（2022讲与练 高三理科数学一轮复习PPT）课时作业45(001).DOC

1、课时作业课时作业 45空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1(2021重庆南开模拟)在梯形 ABCD 中，ABC 2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在 的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(C) A.2 3 B4 3 C.5 3 D2 解析：由题意可知几何体的直观图如图所示，该几何体是底面半径为 1，高为 2 的圆柱，挖去一个相同底面高为 1 的圆锥得到的，其体积为1221 31 215 3 .故选 C. 2(2021江西联考)算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统 的数学典著，其中记载有

2、求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的 底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 1 36l 2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取 3，那么，近 似公式 V 25 942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取( C) A.22 7 B25 8 C.157 50 D355 113 解析：V1 3r 2h1 3 l 2 2h 1 12l 2h，由 1 12 25 942，得 157 50 ，故选 C. 3(2021广东深圳一模)已知圆锥的底面半径为 2，高为 42，则该圆锥内切球的表面积为(D) A4B4 2 C8 2D8 解析：

3、设该圆锥的内切球的半径为 r，依题意可得圆锥的母线长为 4 22226，由过球心的截面三角形的面 积 S1 2(6r6r4r) 1 244 2，解得 r 2，所以圆锥的内切球的表面积为 4r 24( 2)28，故选 D 4(2021湖南益阳一模)如图，在各棱长均为 2 的正三棱柱(底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱)ABCA1B1C1 中，P，E，F 分别是 AA1，A1C1，AC 的中点，则四棱锥 PEFBB1的体积为(C) A. 3 3 B 3 2 C.2 3 3 D4 3 3 解析：由题意知 ACBF，ACEF，BFEFF，所以 AC平面 EFBB1.由题易知 AA1平面 FEB1B，所

4、以点 P 到平面 EFBB1的距离为 AF1.又因为 S 四边形 EFBB12 3，所以 VPEFBB11 32 31 2 3 3 .故选 C. 5(2020全国卷)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1为ABC 的外接圆若O1的面积为 4，AB BCACOO1，则球 O 的表面积为(A) A64B48 C36D32 解析：如图，由题意知ABC 为等边三角形，圆 O1的半径 r2，即 O1B2，BC2 3OO1，在 RtOO1B 中，OB2OO21O1B216，球 O 的半径 ROB4，则 S 球O4R264.故选 A. 6(2021甘肃诊断)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABC

5、D 为矩形，AB 3，BC1，PAC 为等边三角形若四棱 锥 PABCD 的体积为 1，则此四棱锥外接球的表面积为(C) A.4 3 B8 3 C.16 3 D3 解析：如图，连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO.因为底面 ABCD 为矩形，所以 AC AB2BC22.又PAC 为 等边三角形，所以 PAPCAC2，AO1，PO 3.又四棱锥 PABCD 的体积为 1，设高为 h，则 1 3ABBCh1， 解得 h 3.故 PO 为四棱锥 PABCD 的高，即 PO平面 ABCD又 AC 为底面 ABCD 外接圆的直径，故此四棱锥的 外接球球心在平面 PAC 中， 且为PAC 的外接圆圆心

6、 设外接球的半径为 R， 则 2R PC sinPAC 4 3， 故表面积为 4R 2 (2R)216 3 . 7(2021江西上饶模拟)半径为 2 的球 O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为(B) A9 3B12 3 C16 3D18 3 解析：如图所示，设正三棱柱 A1B1C1ABC 上、下底面的中心分别为 O1，O2，底面边长为 x，高为 h，则 O2A 3 3 x,0 x2 3.在 RtOAO2中，h 2 4 x 2 3 4，即 h2164 3x 2.该正三棱柱的侧面积 S3xh，S29x2h212x2(12 x2)12 x212x2 2 2432，当且仅当 x 6时

7、取等号，此时 S12 3. 8(2021湖南衡阳联考)在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，且 AB2.若三棱锥 PABC 的外接球体积 为 36，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为(C) A66 3B86 3 C88 5D68 5 解析：如图所示因为 PA平面 ABC，所以 PABC，又因为 ABBC，PAABA，所以 BC平面 PAB，所 以 BCPB，设 PC 的中点为 O，则 O 到三棱锥 PABC 的四个顶点的距离都相等，所以点 O 是三棱锥外接球球心由 外接球的体积为4 3R 336，得外接球半径 R3，所以 PC6.设 PAa，BCb，由 PA2AB2BC2PC2

8、，得 a2 b232，所以 VPABC1 3 1 22ba 1 3ab 1 3 a2b2 2 16 3 ，当且仅当 ab4 时，VPABC取得最大值16 3 .此时 PBAC 42222 5，所以三棱锥的表面积 S21 2242 1 242 588 5.故选 C. 二、填空题 9如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为4 3. 解析：多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为 2，高为 1，其体积为 1 3( 2) 212 3，多面体的体积为 4 3. 10已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四

9、条侧棱的中 点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 4. 解析：如图所示，圆柱的高 O1O1 2PO 1 2 PA2AO21 2 511，圆柱的底面半径 r 1 2AO 1 2.所以圆柱的体 积 Vr2O1O1 41 4. 11 已知圆锥的顶点为 S， 母线 SA， SB 所成角的余弦值为7 8， SA 与圆锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15， 则该圆锥的侧面积为 40 2. 解析：因为母线 SA 与圆锥底面所成的角为 45，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形设底面圆的半径为 r，则 母线长 l 2r.在SAB 中，cosASB7 8， 所以 sinASB 15

10、 8 .因为SAB 的面积为 5 15，即 1 2SASBsinASB 1 2 2r 2r 15 8 5 15，所以 r240，故 圆锥的侧面积为rl 2r240 2. 12(2021广东惠州调研)在三棱锥 ABCD 中，底面为直角三角形，且 BCCD，斜边 BD 上的高为 1，三棱锥 ABCD 外接球的直径是 AB若该外接球的表面积为 16，则三棱锥 ABCD 体积的最大值为4 3. 解析：如图，作 CHBD 于点 H.由外接球的表面积为 16，可得外接球的半径为 2，即 AB4.设 ADx，则 BD 16x2.设三棱锥 ABCD 外接球球心为 O，BCD 外接圆圆心为 O1，由题可知 O

11、为 AB 中点，O1为 BD 中点，连 接 OO1，则 OO1平面 BCD，又 ADOO1，所以 AD平面 BCD又 BD 边上的高 CH1， 所以三棱锥 ABCD 的体积 V1 3 1 2 16x2x1 6 x416x21 6 x28264，当 x28 时，体积 V 最大，最 大值为4 3. 三、解答题 13如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90.以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA. (1)证明：平面 ACD平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ2 3DA，求三棱锥 QABP 的体积 解

12、：(1)证明：由已知可得，BAC90，即 BAAC. 又 BAAD，AC，AD平面 ACD，ACADA，所以 AB平面 ACD 又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC. (2)由已知可得，DCCMAB3，DA3 2.又 BP DQ2 3DA，所以 BP2 2.作 QEAC，垂足为 E，则 QEDC 且 QE 1 3DC.由已知及(1)可得 DC平面 ABC， 所以 QE平面 ABC，QE1.因此，三棱锥 QABP 的体积 VQABP1 3QES ABP1 31 1 232 2sin451. 14(2021河北邯郸一模)如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的每条棱的长度都相等，D，F

13、分别是棱 A1B1，BC 的中点， E 是棱 B1C1上一点，且 DE平面 A1BC1. (1)证明：CE平面 AB1F； (2)求四棱锥 AB1FCE 的体积与三棱柱 ABCA1B1C1的体积之比 解：(1)证明：因为 DE平面 A1B1C1，平面 A1B1C1平面 A1BC1A1C1，且 DE平面 A1BC1，所以 DEA1C1. 因为 D 是棱 A1B1的中点，所以 E 是棱 B1C1的中点， 又 F 是 BC 的中点，所以 B1EFC，B1EFC， 所以四边形 EB1FC 是平行四边形，所以 CEB1F. 又 B1F平面 AB1F，CE平面 AB1F，所以 CE平面 AB1F. (2)

14、因为 F 是 BC 的中点，ABAC，所以 AFBC. 又 BB1底面 ABC，所以 BB1AF，而 BB1BCB，所以 AF平面 BCC1B1.设 BC2a，则 AF 3a，四棱锥 AB1FCE 的体积 V11 3 3a 1 2(2a) 22 3 3 a3， 三棱柱 ABCA1B1C1的体积 V2 3 4 (2a)22a2 3a3， 故V1 V2 1 3，即四棱锥 AB 1FCE 的体积与三棱柱 ABCA1B1C1的体积之比为 13. 15(2021福建毕业班质检)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为 2，高为 3 的实心圆锥体工件切割成一个圆 柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内若

15、不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是(A) A.16 9 B8 9 C.16 27 D8 27 解析：如图，OC2，OA3，由AEDAOC 可得ED OC AE AO.设圆柱体的底面半径 rED2x(0 x1)，可得 AE3x， 则圆柱体的高 hOE33x， 圆柱体的体积 V(2x)2(33x)12(x2x3)， 令 V(x)12(x2x3)， 则 V(x) 12(2x3x2)，令 V(x)0，解得 x2 3或 x0(舍去)，可得 V(x)在 0，2 3 上单调递增，在 2 3，1上单调递减，故当 x 2 3时，V(x)取得最大值，V(x) max16 9 ，即圆柱体的最大体积是16 9 .

16、 16 (2021山东潍坊模拟)如图， 平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的， 将它沿虚线折起来， 可以得到如图所示粽子形状的六面体， 则该六面体的表面积为3 3 2 ； 若该六面体内有一小球， 则小球的最大体积为8 6 729. 解析：因为 S6 1 21 3 2 3 3 2 ，所以该六面体的表面积为3 3 2 .由图形的对称性得，小球的体积要达到最大， 即球与六个面都相切，每个面的面积是 3 4 ，六面体体积是正四面体体积的 2 倍，所以六面体的体积是 2 6 . 连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为 R，则有 2 6 6 1 3 3 4 R R

17、6 9 ， 所以球的体积 V4 3 R34 3 6 9 38 6 729. 17(2021河北衡水调研)已知三棱锥 DABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，AD平面 ABC，AC 3，BC1， cosACB 3sinACB，AD2，则球 O 的表面积为 8. 解析：由 cosACB 3sinACB，sin2ACBcos2ACB1，解得 sinACB1 2，cosACB 3 2 ，所以ACB 6，因为 AC 3，BC1， 所以由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcosACB， 即 AB2312 3 3 2 1，故 AB1， 所以ABC 为等腰三角形，且ABC2 3 ， 设ABC 外接圆半

18、径为 r，由正弦定理得 3 sin2 3 2r，解得 r1，设ABC 的外心为 O，连接 OO， 设 OOh，过 O 作 OMAD，连接 OA，OA，OD， 则在OOA 中，h212R2， 在OMD 中，(2h)212R2，解得 R 2， 所以外接球的表面积为 S4R24( 2)28. 18(2021东北三省四市一模)如图，等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ADABBC1，CD2，E 为 CD 的中点， 将ADE 沿 AE 折到APE 的位置 (1)证明：AEPB； (2)当四棱锥 PABCE 的体积最大时，求点 C 到平面 PAB 的距离 解：(1)证明：在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD

19、，交 AE 于点 O. ABCE，ABCE，四边形 ABCE 为平行四边形， AEBCADDE，ADE 为等边三角形， 在等腰梯形 ABCD 中，CADE 3，BDBC， BDAE.如图，翻折后可得，OPAE， OBAE，又 OP平面 POB， OB平面 POB，OPOBO，AE平面 POB， PB平面 POB，AEPB (2)当四棱锥 PABCE 的体积最大时，平面 PAE平面 ABCE.又平面 PAE平面 ABCEAE，PO平面 PAE， POAE，OP平面 ABCE. OPOB 3 2 ，PB 6 2 ，APAB1， SPAB1 2 6 2 1 1 2 6 2 2 15 8 ， 连接 AC，则 VPABC1 3OPS ABC1 3 3 2 3 4 1 8， 设点 C 到平面 PAB 的距离为 d， VPABCVCPAB1 3S PABd， d3VPABC SPAB 3 8 15 8 15 5 .