（2022讲与练 高三理科数学一轮复习PPT）课时作业16(001).DOC

1、课时作业课时作业 16不等式恒成立与有解问题不等式恒成立与有解问题 一、选择题 1已知函数 f(x)2x1，g(x)alnxx 2 2 1.若对任意的 xR，总有 f(x)1 或 g(x)1 成立，则实数 a 的取值范围 是(D) A(2，e)B(1，e2) C(，e2)D(，e) 解析：因为 f(x)2x11x1，且对任意的 xR，总有 f(x)1 或 g(x)1 成立，所以当 x1 时，g(x)1 恒成立， 即 alnxx 2 2 0 在1，)上恒成立当 x1 时，alnxx 2 2 1 21 时，a1，则 h(x)x2lnx1 2lnx2 ，因为 h(x)0 x e，h(x)01x e，

2、所以 h(x)在(1， e)上单调递减，( e，) 上单调递增，故 h(x)minh( e) e2 2ln ee，所以 ae.所以当 ae，x1 时，g(x)1 恒成立即当 ae 时，对任意的 x R，总有 f(x)1 或 g(x)0，所以在(，0上，f(x)为增函数，f(x)maxf(0)2.令 tex(t0)，设 h(t)(t 1)(t25)(t0)，则 h(t)(t1)(3t5)，当 0t5 3时，h(t) 5 3时，h(t)0，h(t)单调递增故 h(t)minh 5 3 5 31 25 9 5 40 27，从而 g(x) min40 27.依题意可得 a2 40 27，a 94 27

3、，故 a 的取值范围为 ，94 27 . 3(2021陕西西安测试)已知函数 f(x)m(x1)(x2)exe(e 为自然对数的底数)若关于 x 的不等式 f(x)0 有 且只有一个正整数解，则实数 m 的最大值为(A) Ae 3e 2 Be 2e 2 Ce 3e 2 De 2e 2 解析：f(x)m(x1)(x2)exe0， m(x1)(x2)exe.设 g(x)(x2)exe.g(x)(x1)ex. 当 x1 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增； 当 x1 时，g(x)0 有且只有一个正整数解，则 ym(x1)的图象在 yg(x)图象的上方只有一个 x 的正整数值，即 x 2，m(31

4、)g(3)(32)e3e 且 m(21)g(2)(22)e2e，即 2me3e 且 me.eme 3e 2 .故实数 m 的最 大值为e 3e 2 ，故选 A 二、填空题 4 已知函数 f(x)ae x x ， x1,3， 且x1， x21,3， x1x2， fx1fx2 x1x2 2 恒成立， 则实数 a 的取值范围是 ， 9 e3. 解析：x1，x21,3，x1x2，fx1fx2 x1x2 2， 即fx1fx2 x1x2 2fx12x1fx22x2 x1x2 0. 令 h(x)f(x)2xae x x 2x，则 h(x)在1,3上单调递减，h(x)ae xx1 x2 20 在1,3上恒成立

5、，当 x1 时， 显然成立，aR.当 x(1,3时，a 2x2 exx1，令 t(x) 2x2 exx1，x(1,3， 则 t(x)2xx 22x2 exx12 0)，g(x)e x11 x2.设(x)g(x)e x11 x2(x0)，则(x)e x12 x30， g(x)在(0，)上为增函数，且 g(1)0. 当 x(0,1)时，g(x)0，g(x)极小值g(1)2a. (2)由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)f(1)2a. 当 a2 时，f(x)0，f(x)在1，)上单调递增，则 f(x)f(1)1，满足题意； 当 a2 时，f(1)2a0， x0(

6、1，lna1)，使得 f(x0)0， 此时，x(1，x0)，f(x)0， f(x)在(1，x0)上单调递减，当 x(1，x0)时，f(x)x2，有 mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)F(x)f(x)g(x)xex1 2x 2x， F(x)(x1)(ex1)， 令 F(x)0，解得 x1，令 F(x)0，解得 xx2，有 mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，mf(x1)g(x1)mf(x2)g(x2)恒 成立 令 h(x)mf(x)g(x)mxex1 2x 2x，x1，)，即只需 h(x)在1，)上单调递增即可 故 h(x)(x1)

7、(mex1)0 在1，)上恒成立，故 m1 ex，而 1 exe，故 me， 即实数 m 的取值范围是e，) 7已知函数 f(x)ax2ex(a1)，a0，g(x)x21 x. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 a0 时，对任意 x(0，)，不等式 aex(a1)x(a1)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)函数 f(x)的定义域为(，)，f(x)2axexax2exax(x2)ex， 当 a0 时，由 f(x)0，得 x0，由 f(x)0，得2x0， 所以函数 f(x)在(，2)，(0，)上单调递增，在(2,0)上单调递减 当 a0 时，由 f(x)0，得 x0，由

8、 f(x)0，得2x0 时，f(x)ax2ex(a1)在(0，)上单调递增又 f(0)(a1)0， 所以存在 x0(0，)，使得 f(x0)0，且 h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增 因为 f(x0)ax20e x0(a1)0，所以 ax2 0e x0a1 ， 因为对于任意的 x(0，)，恒有 h(x)0 成立，所以在(0，)上，h(x)minh(x0)ae x0a1 x0 2(a1)0， 所以由式得a1 x20 a1 x0 2(a1)0，即 2x20 x010，所以1 2x 01.又 x00，所以 01，易知 yx2ex在(0,1上单调递增，所以 x20e x0e，由式

9、知 x2 0e x0a1 a ， 所以 1a1 a e，故 a 1 e1，即实数 a 的取值范围为 1 e1，. 8(2021金华十校联考)已知函数 f(x)ax3axxlnx，其中 aR. (1)若 a1 2，证明：f(x)0； (2)若 xe1 x1f(x)在 x(1，)上恒成立，求 a 的取值范围 解：(1)证明：由题意知 f(x)的定义域为(0，)， 当 a1 2时，f(x) 1 2x 31 2xxlnxx 1 2x 21 2lnx.令 g(x)1 2x 21 2lnx，则 g(x)x 1 x，由 g(x)0，得 x1， 当 x(0,1)时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，g

10、(x)g(1)0，又 x0，f(x)0. (2)由题意知 xe1 x1ax3axxlnx 在 x(1，)上恒成立， 即 ax2alnx1 xe 1x在 x(1，)上恒成立 令 m(x)ax2alnx，x1，n(x)1 x 1 ex 1，x1. 易得 ex 1x(x1)，n(x)1 x 1 ex 10. m(x)2ax1 x 2ax21 x ， 当 a0 时，m(x)0，m(x)在(1，)上单调递减， m(x)0 时，由 m(x)0，得 x 1 2a或 1 2a(舍去) 当 1 2a1，即 0a 1 2时，m(x)在 1， 1 2a 上单调递减，在 1 2a，上单调递增 m 1 2a 1， 则

11、F(x)1 2(x 2 1)lnx1 x 1 ex 1， 令 G(x)1 2(x 21)lnx1 x 1 ex 1，x1，则 F(x)G(x) G(x)x1 x 1 x2 1 ex 1x1 x 1 x21 x 3x2x1 x2 x1 2x1 x2 0， G(x)在 x(1，)上单调递增， G(x)0，则 F(x)G(x)0. 综上，a 的取值范围是 1 2，. 9已知函数 f(x)1x1lnx x ，g(x)lnxmx(mR) (1)求函数 g(x)的单调区间； (2)当 m0 时，对任意的 x11,2，存在 x21,2，使得 f(x1)3mg(x2)成立，试确定实数 m 的取值范围 解：(1

12、)由 g(x)lnxmx(x0)，得 g(x)1 xm.当 m0 时，g(x)0，所以 g(x)的单调递增区间是(0，)， 没有单调递减区间 当 m0 时， 由 g(x)0， 解得 0 x1 m； 由 g(x) 1 m， 所以 g(x)的单调递增区间是 0，1 m ， 单调递减区间是 1 m，.综上所述，当 m0 时，g(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间；当 m0 时， g(x)的单调递增区间是 0，1 m ，单调递减区间是 1 m，. (2)当 m0 时，对任意 x11,2，存在 x21,2，使得 f(x1)3mg(x2)成立，只需证明 f(x)min3mg(x)min成立由 f

13、(x)1x1lnx x lnx x lnx1 x1，得 f(x) 1lnx x2 1 x 1 x2 xlnx x2 .令 h(x)xlnx(x0)，则 h(x)x1 x ，所以 当 x(0,1)时，h(x)0，所以 h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，且 h(1) 1，所以 h(x)h(x)minh(1)10.此时 f(x)0，即 f(x)在(0，)上单调递增，所以 f(x)在1,2上单调递增，所以 f(x)minf(1)2. 由(1)知，当 m0 时，g(x)在 0，1 m 上单调递增，在 1 m，上单调递减， 当 01 m1 即 m1 时，g(x)在1,2上单调递减， g

14、(x)ming(2)ln22m； 当 11 m2 即 1 2m1 时，g(x)在 1，1 m 上单调递增，在 1 m，2上单调递减，g(x)minming(1)，g(2)， 由 g(2)g(1)ln22m(m)ln2m， 当1 2mln2 时，g(2)g(1)，此时 g(x) ming(1)m， 当 ln2m1 时，g(2)g(1)，此时 g(x)ming(2)ln22m； 当1 m2，即 0m 1 2时， g(x)在1,2上单调递增， g(x)ming(1)m. 所以当 0mln2 时，g(x)ming(1)m， 由 0m， 得 0ln2 时，g(x)ming(2)ln22m， 由 mln2， 23mln22m， 得 ln2m2ln2. 所以 0m2ln2. 综上，所求实数 m 的取值范围是(0,2ln2)