近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编05 平面向量.docx

1、近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 五、平面向量 一、多选题一、多选题 1 （2021全国新高考 1） 已知O为坐标原点， 点 1 cos ,sinP， 2 cos, sinP， 3 cos,sinP，()1,0A，则（） A 12 OPOP B 12 APAP C 3 12 OA OPOP OP D 123 OA OPOP OP 二、单选题二、单选题 2 （2021浙江）已知非零向量, ,a b c ，则“a c b c ”是“ab ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分又不必要条件 3 （2020海南）在ABC中，D 是 AB 边上的中点，则CB

2、 =（） A2CD CA B 2CDCA C2CD CA D 2CDCA 4 （2020海南）已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值 范围是（） A()2,6B( 6,2) C( 2,4)D( 4,6) 5 （2020全国 2（理） ）已知向量ab a ，b 满足| 5a ，| 6b ， 6a b ，则 cos,=a ab （） A 31 35 B 19 35 C 17 35 D 19 35 6 （2020全国 3（文） ）已知单位向量a ，b 的夹角为 60，则在下列向量中，与b 垂直 的是（） A 2ab B2a b C 2ab D2a b 7 （

3、2019全国 2（文） ）已知向量()()2 33 2ab ，则|ab A 2 B2 C5 2 D50 8 （2019全国 1（文） ）已知非零向量ab ，满足 2ab =，且 bab （ ） ，则a 与b 的 夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 9 （2019全国 2（理） ）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，BC =1，则AB BC = A-3B-2 C2D3 10 （2018北京（理） ）设向量, a b 均为单位向量，则“|3 | |3|abab ”是“a b rr”的 A充分不必要条件B必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 11 （2018浙江）已

4、知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量a 与e 的夹 角为 3 ，向量b 满足 2 430be b ，则a b 的最小值是 A 31 B 31 C2D2 3 12 （2018天津（理） ）如图，在平面四边形 ABCD 中， ,120 ,1,ABBC ADCDBADABAD 若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE BE 的最小值为 A 21 16 B 3 2 C 25 16 D3 13 （2018全国 1（文） ）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 EB A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 1

5、4 （2018全国 2（文） ）已知向量a,b 满足a1 ，a b1 ，则a (2ab) A4B3C2D0 15 （2018天津（文） ）在如图的平面图形中，已知 1,2,120OMONMON ,2,2,BMMA CNNA 则 BCOM 的值为 A15 B9 C6 D0 16 （2017浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3， AC 与 BD 交于点 O，记 1 IOAOB ， 2 IOBOC ， 3 IOCOD ，则 AIIIBIIICIIIDIII 17 （2017全国 2 （理） ） 已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点， 则()PA

6、 PBPC 的最小值是( ) A2B 3 2 C 4 3 D1 18（2017北京 （文） ） 设 m,n 为非零向量， 则“存在负数， 使得 mn”是“0m n” 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 19 （2017全国 2（文） ）设非零向量a ，b 满足abab ，则 Aa bB=ab Ca bDab 三、填空题三、填空题 20（2021浙江） 已知平面向量,0)(,a b c c 满足1,2,0,0aba babc . 记向量d 在, a b 方向上的投影分别为 x， y，d a 在c 方向上的投影为 z， 则 222 xyz 的最小值为_.

7、 21 （2021全国甲 （文） ） 若向量, a b 满足3,5,1aaba b ， 则b _. 22 （2021全国甲（理） ）已知向量3,1 ,1,0 ,abcakb 若a c ，则 k _ 23 （2021全国乙（理） ）已知向量1,3 ,3,4ab ，若()abb ，则 _ 24 （2021全国乙（文） ）已知向量2,5 ,4ab ，若 /a b r r ，则_ 25 （2020浙江） 设 1 e ， 2 e 为单位向量， 满足 21 |22| ee， 12 aee ， 12 3bee ， 设a ，b 的夹角为，则 2 cos的最小值为_ 26 （2020江苏）在ABC 中，43=9

8、0ABACBAC，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若 3 () 2 PAmPBm PC （m 为常数） ，则 CD 的长度是_ 27 （2020全国 1（文） ）设向量(1, 1),(1,24)abmm ，若a b rr，则 m_. 28 （2020全国 1（理） ）设, a b 为单位向量，且| 1ab ，则|ab _. 29 （2020全国 1（理） ）已知单位向量a ,b 的夹角为 45，k a b 与a 垂直，则 k=_. 30 （2019江苏）如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点O.若 6AB ACA

9、O EC ，则 AB AC 的值是_. 31 （2019北京（文） ） 已知向量a = （4， 3） ，b = （6， m） ， 且ab ， 则 m=_. 32 （2019全国 3（文） ）已知向量(2,2),( 8,6)ab ，则cos, a b _. 33 （2019全国（理） ）已知, a b 为单位向量，且a b =0，若 25cab ，则 cos, a c _. 34 （2019天津（文） ） 在四边形ABCD中，ADBC， 2 3AB ，5AD ， 30A，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE _. 35 （2019上海）在椭圆 22 1 42 xy 上任意一点P，Q

10、与P关于x轴对称，若有 12 1FP F P ，则 1 FP 与 2 F Q 的夹角范围为_ 36 （2018上海）已知实数 1 x、 2 x、 1 y、 2 y满足： 22 11 1xy， 22 22 1xy， 1212 1 2 x xy y，则 1122 11 22 xyxy 的最大值为_ 37 （2018江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线:2l yx上在第一象限内的点， 5,0B，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若 0AB CD ，则点A的横 坐标为_ 38（2018北京 （文） ） 设向量a = （1,0） ，b = （1,m） ,若amab ， 则 m=_. 39 （20

11、18全国 3（理） ）已知向量= 1,2a ，= 2, 2b ，= 1,c 若2 +ca b ， 则_ 40 （2017上海）如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 1 P、 2 P、 3 P、 4 P以及 四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合 1234 ,P P P P ，点P，过P作 直线 P l， 使得不在 P l上的“”的点分布在 P l的两侧. 用 1( )P D l和 2( )P D l分别表示 P l一侧 和另一侧的“”的点到 P l的距离之和. 若过P的直线 P l中有且只有一条满足 12 ( )( ) PP D lD l，则中所有这样的P为_ 41 （2017北京

12、（文） ）已知点P在圆 22 1xy上，点A的坐标为( 2,0)，O为原 点，则AO AP 的最大值为_ 42 （2017全国 1（理） ）已知向量a 与b 的夹角为 60，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= _ . 43 （2017天津（文） ）设抛物线 2 4yx的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若120FAC，则圆的方程为_ . 44 （2017天津（文） ）在ABC中，60A，3AB ，2AC . 若 2BDDC ， ()AEACABR ，且 4AD AE ，则的值为_. 45 （2017山东（理） ）已

13、知 1 e ， 2 e 是互相垂直的单位向量，若 12 3ee 与 1 e 2 e 的夹角为 60，则实数的值是_ 46 （2017全国 3（文） ）已知向量( 2,3),(3,)abm ，且ab ，则m_. 47 （2017全国 1（文） ）已知向量a =（1，2） ，b =（m，1） ，若()aba ，则 m=_ 48 （2017山东（文） ）已知向量 a=（2,6）,b=( 1, ),若 ab,则_. 49 （2017江苏）在同一个平面内，向量,OA OB OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的 夹角为，且tan7,OB 与OC 的夹角为45，若,OCmOAnOB m nR ， 则

14、mn_ 50 （2020天津）如图，在四边形ABCD中，60 ,3BAB ，6BC ，且 3 , 2 ADBCAD AB ，则实数的值为_，若,M N是线段BC上的 动点，且| 1MN ，则DM DN 的最小值为_ 51 （2020北京）已知正方形ABCD的边长为 2，点 P 满足 1 () 2 APABAC ，则 |PD _；PB PD _ 52（2019浙江） 已知正方形ABCD的边长为 1， 当每个(1,2,3,4,5,6) i i取遍时， 123456 ABBCCDDAACBD 的最小值是_；最大值是 _. 53 （2017浙江）已知向量, a b 满足1,2ab rr ，则abab

15、的最小值是 _，最大值是_ 四、解答题四、解答题 54 （2017江苏）已知向量330acosxsinxbx ， （1）若ab ，求 x 的值； （2）记 f xa b ，求函数 yf（x）的最大值和最小值及对应的 x 的值 近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 五、平面向量（答案解析） 1AC 【解析】 A： 1 (cos ,sin)OP ， 2 (cos,sin)OP ，所以 22 1 |cossin1OP ， 22 2 |(cos)( sin)1OP ，故 12 | |OPOP ，正确； B： 1 (cos1,sin)AP ， 2 (cos1, sin)AP ，所以 2222

16、2 1 |(cos1)sincos2cos1 sin2(1 cos)4sin2|sin| 22 AP 同理 22 2 |(cos1)sin2|sin| 2 AP ，故 12 |,|APAP 不一定相等，错误； C：由题意得： 3 1 cos()0sin()cos()OA OP ， 12 coscossin( sin)cos()OP OP ，正确； D：由题意得： 1 1 cos0sincosOA OP ， 23 coscos()( sin)sin()OP OP cos cos 2，故一般来说 123 OA OPOP OP 故错误； 2B 【解析】 若a c b c ，则 0abc rrr ，推

17、不出ab ；若ab ，则a c b c 必成立， 故“a c b c ”是“ab ”的必要不充分条件 3C 【解析】 222CBCAABCAADCACDCACDCA 4A 【解析】 AB 的模为 2， 根据正六边形的特征， 可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是( 1,3)， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB 的取值范围是()2,6， 5D 【解析】5a ，6b ， 6a b ， 2 2 5619aabaa b . 2 22 2252 6367ababaa bb ， 因此， 1919 cos, 5 735 aab

18、 a ab aab . 6D 【解析】由已知可得： 11 cos601 1 22 a bab . A：因为 215 (2 )22 10 22 abba bb ，所以本选项不符合题意； B：因为 21 (2)22120 2 abba bb ，所以本选项不符合题意； C：因为 213 (2 )22 10 22 abba bb ，所以本选项不符合题意； D：因为 21 (2)2210 2 abba bb ，所以本选项符合题意. 7A 【解析】由已知，(2,3)(3,2)( 1,1)ab ，所以 22 |( 1)12ab ， 8B 【解析】因为()abb ，所以 2 ()abba bb =0，所以 2

19、 a bb ，所以 cos= 2 2 |1 22| a bb bab ，所以a 与b 的夹角为 3 ，故选 B 9C 【解析】 由(1,3)BCACABt ， 22 1(3)1BCt ， 得3t ， 则(1,0)BC ， (2,3) (1,0)2 1 3 02AB BC 故选 C 10C 【解析】因为向量, a b 均为单位向量 所以|3 | |3|abab 22 33abab 2222 6996aa bbaa bb 1 6 9961a ba b 0a b ab rr 所以“|3 | |3|abab ”是“a b rr”的充要条件 11A 【解析】设,1,0 ,ax yebm n rrr ，

20、则由 , 3 a e r r 得 22 1 cos,3 32 axeexxyya rrr r ， 由 2 430be b rr r 得 2 222 430,21,mnmmn 因此，ab rr 的最小值为圆心2,0到直线3yx 的距离 2 3 = 3 2 减去半径 1，为 31. 选 A. 12A 【解析】连接 BD,取 AD 中点为 O,可知ABD为等腰三角形，而,ABBC ADCD， 所以BCD为等边三角形， 3BD 。设(01)DEtDCt AE BE 223 () ()() 2 ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE = 2 33 3 22 tt(01)t 所以当 1

21、4 t 时，上式取最小值 21 16 ，选 A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量 都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。 13A 【解析】根据向量的运算法则，可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 11131 24444 BABAACBAAC ， 所以 31 44 EBABAC ，故选 A. 14B 【解析】因为 22 (2)22|( 1)2 13,aabaa ba 15C 【解析】如图所示，连结 MN， 由2,2BMMA CNNA 可知点,M N分别为线段,AB AC上靠近点A的三等分点， 则33BCMN

22、ONOM ， 由题意可知： 2 2 11OM ， 1 2 cos1201OM ON ， 结合数量积的运算法则可得： 2 333336BC OMONOMOMON OMOM . 本题选择 C 选项. 16C 【解析】因为90AOBCOD ，OAOC，OBOD， 所以 0OB OCOA OBOC OD ，故选 C 17B 【解析】 建立如图所示的坐标系， 以BC中点为坐标原点， 则(0, 3)A，( 1,0)B ，(1,0)C， 设( , )P x y，则(, 3)PAxy ，( 1,)PBxy ，(1,)PCxy ， 则 2222 33 ()22 322() 24 PA PBPCxyyxy 当0

23、x ， 3 2 y 时，取得最小值 33 2() 42 ，故选：B 18A 【解析】若0，使mn，则两向量 ,m n反向，夹角是180，那么 cos1800 m nm nm n；若0m n，那么两向量的夹角为90 ,180，并不一 定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分而不必要条件，故选 A. 19A 【解析】 由abab 平方得 2222 22aa bbaa bb ，即 0a b ，则a b 20 2 5 【解析】 由题意， 设(1,0),(0 2),( , )abcm n ， 则 20abcmn ， 即2mn， 又向量d 在, a b 方向上的投影分别为 x，y，所以,dx y ，

24、 所以d a 在c 方向上的投影 22 1()22 |5 m xnydacxy z c mn ， 即252xyz, 所以 22 22222222 112 21525 10105 xyzxyzxyz ， 当且仅当 215 252 xyz xyz 即 2 5 1 5 5 5 x y z 时，等号成立，所以 222 xyz的最小值为 2 5 . 213 2 【解析】 5ab 22 22 29225ababa bb 3 2b r . 22 10 3 . 【解析】3,1 ,1,0 ,3,1abcakbk , ,3 31 10acack ，解得 10 3 k ,故答案为： 10 3 . 23 3 5 【解

25、析】因为1,33,41 3 ,34ab ，所以由abb 可得， 3 1 34 340，解得 3 5 故答案为： 3 5 24 8 5 【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450，解方程可得： 8 5 . 25 28 29 【解析】 12 |2|2ee u rur Q， 12 4412e e u r ur ， 12 3 4 e e u r u r ， 22 2 1212 22 121212 (44)4(1)() cos (22)(106)53 e ee ea b e ee ee e ab u r uru r urr r u r uru r uru r ur rr 12 424228

26、(1)(1) 3 3329 53 53 4 e e u r ur . 26 18 5 或 0 【解析】, ,A D P三点共线，可设0PAPD ， 3 2 PAmPBm PC ， 3 2 PDmPBm PC ，即 3 2 m m PDPBPC ， 若0m且 3 2 m ，则,B D C三点共线， 3 2 1 m m ，即 3 2 ， 9AP ，3AD ，4AB ,3AC ,90BAC，5BC ， 设CDx，CDA，则5BDx，BDA. 根据余弦定理可得 222 cos 26 ADCDACx AD CD ， 2 222 57 cos 26 5 xADBDAB AD BDx ， coscos0 ，

27、 2 57 0 66 5 xx x ，解得 18 5 x ，CD的长度为 18 5 . 当0m 时， 3 2 PAPC ，,C D重合，此时CD的长度为0， 当 3 2 m 时， 3 2 PAPB ，,B D重合，此时12PA ，不合题意，舍去. 275 【解析】由a b rr可得 0a b ，又因为(1, 1),(1,24)abmm ， 所以1 (1)( 1) (24)0a bmm ，即5m ，故答案为：5. 28 3 【解析】因为, a b 为单位向量，所以1ab rr 所以 222 2221ababaa bba b ，解得：2 1a b 所以 222 23ababaa bb ，故答案为：

28、 3 29 2 2 【解析】由题意可得： 2 1 1 cos45 2 a b ，由向量垂直的充分必要条件可得： 0k a ba ，即： 2 2 0 2 kaa bk ，解得： 2 2 k .故答案为： 2 2 30 3. 【解析】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD. 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC ， 得 2213 , 22 AB

29、AC 即3,ABAC 故3 AB AC . 318. 【解析】向量4,36,abmab （）， （），则04 6308a bmm ， . 32 2 10 【解析】 2222 282 62 cos, 10 22( 8)6 a b a b a b 33 2 3 . 【解析】因为 25cab ，0a b ，所以 2 25a caa b 2 ， 222 | |4| |4 55|9caa bb ，所以| 3c ，所以cos, a c 22 1 33 a c a c 341. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则(2 3,0)B， 5 3 5 (, ) 22 D 因为ADBC，30BAD，所以150CBA

30、， 因为AEBE，所以30BAEABE ， 所以直线BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3) 3 yx ， 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得 3x ，1y ，所以( 3, 1)E 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE 35 1 arccos, 3 【解析】由题意： 1 2,0F ， 2 2,0F 设,P x y，,Q xy，因为 12 1FP F P ，则 22 21xy 与 22 1 42 xy 结合 22 4221yy，又2,2y 2 1,2y 2222 12 222 2 2222 12 22

31、 cos 2222 2 FP F Qxyxy FPF Q xyxyxyx 与 22 1 42 xy 结合，消去x，可得： 2 22 2381 cos31, 223 y yy 所以 1 arccos, 3 36 23 【解析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，OA =（x1，y1） ，OB =（x2，y2） ， 由 x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2= 1 2 ，可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上， 且OA OB =11cosAOB= 1 2 ，即有AOB=60，即三角形 OAB 为等边三角形， AB=1， 11 1 2 xy + 22 1 2 xy 的

32、几何意义为点 A，B 两点到直线 x+y1=0 的距离 d1与 d2之和，显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 x+y=1 平行， 可设 AB：x+y+t=0， （t0） ，由圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2 t ， 可得 2 2 1 2 t =1，解得 t= 6 2 ，即有两平行线的距离为 6 1 2 2 = 23 2 ， 即 11 1 2 xy + 22 1 2 xy 的最大值为 2+3，故答案为2+3 373 【解析】设,2(0)A aaa ，则由圆心C为AB中点得 5 , 2 a Ca 易得 :520Cxxay ya，与2yx联立解得点D的横坐标1, D x 所以 1

33、,2D.所以 5 5, 2,1,2 2 a ABaaCDa ， 由 0AB CD 得 2 5 51220,230,3 2 a aaaaaa 或1a ， 因为0a ，所以3.a 38-1. 【解析】(1,0),( 1,)abm ，( ,0)( 1,)(1,)mabmmmm ， 由()amab 得：()0amab ，()10amabm ，即1m . 39 1 2 【解析】由题可得24,2ab ，/ / 2,cab 1,c 420,即 1 2 ，故答案为 1 2 40 1 P、 3 P、 4 P 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示； 则记为“”的四个点是 A（0，3） ，B（1，0） ，C（7，1

34、） ，D（4，4） ， 线段 AB，BC，CD，DA 的中点分别为 E，F，G，H， 易知 EFGH 为平行四边形，如图所示； 设四边形重心为 M（x，y） ，则 0MAMBMCMD ， 由此求得 M（3，2） ，即为平行四边形 EFGH 的对角线交于点 2 P， 则符合条件的直线 P L一定经过点 2 P，且过点 2 P的直线有无数条； 由过点 1 P和 2 P的直线有且仅有 1 条，过点 3 P和 2 P的直线有且仅有 1 条， 过点 4 P和 2 P的直线有且仅有 1 条，所以符合条件的点是 1 P、 3 P、 4 P 416 【解析】| |cos| | 2 (2 1)6.AO APAO

35、APAOAP 所以最大值是 6. 422 3 【解析】平面向量a 与b 的夹角为 0 60， 21ab ， 0 2 1 cos601a b . 222 2(2 )4(2 )4442 3ababaa bb 故答案为2 3. 43 【解析】设圆心坐标为( 1,)Cm，则(0,)Am，焦点(1,0)F， (1,0)AC (1,)AFm 2 11 cos 2 1 AC AF CAF AC AFm 3m ，由于圆C与y轴得正半轴相切，则取 3m ，所求圆得圆心为( 1, 3)，半径 为 1. 44 3 11 【解析】 0 12 3 2 cos603, 33 AB ACADABAC ,则 122123 (

36、)()34934 33333311 AD AEABACACAB . 45 3 3 【解析】由题意，设 1 e （1，0） ， 2 e （0，1） ， 则 12 3ee （ 3，1） ， 1 e 2 e （1，） ； 又夹角为 60，（ 12 3ee ）（ 1 e 2 e ） 32 2 1cos60， 即 3 2 1 ，解得 3 3 462 【解析】由题意可得2 330,m 解得2m . 477 【解析】 由题得(1,3)abm ， 因为()0aba ， 所以(1)2 30m ， 解得7m 48-3 【解析】由ab可得1 623. 493 【解析】以OA为x轴，建立直角坐标系，则()1,0A，由

37、OC 的模为 2与OA 与OC 的夹 角为，且tan7知， 27 2 cos, 1010 sin ，可得 1 7 , 5 5 C cos45,45Bsin ， 3 4 , 5 5 B ， 由OC mOAnOB 可得 13 1 734 55 , 745 555 55 mn mnn n 57 , 44 mn， 3mn，故答案为3. 50 1 6 13 2 【解析】 ADBC ，/AD BC， 180120BADB ， cos120AB ADBC ABBCAB 13 6 39 22 ， 解得 1 6 ，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy， 66,0BCC，,

38、3,60ABABC，A的坐标为 3 3 3 , 22 A , 又 1 6 ADBC ,则 5 3 3 , 22 D ，设,0M x，则1,0N x （其中05x） ， 53 3 , 22 DMx ， 33 3 , 22 DNx ， 2 2 2 533 32113 42 22222 DM DNxxxxx ， 所以，当2x 时，DM DN 取得最小值 13 2 . 51 51 【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直 角坐标系， 则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D， 111 2,02,22,1 222 APABAC ， 则点2,1P，2,1PD ，0

39、, 1PB ， 因此， 2 2 215PD ，021 ( 1)1PB PD . 520 2 5 【解析】正方形 ABCD 的边长为 1，可得AB ADAC ，BD ADAB ， AB AD 0， 12345613562456 ABBCCDDAACBDABAD 要使 123456 ABBCCDDAACBD 的最小，只需要 13556246 0 ，此时只需要取 123456 1,1,1,1,1,1 此时 123456 min 0ABBCCDDAACBD 22 12345613562456 ABBCCDDAACBDABAD 22 13562456 22 13562456 22 5656 22 22

40、56565656 84 2 22 565656 842 22 22 565656 1242 2222 5656 124 2220 等号成立当且仅当 1356 , 均非负或者均非正，并且 2456 , 均非负或者均 非正 比如 123456 1,1,1,1,11 则 123456 max 202 5ABBCCDDAACBD . 534 2 5 【解析】 设向量, a b 的夹角为， 由余弦定理有： 22 122 1 2 cos54cosab ， 22 122 1 2 cos54cosab ，则： 54cos54cosabab ， 令54cos54cosy，则 22 102 25 16cos16,20y， 据此可得： maxmin 202 5,164abababab ， 即abab 的最小值是 4，最大值是2 5 54 【解析】 （1）向量330acosxsinxbx ， 由ab ，可得： 33cosxsinx ，即 3 3 tanx ，x0， 5 6 x （2）由 2 332 3 3 f xa bcosxsinxsin x x0， 225 333 x ， 当 22 33 x 时，即 x0 时 f（x）max3； 当 23 32 x ，即 5 6 x 时( )2 3 min f x