近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编04 不等式.docx

1、近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 四、不等式 一、单选题一、单选题 1 （2021全国（文） ）下列函数中最小值为 4 的是（） A 2 24yxxB 4 sin sin yx x C 2 22 xx y D 4 ln ln yx x 2 （2021全国（文） ）若 , x y满足约束条件 4, 2, 3, xy xy y 则3zxy的最小值为（） A18B10C6D4 3 （2021浙江）若实数 x，y 满足约束条件 10 0 2310 x xy xy ，则 1 2 zxy的最小值 是（） A2B 3 2 C 1 2 D 1 10 4（2021浙江） 已知, 是互不相同的锐角

2、， 则在sincos,sincos ,sincos 三个值中，大于 1 2 的个数的最大值是（） A0B1C2D3 5（2020浙江） 已知 a， bR 且 ab0， 对于任意 x0 均有(xa)(xb)(x2ab)0， 则 （ ） Aa0Cb0 6（2020浙江） 若实数x， y 满足约束条件 310 30 xy xy ， 则z=x+2y 的取值范围是 （） A(,4B4,)C5,)D(,) 7 （2020全国（文） ）已知集合 2 |340, 4,1,3,5Ax xxB ，则AB （） A 4,1B1,5 C3,5D1,3 8 （2019全国（文） ）记不等式组 6 20 xy xy 表示

3、的平面区域为D，命题 : ( , ),29px yDxy ； 命题:( , ),212qx yDxy .给出了四个命题： p q ； pq ；p q ； pq ，这四个命题中，所有真命题的编号是 ABCD 9 （2019浙江）设, a bR，数列 n a中， 2 11 , nn aa aab ， Nn ,则 A当 10 1 ,10 2 baB当 10 1 ,10 4 ba C当 10 2,10ba D当 10 4,10ba 10 （2019北京（理） ）若 x，y 满足|1|xy ，且 y1，则 3x+y 的最大值为 A7B1C5D7 11 （2018北京（理） ）设集合 ( , )|1,4,

4、2,Ax yxyaxyxay 则 A对任意实数 a，(2,1) A B对任意实数 a， （2,1）A C当且仅当 ab0，且 ab=1，则下列不等式成立的是 A 2 1 log () 2a b aab b B 2 1 log () 2a b aba b C 2 1 log () 2a b aab b D 2 1 log () 2a b aba b 17 （2017浙江）若 x,y 满足约束条件 x0 x+y-30z2 x-2y0 xy ，则的取值范围是 A0,6B0,4C6,+）D4,+） 二、多选题二、多选题 18 （2020海南）已知 a0，b0，且 a+b=1，则（） A 22 1 2

5、abB 1 2 2 a b C 22 loglog2ab D 2ab 三、填空题三、填空题 19 （2020天津）已知0,0ab，且1ab ，则 118 22abab 的最小值为 _ 20 （2020江苏）已知 224 51( ,)x yyx yR，则 22 xy的最小值是_ 21 （2020全国（文） ）若 x，y 满足约束条件 0, 20 1, xy xy x ，则 z=3x+2y 的最大值为 _ 22 （2020全国（理） ）若 x，y 满足约束条件 220, 10, 10, xy xy y 则 z=x+7y 的最大值为 _. 23 （2019天津（文） ） 设0 x ，0y ，24xy

6、，则 (1)(21)xy xy 的最小值为 _. 24 （2019天津（文） ） 设xR，使不等式 2 320 xx 成立的x的取值范围为 _. 25 （2019天津（理） ）设0,0,25xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为 _. 26 （2018江苏）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，120ABC， ABC的平分线交AC于点 D，且1BD ，则4ac的最小值为_ 27 （2018北京（理） ）若 x，y 满足 x+1y2x，则 2yx 的最小值是_ 28 （2018天津（理） ）已知,Ra b，且360ab，则 1 2 8 a b 的最小值为 _.

7、 29 （2018天津（文） ）已知aR，函数 2 2 220 220 xxax f x xxax ， ， 若对任意 x 3，+） ，f(x)x恒成立，则 a 的取值范围是_ 30 （2017山东（文） ）若直线1(00) xy ab ab ， 过点(1,2)，则2ab的最小值 为_ 31 （2017天津（文） ）若, a bR，0ab ，则 44 41ab ab 的最小值为_. 32 （2017北京（文） ）能够说明“设, ,a b c是任意实数,若abc,则abc”是假命 题的一组整数, ,a b c的值依次为_. 33 （2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为

8、6万元/次， 一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 _ 34 （2017山东（文） ）若直线1(00) xy ab ab ， 过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为 _. 四、双空题四、双空题 35 （2019北京（文） ）若 x，y 满足 2, 1, 4310, x y xy 则y x 的最小值为_， 最大值为_. 36 （2018浙江）若 , x y满足约束条件 0, 26, 2, xy xy xy 则3zxy的最小值是 _，最大值是_ 近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 四、不等式（答案解析） 1C 【解析】对于 A， 2 2 241

9、33yxxx，当且仅当1x 时取等号，所以其最 小值为3，A 不符合题意； 对于 B，因为0sin1x， 4 sin2 44 sin yx x ，当且仅当sin2x 时取等号， 等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意； 对于 C，因为函数定义域为R，而2 0 x ， 2 4 2222 44 2 xxx x y ，当且仅当 22 x ，即1x 时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于 D， 4 ln ln yx x ，函数定义域为0,11,，而lnxR且ln0 x ，如当 ln1x ， 5y ，D 不符合题意故选：C 2C 【解析】 由题意，作出可行域，如图阴影部分所示， 由 4

10、 3 xy y 可得点1,3A,转换目标函数3zxy为3yxz ， 上下平移直线3yxz ，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值， 此时 min 3 1 36z . 故选：C. 3B 【解析】画出满足约束条件 10 0 2310 x xy xy 的可行域，如下图所示： 目标函数 1 2 zxy化为22yxz， 由 1 2310 x xy ，解得 1 1 x y ，设( 1,1)A ， 当直线22yxz过A点时， 1 2 zxy取得最小值为 3 2 . 故选：B. 4C 【解析】 法 1：由基本不等式有 22 sincos sincos 2 ， 同理 22 sincos sincos 2 ，

11、22 sincos sincos 2 ， 故 3 sincossincossincos 2 ， 故sincos,sincos ,sincos不可能均大于 1 2 . 取 6 ， 3 ， 4 ， 则 116161 sincos,sincos,sincos 424242 ， 故三式中大于 1 2 的个数的最大值为 2， 故选：C. 法 2：不妨设，则coscoscos ,sinsinsin， 由排列不等式可得： sincossincossincossincossincossincos， 而 13 sincossincossincossinsin2 22 ， 故sincos,sincos ,sinc

12、os不可能均大于 1 2 . 取 6 ， 3 ， 4 ， 则 116161 sincos,sincos,sincos 424242 ， 故三式中大于 1 2 的个数的最大值为 2， 故选：C. 5C 【解析】因为0ab ，所以0a 且0b，设( )()()(2)f xxa xb xab，则 ( )f x 的零点为 123 ,2xa xb xab 当0a 时，则 23 xx， 1 0 x，要使( )0f x ，必有2aba，且0b ， 即 ba，且0b ，所以0b ； 当0a 时，则 23 xx， 1 0 x ，要使( )0f x ，必有0b . 综上一定有0b . 故选：C 6B 【解析】绘制

13、不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即： 11 22 yxz ， 其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值， 联立直线方程： 310 30 xy xy ，可得点 A 的坐标为：2,1A， 据此可知目标函数的最小值为： min 22 14z 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是4,. 故选：B. 【小结】 求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值， 当 b0 时， 直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最大，在 y 轴截

14、距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大. 7D 【分析】 首先解一元二次不等式求得集合 A，之后利用交集中元素的特征求得AB，得到结果. 【解析】 由 2 340 xx 解得14x ， 所以| 14Axx ， 又因为4,1,3,5B ，所以1,3AB ， 故选：D. 【小结】 本题考查的是有关集合的问题， 涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合， 集合 的交运算，属于基础题目. 8A 【分析】 根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题. 【解析】 如图，平面区域 D 为阴影部分，由 2 , 6 y

15、x xy 得 2 , 4 x y 即 A（2，4） ，直线29xy与直线212xy均过区域 D， 则 p 真 q 假，有 p 假 q 真，所以真假故选 A 【小结】 本题将线性规划和不等式， 命题判断综合到一起， 解题关键在于充分利用取值验证的方法进 行判断 9A 【分析】 若数列 n a为常数列， 101 aaa，则只需使10a ，选项的结论就会不成立.将每个选 项的b的取值代入方程 2 0 xxb ，看其是否有小于等于 10 的解.选项 B、C、D 均有小 于 10 的解，故选项 B、C、D 错误.而选项 A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及 基本不等式，可证得 A 选项正确. 【

16、解析】 若数列 n a为常数列，则 1n aaa，由 2 1nn aab ， 可设方程 2 0 xxb 选项 A： 1 2 b 时， 2 1 1 2 nn aa ， 2 1 0 2 xx， 1 210 ， 故此时 n a不为常数列， 222 1 12 ()2 22 nnnn aaaa ， 且 2 21 11 22 aa， 7 92 ( 2)4 2aa，则 2 109 1610aa， 故选项 A 正确； 选项 B： 1 4 b 时， 2 1 1 4 nn aa ， 2 1 0 4 xx， 则该方程的解为 1 2 x ， 即当 1 2 a 时，数列 n a为常数列， 1 2 n a ， 则 10

17、1 10 2 a，故选项 B 错误； 选项 C：2b 时， 2 1 2 nn aa ， 2 20 xx 该方程的解为1x 或2， 即当1a 或2时，数列 n a为常数列，1 n a 或2， 同样不满足 10 10a，则选项 C 也错误； 选项 D：4b 时， 2 1 4 nn aa ， 2 40 xx 该方程的解为 117 2 x ， 同理可知，此时的常数列 n a也不能使 10 10a， 则选项 D 错误. 故选：A. 【小结】 遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步 讨论a的可能取值，利用“排除法”求解. 10C 【分析】 首先画出可行域，然后结合

18、目标函数的几何意义确定其最值即可. 【解析】 由题意 1 , 11 y yxy 作出可行域如图阴影部分所示. 设3,3zxy yzx, 当直线 0: 3lyzx经过点2, 1时,z取最大值 5.故选 C. 【小结】 本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画移解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了 基础知识基本技能的考查. 11D 【解析】若(2,1) A ，则 3 2 a 且0a ，即若(2,1) A ，则 3 2 a ， 此命题的逆否命题为：若 3 2 a ，则有(2,1)A，故选 D. 小结： 此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用， 集合法是判断充分条件与必 要条件的一种非常有

19、效的方法，根据 , p q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设 | ( ), | ( )Ax p xBx q x，若AB，则p q ；若AB，则p q ，当一个 问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式. 12B 【解析】. 0.30.3 log0.2,2ablog 0.22 11 log0.3,0.3log ab 0.3 11 0.4log ab 11 01 ab ,即01 ab ab 又a0,b0ab0即abab0故选 B. 13A 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图所示， 目标函数2zxy，z 表示直线2yxz 的纵截距， 22306 6, 3 303 xyx B y

20、y ， 数形结合知函数2yxz 在点 B(6，3)处纵截距取得最小值， 所以 z 的最小值为12315.故选：A 14A 【解析】不等式( ) 2 x f xa 为( )( ) 2 x f xaf x(*)， 当1x 时， (*)式即为 22 33 2 x xxaxx， 22 3 33 22 x xaxx， 又 22 14747 3() 241616 x xx （ 1 4 x 时取等号） ， 22 333939 3() 241616 xxx（ 3 4 x 时取等号） ，所以 4739 1616 a， 当1x 时，(*)式为 22 2 x xax xx ， 322 22 x xa xx ， 又

21、3232 ()2 3 22 xx xx （当 2 3 3 x 时取等号） ， 22 22 22 xx xx （当2x 时取等号） ，所以2 32a， 综上 47 2 16 a故选 A 15D 【解析】 目标函数为四边形 ABCD 及其内部，其中 32 4 (0,1),(0,3),(,3),(,) 23 3 ABCD，所以直线 zxy 过点 B 时取最大值 3，选 D. 16B 【解析】 因为0ab，且1ab ，所以 22 1,01,1,log () log 21, 2a b ababab 1 2 11 2log () a b aabaab bb ，所以选 B. 17D 【解析】解：x、y 满足

22、约束条件，表示的可行域如图： 目标函数 z=x+2y 经过 C 点时，函数取得最小值，由解得 C（2，1） ， 目标函数的最小值为：4，目标函数的范围是4，+） 故选 D 18ABD 【解析】对于 A， 2 2222 1221abaaaa 2 1 2 11 2 22 a ， 当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 A 正确； 对于 B，211aba ，所以 1 1 22 2 a b ，故 B 正确； 对于 C， 2 22222 1 logloglogloglog2 24 ab abab ， 当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 C 不正确； 对于 D，因为 2 1212ababab ， 所以

23、 2ab ，当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 D 正确；故选：ABD 194 【解析】0,0,0abab ，1ab , 1188 2222 abab abababab 88 24 22 abab abab ，当且仅当ab=4 时取等号， 结合1ab ,解得 23,23ab ，或23,23ab时，等号成立. 故答案为：4 20 4 5 【解析】 224 51x yy0y 且 4 2 2 1 5 y x y 422 222 222 114144 +2 555555 yyy xyy yyy ， 当且仅当 2 2 14 55 y y ， 即 22 31 , 102 xy时 取等号. 22 xy的

24、最小值为 4 5 .故答案为： 4 5 . 217 【解析】不等式组所表示的可行域如图 因为32zxy，所以 3 22 xz y ，易知截距 2 z 越大，则z越大， 平移直线 3 2 x y ，当 3 22 xz y 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大， 由 2 1 yx x ，得 1 2 x y ，(1,2)A，所以 max 3 1227z .故答案为：7. 221 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数7zxy即： 11 77 yxz ， 其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值

25、， 联立直线方程： 220 10 xy xy ，可得点 A 的坐标为：()1,0A， 据此可知目标函数的最大值为： max 17 01z . 故答案为：1 23 9 2 . 【解析】由24xy，得242 2xyxy，得2xy (1)(21)22125559 22 22 xyxyxyxy xyxyxyxy ， 等号当且仅当2xy，即2,1xy时成立故所求的最小值为 9 2 24 2 ( 1, ) 3 【解析】 2 320 xx ， 即(1)(32)0 xx， 即 2 1 3 x ， 故x的取值范围是 2 ( 1, ) 3 254 3 【解析】 (1)(21)221,xyxyxy xyxy 0,0

26、,25,0,xyxyxy 2 2 326 4 3 xyxy xyxy ， 当且仅当3xy ，即3,1xy时成立，故所求的最小值为4 3 269 【解析】由题意可知， ABCABDBCD SSS ,由角平分线性质和三角形面积公式得 111 sin1201 sin601 sin60 222 acac ，化简得 11 ,1acac ac ，因此 1144 4(4)()5529, caca acac acacac 当且仅当23ca时取等号，则4ac的最小值为9. 273 【解析】作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 解析：作可行域，如图，平移直线2zyx， 由图可知直线2zyx过点 A

27、(1,2)时，z取最小值 3. 28 1 4 【解析】 由360ab可知36ab ， 且 3 1 222 8 aab b ， 因为对于任意x，2 0 x 恒成立，结合均值不等式的结论可得： 336 1 2222222 4 abab . 当且仅当 3 22 36 ab ab ，即 3 1 a b 时等号成立.综上可得 1 2 8 a b 的最小值为 1 4 . 29 1 ,2 8 【解析】当0 x 时， f xx即： 2 22xxax ，整理可得： 2 11 22 axx ， 由恒成立的条件可知： 2 max 11 0 22 axxx ， 结合二次函数的性质可知： 当 1 2 x 时， 2 ma

28、x 11111 22848 xx ，则 1 8 a ； 当30 x 时， f xx即： 2 22xxax ，整理可得： 2 32axx ， 由恒成立的条件可知： 2 min 3230axxx ， 结合二次函数的性质可知： 当3x 或0 x 时， 2 min 322xx ，则2a ； 综合可得a的取值范围是 1 ,2 8 ，故答案为 1 ,2 8 . 308 【解析】因为直线1(00) xy ab ab ， 过点(1,2)，所以 12 1 ab ， 因为00ab ， ，所以 1244 2222428 aba b abab abbaba ， 当且仅当 4ab ba ，即2,4ab时取等号，所以2a

29、b的最小值为 8 314 【解析】 4422 414111 42 44 aba b abab abababab ， （前一个等号成立条 件是 22 2ab，后一个等号成立的条件是 1 2 ab ，两个等号可以同时取得，则当 且仅当 22 22 , 24 ab时取等号）. 321, 2, 3 【解析】123, 1233 ，矛盾，所以1，2，3 可验证该命题是假命 题. 3330 【解析】总费用为 600900 464()4 2 900240 xx xx ，当且仅当 900 x x ，即 30 x 时等号成立故答案为 30. 348 【解析】 121244 12(2)()4428 baba abab abababab ，当且 仅当2ba时取等号. 353.1. 【解析】作出可行域如图阴影部分所示. 设z yx ,则y= x+z.当直线y= x+z经过点2, 1B时,z取最小值3，经过点 2,3A时,z取最大值1. 3628 【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线3zxy过点2,2A时z取最大值 max 23 28z ，过点4, 2B时z取最小值 min 4322z .