图 3.8 所示,AB=3,AC=2,以 BC 为腰(点 B 为直角顶点)向上构造等腰直角三角形 BCD,则 AD 的取值范围为; 解答:以 AB 为腰做等腰直角ABE(ABE=90),连接 DE,如图 4.19 所示, AE= ?AB=3 ?,ABC=EBD=90CBE, 在ABC 和EBD 中 ?t h t? ?t? h ?t ?t h t 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:ala
19、rmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher ABCEBD(SAS) ED=AC=2 点 D 的轨迹为以点 E 为圆心、2 为半径的圆 AEEDADAEED 如图 4.20 和图 4.21 所示,当且仅当 A,E,D 三点共线时取得最值, 3 ?2AD3 ?2 思路点拨思路点拨:解题方法基本同上题,也是通过构造全等图形找出点 D 的运动轨迹上,再利用圆外一点到圆周 上的距离最值来解决问题 12. 如图 3.9 所示, AB=4, AC=2, 以 BC 为底边向上构造等腰直角三角形 BCD, 则 AD 的取值范围为, 解答:以 AB 为底边构造
20、等腰直角AEB(AEB=90),连接 DE,如图 4.22 所示, AE= ? ? AB=2 ?,EBA=CBD=45 ?t ?t h ?t t h? ?t? h ?t h ?t? ABCEBD 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher DE= ? ? AC= ? 点 D 的轨迹为以点 E 为圆心、 ? 为半径的圆 AEEDADAEED 如图 4.23 和图 4.24 所示,当 A、E、D 三点共线时取得最值
21、 ?AD3 ? 思路点拨思路点拨:与前面两题不同的是,由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点,因此构造全等图形变成构 造相似图形,从而找出点 D 的运动轨迹,最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题 13. 如图 3.10 所示,AB=4,AC=2,以 BC 为底边向上构造等腰直角三角形 BCD,连接 AD 并延长至点 P, 使 AD=PD,则 PB 的取值范围为, 解答:以 AB 为底边构造等腰直角AEB(AEB=90),连接 DE,如图 4.25 所示, 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:ala
22、rmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher AE= ? ? AB=2 ?,EBA=CBD=45 ?t ?t h ?t t h? ?t? h ?t h ?t? ABCEBD DE= ? ? AC= ? 点 D 的轨迹为以点 E 为圆心、 ? 为半径的圆 延长 AE 至点 Q,使 AE=EQ,连接 PQ、BQ, AD=DP,DQ=2DE=2 ? 如图 4.23 和图 4.24 所示,当 A、E、D 三点共线时取得最值 BE 垂直平分 AQ,AB=BQ QAB=45,ABQ 为等腰直角三角形,BQ=AB=4 BQPQPBBQPQ 如图 4.26
23、和图 4.27 所示,当 B、P、Q 三点共线时取得最值 42?PB42? 思路点拨:注意到点 P 的产生与中点有关,点 P 的运动与点 D“捆绑”在一起,故可通过构造中位线来判断 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 QQ 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher 点 P 的运动轨迹,再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题 14. 如图 3.11 所示,正六边形 ABCDEF 的边长为 2,两顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴上运动,则顶点
24、D 到 坐标原点 O 的距离的最大值和最小值的乘积为; 解答:取 AB 的中点 G,连接 DG、OG,如图 4.28 所示, AOB=xOy=90,OG= ? ?AB=1, 连接 DB、OD DCB 为等腰三角形 C=120,DBC=30,DB=?DC=2?, DBA=12030=90 在 RtDGB,GB=1,DG= t? ?t?h? ? ? ? ?h? DGOGODOGDG 当且仅当 O、G、D 三点共线时取得最值 D、G 在点 O 同侧时取得最大值,在点 O 异侧时取最小值,如图 4.29 所示, 更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC 数学 更多见 Q
25、Q 群:391979252,微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue 微信号:AA-teacher ?1OD ?1 OD 的最大值和最小值乘积为? ? ? ? ? =12 思路点拨思路点拨:这个是“墙角”型问题,类似于梯子在墙角滑动,将墙角变为平面直角坐标系,这样移动的范围 能扩大到负方向;利用“墙角”产生的直角,以及 AB 边长不变的特点,作出 AB 的中点 G,利用斜边上的中 线 OG 和位置固定的两点 D、G 来构造两条大小不变、位置变化的线段 OG、DG;利用两边之和与两边之 差得到 OD 的最大值和最小值; 另辟蹊径另辟蹊径:利用相对运动的知识
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