（2022讲与练 高三理科数学一轮复习PPT）课时作业60(001).DOC

1、课时作业课时作业 60曲线与方程曲线与方程 一、选择题 1设 P 为双曲线x 2 4 y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是( A) Ax24y21B4y2x21 Cx2y 2 4 1Dx 2 2 y21 解析：设 M(x，y)，由 M 为线段 OP 的中点，得 P(2x,2y)，代入双曲线方程，得2x 2 4 (2y)21，即 x24y21， 故选 A. 2平面直角坐标系中， 已知 O 为坐标原点， 点 A， B 的坐标分别为(1,1)， (3,3) 若动点 P 满足OP OA OB ， 其中，R，且1，则点 P 的轨迹方程为(C) Axy0Bxy

2、0 Cx2y30D(x1)2(y2)25 解析：设 P(x，y)，则 x3，y3，得xy 2 ，yx 6 ，因此xy 2 yx 6 1，化简得 x2y30，故 选 C. 3(2021江西师大附中月考)设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点，点 Q 与 点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点若BP 2PA，且OQ AB 1，则点 P 的轨迹方程是( A) A.3 2x 23y21(x0，y0) B.3 2x 23y21(x0，y0) C3x23 2y 21(x0，y0) D3x23 2y 21(x0，y0) 解析：设 A(a,0)，B(0，b)，其

3、中 a0，b0， BP 2PA，(x，yb)2(ax，y)， 即 x2ax， yb2y， a3x 2 0， b3y0. P，Q 关于 y 轴对称，Q(x，y)，OQ AB (x，y)(a，b)axby 1，3 2x 23y21(x0，y0)故选 A. 4 (2021安徽六安月考)平面直角坐标系中， 已知两点 A(3,1)， B(1,3) 若点 C 满足OC 1OA 2OB (O 为原点)， 其中1，2R，且121，则点 C 的轨迹是(A) A直线B椭圆 C圆D双曲线 解析：设 C(x，y)，则(x，y)1(3,1)2(1,3)(312，132)， x312， y132， 解得 13xy 10

4、， 23yx 10 . 121，3xy 10 3yx 10 1， 整理得 x2y50，点 C 的轨迹是直线故选 A. 5(2021甘肃天水月考)动点 A 在圆 x2y21 上移动时，它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是(B) Ax2y23x20Bx2y23x20 Cx2y23y20Dx2y23y20 解析：设 A(xA，yA)，动点 A(xA，yA)与定点 B(3,0)连线的中点为 P(x，y)，则 xA3 2 x， yA0 2 y， 即 xA2x3， yA2y. 又 点 A 在圆 x2y21 上，所以(2x3)2(2y)21，即 4x212x94y21，整理得 x2y23x20.故选

5、 B. 6(2021广东深圳模拟)已知圆 x2y21，点 A(1,0)，ABC 内接于圆，且BAC60，当 B，C 在圆上运动时， BC 中点的轨迹方程是(D) Ax2y21 2 Bx2y21 4 Cx2y21 2 x1 2Dx2y21 4 x1 4 解析：如图，BC 中点为 D， BAC60. BOD60，在直角三角形 BOD 中，由|OD|1 2|OB| 1 2，得中点 D 的轨迹方程是 x 2y21 4.由BAC 的极限 位置可得 x4|AC|，所以点 R 的轨迹是以 A(2,0)，C(2，0)为焦点的椭圆，其中 2a 6,2c4，所以 b2a2c232225，所以点 R 的轨迹方程为x

6、 2 9 y 2 5 1.故选 C. 8 以(a1,0)， (a2,0)为圆心的两圆均过(1,0)， 与 y 轴正半轴分别交于(0， y1)， (0， y2)， 且满足 lny1lny20， 则点 1 a1， 1 a2 的轨迹是(A) A直线B圆 C椭圆D双曲线 解析：设两圆半径分别为 r1，r2，则 r1|1a1| a21y21y2112a1，同理，y2212a2.又因为 lny1lny20， 所以 y1y21，则(12a1)(12a2)1，即 2a1a2a1a2 1 a1 1 a22.设 x 1 a1， y 1 a2， 则 xy2，故点 1 a1， 1 a2的轨迹是 直线故选 A. 二、填

7、空题 9已知圆 C：(x1)2y236 与定点 M(1,0)，动圆 N 过点 M 且与圆 C 相切，则动圆圆心 N 的轨迹方程为x 2 9 y 2 8 1. 解析：设圆 N 的半径为 R，由题意可知，动圆圆心 N 满足：|NC|6R，|NM|R，由可得|NC|NM| 6|MC|2，由题意可知，点 N 的轨迹是以 C，M 为焦点的椭圆，且 2a6,2c2，又知 b2a2c2，所以 b22， 故动圆圆心 N 的轨迹方程为x 2 9 y 2 8 1. 10已知两定点 A(2,0)，B(2,0)及定直线 l：x10 3 ，点 P 是 l 上一个动点，过 B 作 BP 的垂线与 AP 交于点 Q， 则点

8、 Q 的轨迹方程为x 2 4 y21. 解析：设 Q(x，y)，P 10 3 ，y1 ，则 y1 10 3 2 y x2， y1 10 3 2 y x21， 16 3 y x2 3 4 y x21，4y 24x2，点 Q 的轨迹方程为x 2 4 y21. 11 直线 l1： mxy2m0 与 l2： nxy2n0 相交于点 A， 其中 mn2， 则 A 点的轨迹方程为 yx4 x(x0) 解析：设 A(x，y)，解方程组 mxy2m0， nxy2n0 得 x2mn mn ， y 4mn mn， 即 A 2mn mn ， 4mn mn ， 又 mn2，所以 x 2 m1，y 4m2m2 m1 ，

9、消去 m 得，yx4 x，由直线 l 1与 l2相交得 mn，所以 x0，故 A 点的轨迹方程为 yx4 x(x0) 12(2021湖北随州月考)已知 O 为坐标原点，直线 l 与圆 x2y26y50 交于 A，B 两点，|AB|2，点 M 为 线段 AB 的中点则点 M 的轨迹方程是 x2(y3)23，|OA OB |的取值范围为62 3，62 3 解析： 由题意， 圆 x2y26y50 的圆心为 C(0,3)， 半径 R2， 设圆心到直线 l 的距离为 d， 可得|AB|2 R2d2， 即 22 4d2，整理得 d 3，即|MC| 3，所以点 M 的轨迹表示以 C(0,3)为圆心，以 3为

10、半径的圆，所以点 M 的 轨迹方程为 x2(y3)23.根据向量的运算可得|OA OB |2OM |2|OM |，又|OC|3，所以|OC| 3|OM |OC| 3，即 3 3|OM |3 3，所以 62 32|OM |62 3， 即|OA OB |的取值范围为62 3，62 3 三、解答题 13已知动圆过定点 A(0,2)，且在 x 轴上截得的弦长为 4. (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程 (2)设不与 x 轴垂直的直线 l 与 M 的轨迹交于不同两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)若 1 x1 1 x22，求证：直线 l 过定点 解：(1)设动圆圆心为 M(x，y)，则 x2(y2)2

11、4y2，化简得 x24y.所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x24y. (2)证明：易知直线 l 的斜率存在，设 l：ykxb，则 由 x24y， ykxb， 得 x24kx4b0，(4k)24(4b)16(k2b)0，则 x1x24k，x1x24b. 由 1 x1 1 x22，可得 x 1x22x1x2，即 4k8b，则 b1 2k，则直线 l：ykx 1 2kk x1 2 ， 故直线 l 过定点 1 2，0. 14(2021天津河北区模拟)已知点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，|AB|3，BM 2MA . (1)求 M 的轨迹 C 的方程； (2)过点 N(0,1)作两条互相垂直的直线

12、l1，l2，与曲线 C 分别交于 P，Q(不同于点 N)两点，求证：直线 PQ 过定点 解：(1)设 A(x0,0)，B(0，y0)，则 x20y209. 设 M(x，y)，由BM 2 MA 得 x2x0 x， yy020y， 即 x03 2x， y03y， 故 3 2x 2(3y)29， 化简得 M 的轨迹 C 的方程为x 2 4 y21. (2)证明：依题意，直线 NP 的斜率存在且不为 0，可设直线 NP 的方程为 ykx1(k0) 将其与 C 的方程联立，消去 y 得(14k2)x28kx0. 设 P(x1，y1)，则 0 x1 8k 14k2，y 1kx1114k 2 14k2. 设

13、 Q(x2，y2)，则 x2 8k k24，y 21 kx 21k 24 k24. 直线 PQ 的方程为 yy1 y2y1 xx1 x2x1.令 x0，得 y x2y1x1y2 x2x1 8k k24 14k2 14k2 8k 14k2 k24 k24 8k k24 8k 14k2 24k 324k 40k40k3 3 5. 故直线 PQ 恒过点 0，3 5 . 15(2021安徽亳州质检)关于曲线 C：x2xyy21 有下列三个结论： 曲线 C 关于 y 轴对称； 曲线 C 上任意一点的横坐标不大于 1； 曲线 C 上任意一点到原点的距离不超过 2. 其中所有正确结论的个数是(B) A0B1

14、 C2D3 解析：曲线 C：x2xyy21，将 x 换成x，得(x)2(x)yy21，整理得 x2xyy21，故曲线 C：x2 xyy21 不关于 y 轴对称，故错误；由 x2xyy21，得 y2xyx210，(x)24(x21)0，解得 2 3 3 x2 3 3 ，故错误；设 P(x，y)为曲线 C 上的一点，则点 P 到原点的距离为|OP| x2y2， x2xyy21，x2y21xyx 2y2 2 (当 xy 时取等号)，x2y22，|OP| x2y2 2，即曲线 C 上 任意一点到原点的距离不超过 2，故正确故选 B. 16(2021广东广州月考)已知点 P 是抛物线 C：y1 4x 2

15、3 的顶点，A，B 是 C 上的两个动点，且PAPB4. (1)判断点 D(0，1)是否在直线 AB 上？并说明理由 (2)设点 M 是PAB 的外接圆的圆心，求点 M 的轨迹方程 解：(1)点 D 在直线 AB 上，理由如下：因为点 P 是抛物线 C：y1 4x 23 的顶点，所以点 P 的坐标为(0，3) 依题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则PA (x1，y13)，PB(x2，y2 3) 因为PA PB4，所以 x1x2(y13)(y23)4. 因为 A，B 是 C 上的两个动点，所以 y11 4x 2 13，y21 4x 2 23

16、.则 x1x2 1 16x 2 1x224. 整理得 x21x2216x1x2640，解得 x1x28. 由 ykxb y1 4x 23 ，得 x24kx124b0， 则 x1x24k，x1x2124b. 故124b8，解得 b1.所以直线 AB：ykx1. 所以直线 AB 过定点(0，1) 所以点 D(0，1)在直线 AB 上 (2)线段 PA 的中点坐标为 x1 2 ，x 2 1 8 3 ，kPA 1 4x 2 1 x1 x1 4 ，则线段 PA 的垂直平分线的方程为 yx 2 1 8 3 4 x1 xx1 2 . 同理，线段 PB 的垂直平分线的方程为 yx 2 2 8 3 4 x2 xx2 2 . 由解得 xx1x2 4 ，yx1x2 2 8 . 设点 M(x，y)，则 xx1x2 4 yx1x2 2 8 .消去 x1x2，得 x21 2y.所以点 M 的轨迹方程为 x 21 2y.