(2022讲与练 高三理科数学一轮复习PPT)课时作业17(001).DOC
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1、课时作业课时作业 17利用导数证明不等式利用导数证明不等式 1(2021唐山模拟)已知 f(x)1 2x 2a2lnx,a0. (1)求函数 f(x)的最小值; (2)当 x2a 时,证明:fxf2a x2a 3 2a. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,), f(x)xa 2 x xaxa x . 当 x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递增 所以当 xa 时,f(x)取得极小值,也是最小值,且 f(a)1 2a 2a2lna. (2)证明:由(1)知,f(x)在(2a,)上单调递增, 则所证不等式等价于 f(x)f(2a)3 2a(x2a)0. 设 g(x)f(x)f(2a)3
2、2a(x2a), 则当 x2a 时,g(x)f(x)3 2ax a2 x 3 2a 2xax2a 2x 0, 所以 g(x)在(2a,)上单调递增, 当 x2a 时,g(x)g(2a)0, 即 f(x)f(2a)3 2a(x2a)0, 故fxf2a x2a 3 2a. 2(2021重庆调研)已知函数 f(x)lnx1 ex (e 是自然对数的底数) (1)求 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)e xxf(x),证明:x1gx ex 1e 2. 解:(1)由题可得 f(x) 1 xlnx1 ex ,令 k(x)1 xlnx1,则 k(x) 1 x2 1 x0 在(0,)上恒成立, 即 k(
3、x)在(0,)上是减函数, 由 k(1)0 知,当 0 x0,f(x)0, 当 x1 时,k(x)0,f(x)0. f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,) (2)证明:由(1)得 g(x)1xlnx1 ex ,当 x1 时,易知 g(x)0, 当 x1 时,x1gx ex 1e 2, 现只需证 0 x1 时,x1gx ex 1e 2,即证gx ex 1e 2 x1 成立,令 G(x)exx1(0 x0 恒成立, G(x)在(0,1)上单调递增, G(x)G(0)0 恒成立,即 exx10, 只需证明对任意 0 x1,g(x)1e 2 恒成立 当 0 x1,且由(1)知 k(
4、x)0,g(x)0,g(x)1xlnxx ex 0, 当 x(e 2,1)时,F(x)0, 当 xe 2 时,F(x)取得最大值 1e 2, g(x)F(x)1e 2, 即当 0 x1 时,g(x)1e 2. 综上所述,x1gx ex 1e 2. 3(2021河北联考)设函数 f(x)x1 xtlnx,其中 x(0,1),t 为正实数 (1)若不等式 f(x)0 恒成立,求实数 t 的取值范围; (2)当 x(0,1)时,证明:x2x1 x1e xlnx. 解:(1)由题意得 f(x)1 1 x2 t x x2tx1 x2 ,0 x1, 设 h(x)x2tx1(0 x0, 当 t240,即 0
5、t2 时,h(x)0,f(x)0, 所以函数 f(x)在(0,1)上单调递增,又当 x1 时,f(x)0,故 f(x)0,即 t2 时,h(x)图象的对称轴为直线 xt 21. 因为 x0 时,h(x)10;x1 时,h(x)2t0,f(x)0;当 x(x1,1)时,h(x)0,f(x)0,不满足题意 综上可得,实数 t 的取值范围是(0,2 (2)证明:由题可得x 3x2x1 x exlnx 等价于x 21x1 x exlnx.因为 x(0,1),所以 lnx ex x1, 由(1)知当 t2 时, x 1 x2lnx2.令 m(x) ex x1(0 x0,所以函数 m(x)在区间(0,1)
6、上单调递增, 又当 x1 时,m(x)e 2,所以 m(x) e 22 ex x1在(0,1)上恒成立 综上,当 x(0,1)时,恒有 x2x1 x10 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)当 nm1(m,nN*)时,证明: n m m n m n . 解:(1)f(x)axxlnx,f(x)alnx1, 又 f(x)的图象在 xe 处的切线的斜率为 3,f(e)3, 即 alne13,a1. (2)由(1)知,f(x)xxlnx,f(x)kx2对任意 x0 恒成立k1lnx x 对任意 x0 恒成立 令 g(x)1lnx x ,则 g(x) 1 xx1lnx x2 lnx x2 , 令
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