（2022讲与练 高三理科数学一轮复习PPT）课时作业56(001).DOC

1、课时作业课时作业 56椭圆及其几何性质椭圆及其几何性质 一、选择题 1(2021陕西咸阳模拟)椭圆 2x2my21 的一个焦点坐标为(0， 2)，则实数 m(D) A.2 3 B.2 5 C2 3 D2 5 解析：椭圆的标准方程为x 2 1 2 y2 1 m 1，其一个焦点坐标为(0， 2)，则1 m 1 22，解得 m 2 5. 2已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，则( B) Aa22b2B3a24b2 Ca2bD3a4b 解析：由题意知a 2b2 a2 e21 4，整理得 3a 24b2，故选 B. 3已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右

2、顶点分别为 A 1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay2ab 0 相切，则 C 的离心率为(A) A. 6 3 B 3 3 C. 2 3 D1 3 解析：以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2y2a2，该圆与直线 bxay2ab0 相切， |b0a02ab| b2a2 a，即 2b a2b2， a23b2，a2b2c2，c 2 a2 2 3，e c a 6 3 . 4 (2021广东深圳统测)已知动点 M 在以 F1， F2为焦点的椭圆 x2y 2 4 1 上， 动点 N 在以 M 为圆心， 半径长为|MF1| 的圆上，则|NF2|的最大值为(B) A2B4 C8D16 解析

3、：由椭圆的方程可得焦点在 y 轴上，a24，所以 a2，由题意可得|NF2|F2M|MN|F2M|MF1|，当 N， M，F2三点共线时取得最大值，而|F2M|MF1|2a4，所以|NF2|的最大值为 4，故选 B. 5(2021湖南长沙一模)设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1、F2，点 E(0，t)(0tb0)的左，右焦点，过 F 2的直线与椭圆交于 P，Q 两点，PQPF1，且|QF1| 2|PF1|，则PF1F2与QF1F2的面积之比为(D) A2 3B 21 C. 21D2 3 解析：解法 1：可设|PF1|t，则|QF1|2|PF1|2t， 由

4、椭圆的定义可得|PF2|2at，|QF2|2a2t， |PQ|4a3t， 由|PQ|2|PF1|2|QF1|2，即(4a3t)2t24t2， 即有 4a3t 3t，解得 t 4 3 3a， 则PF1F2与QF1F2的面积之比为 1 2|PF 1|PF2| 1 2|QF 1|QF2|sin30 1 2 4 3 3a 22 3 3 3 a 1 2 8 3 3a 2 32 3 3 a1 2 1 3 312 3.故选 D. 解法 2：同解法 1 得出 t 4 3 3a， 则S PF1F2 SQF1F2 1 2|F 1F2|yP| 1 2|F 1F2|yQ| |yP| |yQ| |PF2| |QF2|

5、2at 2a2t 2a 4 3 3a 2a2 4 3 3a 22 3a 2 32a2 3. 8(2021华大新高考联盟质检)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1、F2，点 P(x1，y1)，Q(x1， y1)在椭圆 C 上，其中 x10，y10，若|PQ|2|OF2|，|QF1| |PF1| 3 3 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围为(C) A. 0， 61 2B(0， 62 C. 2 2 ， 31 D(0， 31 解析：设|PF1|n，|PF2|m，由 x10，y10，知 mn，由 P(x1，y1)，Q(x1，y1)在椭圆 C 上，|PQ|2|OF2|

6、， 可知四边形 PF1QF2为矩形，|QF1|PF2|.由|QF1| |PF1| 3 3 ，可得 3 3 m n 1.由椭圆的定义及勾股定理可得 mn2a， m2n24c2， 将平方减可得 mn2(a2c2)， 4c2 2a2c2 m2n2 mn m n n m.而 2 m n n m 4 3 3 ， 2 4c2 2a2c2 4 3 3 ， 解得 2 2 b0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF 1PF2，若PF1F2的面积 为 9，周长为 18，则椭圆 C 的方程为x 2 25 y2 9 1. 解析：PF1PF2，PF1F2为直角三角形， 又知PF1F2的面积为 9，1 2|PF

7、 1|PF2|9， 得|PF1|PF2|18.在 RtPF1F2中，由勾股定理得 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 由椭圆定义知|PF1|PF2|2a， (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2， 即 4a2364c2，a2c29，即 b29，又知 b0，b3，又知PF1F2的周长为 18，2a2c18，即 a c9，又知 a2c29，ac1，由得 a5，c4，所求的椭圆方程为x 2 25 y2 9 1. 11(2021湖北襄阳月考)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，点 P 是椭圆在第一象限上的点，F 1，F2分别为椭圆的左、 右焦点，O 是坐标原点，过 F

8、2作F1PF2的外角的平分线 PA 的垂线，垂足为 A，若|OA|2b，则椭圆的离心率为 3 2 . 解析：如图，延长 F1P、F2A 交于点 M.由题意可知|PM|PF2|，由椭圆定义可知|PF1|PF2|2a，故有|PF1|PM| |MF1|2a，连接 OA，知 OA 是三角形 F1F2M 的中位线， |OA|1 2|MF 1|a，由|OA|2b，得 2ba，则 a24b24(a2c2)，即 c23 4a 2，ec a 3 2 . 12(2021广西梧州、贺州调研)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右顶点为 A，左、右焦点为 F 1，F2，过点 F2与 x 轴 垂直的直线与椭圆

9、的一个交点为 B.若|F1F2|2，|F2B|3 2，则点 F 1到直线 AB 的距离为9 13 13 . 解析：根据题意，把 xc 代入椭圆方程可得 yb 2 a . |F1F2|2，|F2B|3 2， 2c2， b2 a 3 2， a2b2c2， 解得 a2， b 3， c1. 不妨设点 B 在第一象限，则如图所示，A(2,0)，B 1，3 2 ，F1(1,0)直 线 AB 的方程为 y3 2x3，即 3x2y60.点 F 1到直线 AB 的距离 d 9 94 9 13 13 . 三、解答题 13.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点为

10、F 1(1,0)，F2(1,0)过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2：(x1)2y24a2交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连接 AF1并延长交圆 F2于点 B，连接 BF2 交椭圆 C 于点 E，连接 DF1.已知 DF15 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求点 E 的坐标 解：(1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 因为 F1(1,0)，F2(1,0)，所以 F1F22，c1. 又因为 DF15 2，AF 2x 轴， 所以 DF2 DF21F1F22 5 2 2223 2.因此 2aDF 1DF24，从而 a2. 由 b2a2c2，得 b23. 因此，椭

11、圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)由(1)知，椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1，a2. 因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1. 将 x1 代入圆 F2的方程(x1)2y216，解得 y4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1,4) 又 F1(1,0)，所以直线 AF1：y2x2. 由 y2x2， x12y216， 得 5x26x110，解得 x1 或 x11 5 .将 x11 5 代入 y2x2，得 y12 5 .因此 B 11 5 ，12 5 .又 F2(1,0)， 所以直线 BF2：y3 4(x1) 由 y3 4x1， x2 4 y 2 3 1， 得

12、 7x26x130，解得 x1 或 x13 7 .又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 x1. 将 x1 代入 y3 4(x1)， 得 y3 2.因此 E 1，3 2 . 14(2020全国卷)已知椭圆 C： x2 25 y2 m21(0m0，由题意知 yP0. 由已知可得 B(5,0)，直线 BP 的方程为 y 1 yQ(x5)， 所以|BP|yP1y2Q，|BQ| 1y2Q. 因为|BP|BQ|， 所以 yP1，将 yP1 代入 C 的方程，解得 xP3 或3. 由直线 BP 的方程得 yQ2 或 8.所以点 P，Q 的坐标分别为 P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(3,1)，Q

13、2(6,8) |P1Q1| 10， 直线 P1Q1的方程为 y1 3x， 点 A(5,0)到直线 P 1Q1的距离为 10 2 ， 故AP1Q1的面积为1 2 10 2 10 5 2.|P 2Q2| 130， 直线P2Q2的方程为y7 9x 10 3 ， 点A到直线P2Q2的距离为 130 26 ， 故AP2Q2的面积为1 2 130 26 130 5 2.综上，APQ 的面积为 5 2. 15(2021广东实验中学阶段考试)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上有一点 P，F 1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内 一点 Q 在线段 PF2的延长线上，且 QF1QP，sinF1PQ 5

14、13，则该椭圆离心率的取值范围是( D) A. 26 26 ，1 B 1 5， 5 3 C. 1 5， 2 2D 26 26 ， 2 2 解析：QF1QP，点 Q 在以 F1F2为直径，原点为圆心的圆上点 Q 在椭圆的内部，以 F1F2为直径的圆 在椭圆内， cb， c2a2c2， e21 2， 故 0e 2 2 .sinF1PQ 5 13， cosF 1PQ12 13.设|PF 1|m， |PF2|n， 而|F1F2| 2c，|PF1|PF2|mn2a.在PF1F2中，由余弦定理得 4c2m2n22mn12 13，4c 24a250 13mn，mn 26 25(a 2 c2) 由基本不等式得

15、 mn mn 2 2a2， 当且仅当 mn 时取等号 由 QF1QP 知 mn， mn mn 2 2a2， 26 25(a 2 c2)a2，a2 1 26，e 26 26 .综上， 26 26 eb0)的右焦点为 F 2(3,0)，离心率为 e. (1)若 e 3 2 ，求椭圆的方程； (2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N 分别为线段 AF2，BF2的中点，若坐标原点 O 在以 MN 为直径 的圆上，且 2 2 e 3 2 ，求 k 的取值范围 解：(1)由题意得 c3，c a 3 2 ，所以 a2 3，又因为 a2b2c2，所以 b23.所以椭圆的方程为x 2 12 y2

16、 3 1. (2)由 x2 a2 y2 b21， ykx 得(b2a2k2)x2a2b20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 x1x20，x1x2 a2b2 b2a2k2，依题意易知，OMON，四边形 OMF 2N 为平行四边形， 所以 AF2BF2. 因为F2A (x13，y1)，F2B (x23，y2)， 所以F2A F2B (x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即a 2a291k2 a2k2a29 90， 将其整理为 k2a 418a281 a418a2 1 81 a418a2. 因为 2 2 e 3 2 ，所以 2 3a3 2，即 12a218. 所以 k21 8，即 k ， 2 4 2 4 ， .