（2022讲与练 高三理科数学一轮复习PPT）课时作业46(001).DOC

1、课时作业课时作业 46空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1(2021河南名校联考)已知空间三条直线 l，m，n.若 l 与 m 垂直，l 与 n 垂直，则(D) Am 与 n 异面 Bm 与 n 相交 Cm 与 n 平行 Dm 与 n 平行、相交、异面均有可能 解析：因为 lm，ln，所以 m 与 n 既可以相交，也可以异面，还可以平行，故选 D 2(2021泸州一诊)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱所在的直线与直线 BA1是异面直线的条数是(C) A4B5 C6D7 解析：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BA1平面 ABB

2、1A1，则有 AD，B1C1，CD，C1D1，CC1，DD1， 共 6 条直线与 BA1是异面直线，故选 C. 3(2021吉林长春模拟)已知直线 a 和平面，有如下关系：；a；a.则下列命题为真 命题的是(C) AB CD 解析：对于 A 选项，由可知，a或 a，A 错；对于 B 选项，由可知，a 与的位置关系不确定，B 错；对于 C 选项，过直线 a 作平面，使得b，a，ab，a，b，b，C 对；对 于 D 选项，由可知，a，D 错 4(2021河南名校联考)如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1是正三角形， E 是 BC 的中点，则下

3、列叙述正确的是(C) ACC1与 B1E 是异面直线 BAC平面 ABB1A1 CAE，B1C1为异面直线，且 AEB1C1 DA1C1平面 AB1E 解析：对于 A 项，CC1与 B1E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以 A 错；对于 B 项，由题意知，上底面是 一个正三角形， 故 AC 与平面 ABB1A1不可能垂直， 所以 B 错；对于 C 项，因为 AE， B1C1在两个平行平面中且不平行， 所以它们是异面直线 由底面三角形 ABC 是正三角形， E 是 BC 的中点， 可知 AEBC， 结合棱柱性质可知 B1C1BC， 则 AEB1C1，所以 C 正确；对于 D 项，因为 AC

4、与平面 AB1E 相交，且 A1C1AC，所以 A1C1与平面 AB1E 不平行， 所以 D 错 5(2021福建三明质检)已知四边形 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AB1，BC2，PA2，E 为 BC 的中点， 则异面直线 AE 与 PD 所成的角为(C) A. 6 B 4 C. 3 D 解析：如图，取 AD，PA 中点 F，G，连接 CF，AC，FG，CG.四边形 ABCD 为矩形，E，F 分别为 BC，AD 的 中点， AF 綊 EC，四边形 AFCE 为平行四边形，CFAE. F，G 分别为 AD，PA 的中点， FGPD 异面直线 PD 与 AE 所成角即为CFG(或其补角)

5、 PA平面 ABCD，AC平面 ABCD，PAAC. CG AG2AC2 114 6. 又 CF 11 2，FG 11 2， cosCFGCF 2FG2CG2 2CFFG 226 2 2 2 1 2， CFG2 3 ，即异面直线 AE 与 PD 所成的角为 3，故选 C. 6到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(C) A1B4 C7D8 解析：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥 当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图 1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距 离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有 4 个； 当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图 2，当平

6、面过 AB，BD，CD，AC 的中点时，满足条件因为三棱 锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有 3 个所以满足条件的平面共有 7 个，故选 C. 7(2021四川泸州诊断)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列说法中正确的是(D) AAC 与 B1C 是相交直线且垂直 BAC 与 A1D 是异面直线且垂直 CBD1与 BC 是相交直线且垂直 DAC 与 BD1是异面直线且垂直 解析：如图，连接 AB1，则AB1C 为等边三角形，则 AC 与 B1C 是相交直线且所成角为 60，故 A 错误；因为 A1DB1C， 所以 AC 与 A1D 是异面直线且所成角为 60， 故 B 错误； 连接

7、 CD1， 因为 BC平面 CDD1C1， 所以 BCCD1， 所以 BD1与 BC 所成角为锐角，故 C 错误；连接 BD，B1D1，因为 ACBD，ACDD1，且 BDDD1D，所以 AC 平面 BDD1B1，则 ACBD1，则 AC 与 BD1是异面直线且垂直，故 D 正确 8(2021福建福州质检)已知平面，两两垂直，直线 a，b，c 满足 a，b，c，则直线 a，b，c 可能 满足以下关系：两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面其中所有正确结论的编号是(C) AB CD 解析：对： 如图，当a，c，b 时， 平面，两两垂直， 可将 a，b，c 看作长方体从一个顶点出发的三条棱所在直线

8、 直线 a，b，c 两两垂直且两两相交， 结论正确； 对：如图，假设 abc，m，可得 mB 平面，两两垂直，m， b，mb， 这与 mb 相矛盾，假设不成立， 结论不正确； 对：如图，当 a，b，c 分别平行于平面与，与，与的交线时，a，b，c 两两异面， 结论正确 综上，结论正确的是. 9(2021陕西汉中质检)下列说法：直线上有两点到一平面的距离相等，则直线平行于该平面；夹在两平行 平面间的异面直线段的中点的连线平行于这两个平面；过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行其中正确的 是(D) AB CD 解析：对于，若这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，错误； 对于，如图所示，平面平

9、面，A，C，B，D，且 E，F 分别为 AB，CD 的中点，过点 C 作 CGAB 交平面于点 G，连接 BG，DG. 设 H 是 CG 的中点，连接 EH，HF，则 EHBG， BG平面，EH平面，EH平面. 同理可得 HF平面，EHHFH，平面 EFH平面. 又平面平面，平面 EFH平面， EF平面 EFH，EF平面，EF平面，正确； 对于，如图所示，设 AB 是异面直线 a，b 的公垂线段，E 为 AB 上一点，过点 E 作 aa，bb，当点 E 不与点 A 或点 B 重合时，a，b确定的平面即为与 a，b 都平行的平面；当点 E 与点 A 或点 B 重合时，则 a或 b，错误故选 D

10、10(2021湖北名师联盟联考)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是 AB，A1D1的中点，O 为正方形 A1B1C1D1的中心，则(C) A直线 EF，AO 是异面直线 B直线 EF，BB1是相交直线 C直线 EF 与 BC1所成的角为 30 D直线 EF，BB1所成角的余弦值为 3 3 解析：如图，连接 AF，EO，OF，易知四边形 AEOF 为平行四边形，所以直线 EF，AO 相交；直线 EF，BB1是 异面直线，故 A，B 不正确；以点 D 为原点， DC ， DA ，DD1 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设该正方体的棱长

11、为 2，则 D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,1,2)，B1(2,2,2)，C1(2,0,2)，则BC1 (0，2,2)， FE (1,1，2)，BB1 (0,0,2)， 所以|cosFE ， BC1 | 6 114 44| 3 2 ， |cos FE ， BB1 | 4 1142| 6 3 ， 所以直线 EF 与 BC1所成的角为 30， 直线 EF， BB1所成角的余弦值为 6 3 . 故选项 C 正确，D 错误 二、填空题 11(2021陕西渭南模拟)已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 mn； 若 m，m，

12、n，则 mn. 上述命题中为真命题的是(填所有真命题的序号) 解析：对于，若 m，n，则 m，n 可能平行，也可能相交；对于，若 m，n， 则 m，n 可能平行，也可能异面；对于，由直线与平面平行的性质定理可得正确 12(2021辽宁沈阳模拟)如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C 是圆柱下底面半圆 AB 的中点，C1是圆 柱上底面半圆 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2. 解析：如图，在圆柱下底面圆的圆周上取点 D，其中 C 与 D 的连线垂直于 AB，连接 C1D，AD，因为 C 是圆柱 下底面半圆 AB 的中点，所以 ADBC，所以直线 AC1与

13、 AD 所成的角等于异面直线 AC1与 BC 所成的角易知 C1D 圆柱下底面，所以 C1DAD因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D 2AD，所以直线 AC1与 AD 所成角的 正切值为 2.即异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2. 13(2021重庆外国语学校月考)在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 DD1和 AB 的中点，平面 B1EF 交棱 AD 于点 P，则 PE2 13 3 . 解析：如图所示，延长 B1F 交 A1A 的延长线于点 O，连接 OE 交 AD 于 M.OB1F，O平面 B1EF，OE 平面 B1EF.又 MOE

14、，M平面 B1EF，即点 M 为平面 B1EF 与棱 AD 的交点，点 M 即为点 P.F 是 AB 的中点， AOA1A.E 是 DD1的中点，DE1 2DD 11 2AA 11 2AO.由 AOD 1D 可得PAOPDE，则 AP2PD，PD 4 3， 又 DE2，PE22 4 3 22 13 3 . 14(2021江西南昌联考)已知 A，B 两点都在以 PC 为直径的球 O 的表面上，ABBC，AB2，BC4.若球 O 的体积为 8 6，则异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值为 10 10 . 解析：由题意得三棱锥 PABC，如图所示，其中 PAAC，PBBC，ABBC.过点 A 作

15、 BC 的平行线，过点 B 作 AC 的平行线，两线交于点 D，则异面直线 PB 与 AC 所成角为PBD(或其补角)由 PBBC，ABBC，PBABB， 得 BC平面 PAB，即 BCPA.又 PAAC，BCACC，PA平面 ACBD，PAAD计算可得 AC2 5BD， 设球 O 的半径为 R，则4 3R 38 6，R 6，PC2 6，PA2，PB2 2，PD2 5.取 PB 中点 E，连接 DE， 因为 PDBD，所以 DEPB，cosPBDBE BD 2 2 5 10 10 ，即异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值为 10 10 . 三、解答题 15.如图，在长方体 ABCDA1B1

16、C1D1中，AB16，BC10，AA18，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F 4.过点 E，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 解：(1)交线围成的正方形 EFGH 如图所示 (2)如图，过点 E 作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18. 因为四边形 EFGH 为正方形，所以 EHEFBC10. 于是 MH EH2EM26，AH10，HB6. 故 S 四边形 A1EHA1 2(410)856， S 四边形 EB1BH1 2(126)8

17、72. 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为9 7 7 9也正确. 16.如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，D 是 PC 的中点已知BAC 2，AB2，AC2 3，PA2. 求：(1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解：(1)SABC1 222 32 3，三棱锥 PABC 的体积为 V 1 3S ABCPA1 32 32 4 3 3 . (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角在 ADE 中，DE2，AE 2，AD2，cosA

18、DE2 2222 222 3 4.故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 3 4. 17(2021重庆七校联考)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 BC1上运动，有下列判断： 平面 PB1D平面 ACD1； A1P平面 ACD1； 异面直线 A1P 与 AD1所成角的取值范围是 0， 3 ； 三棱锥 D1APC 的体积不变 其中，正确的是.(把所有正确判断的序号都填上) 解析：在正方体中，B1D平面 ACD1，B1D平面 PB1D，所以平面 PB1D平面 ACD1，所以正确；连接 A1B， A1C1， 如图， 容易证明平面A1BC1平面ACD1， 又A1P平面A1

19、BC1， 所以A1P平面ACD1， 所以正确； 因为BC1AD1， 所以异面直线 A1P 与 AD1所成的角就是直线 A1P 与 BC1所成的角，在A1BC1中，易知所求角的范围是 3， 2 ，所以 错误；VD1APCVCAD1P，因为点 C 到平面 AD1P 的距离不变，且AD1P 的面积不变，所以三棱锥 D1APC 的体 积不变，所以正确 18(2021湘赣皖联考)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC，BE1 3AB，点 F 为 A 1D1的中点，O 为直 线 DB1与平面 EFC 的交点，则DO OB1 6 7. 解析： 作 D1C1靠近点 D1的六等分点 H， 连接 FH， 如图所示 D1H D1F BE BC， FHCE.连接 B 1D1， BD， 设 FHB1D1 N，CEBDM，连接 MN，则 M，N，O 三点共线(平面 EFC平面 BB1D1DMN)BM DM BE DC 1 3， DM BD 3 4， 即 DM3 4BD过点 F 作 FPA 1B1交 B1D1于点 P，D1N NP D1H FP 1 3，NP3D 1N， D1N B1D1 1 8， NB1 B1D1 7 8，即 NB 1 7 8B 1D1.DO OB1 DM NB1 3 4BD 7 8B 1D1 6 7.