大学物理学全册配套完整精品课件2.ppt

1、大学物理学全册配套完整大学物理学全册配套完整 精品课件精品课件2 矢量及其运算矢量及其运算 位矢、位移、速度、加速度的定义位矢、位移、速度、加速度的定义 曲线运动的自然坐标系描述曲线运动的自然坐标系描述 运动学的两类问题运动学的两类问题 矢量：既有大小又有方向的量，如速度、力、位移等矢量：既有大小又有方向的量，如速度、力、位移等 标量：仅有大小而与空间方向无关的量，由单一的数和单标量：仅有大小而与空间方向无关的量，由单一的数和单 位描写，如质量、密度等位描写，如质量、密度等 A， ,A 矢量相等：矢量相等：A=B 矢量的表示：矢量的表示： A B 负矢量：负矢量：方向相反，大小相等方向相反，大

2、小相等 A AB B 00 = A AA AA A 模模单位矢量单位矢量 矢量加法（矢量加法（Vector Addition）：）： 矢量加法遵循平行四边形法则（或三角形法则）矢量加法遵循平行四边形法则（或三角形法则） ABC A B C 矢量加法的三角形法则，多矢量加法：矢量加法的三角形法则，多矢量加法： A B C 显然，矢量加法服从：显然，矢量加法服从： 交换律交换律 结合律结合律 ABBA ()()ABCABC 矢量减法（矢量减法（Vector Subtraction）：）： ()ABABD 解决了矢量加法，也就解决了矢量的减法。解决了矢量加法，也就解决了矢量的减法。 A B -B D

3、AB A B DAB 矢量和标量乘：矢量和标量乘： 结果是一个结果是一个矢量。（大小、方向？）矢量。（大小、方向？） 矢量和矢量乘：矢量和矢量乘： 点乘：结果是一个点乘：结果是一个标量。（大小？）标量。（大小？） 叉乘：结果是一个叉乘：结果是一个矢量。（大小、方向？）矢量。（大小、方向？） 矢量的点乘（矢量的点乘（Scalar Product）：）： cosA BAB B cos A B 表示：两个矢量的标积是一个表示：两个矢量的标积是一个标标 量量，其大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第，其大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第 一个矢量上的一个矢量上的投影投影。 是指这两个矢量的夹角

4、。是指这两个矢量的夹角。 cosA BAB 1) 2) 如果如果: 则则 反之亦成立。反之亦成立。 3 3）两个矢量平行、反平行时，）两个矢量平行、反平行时， 标积最大、最小。标积最大、最小。 A BB A 0ABA B A B sinA BCAB A BC C 两个矢量的矢积是一个两个矢量的矢积是一个矢量矢量，其，其大小大小是第一个矢量的是第一个矢量的 大小与第二个矢量的大小以及两矢量夹角的正弦值，大小与第二个矢量的大小以及两矢量夹角的正弦值， 这这三者的乘积三者的乘积，方向方向按按右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。 矢量与矢量与 、 矢量构成的矢量构成的 平面永远平面永远垂直！垂直！它的

5、意义它的意义 是是 、 矢量构成的平行四矢量构成的平行四 边形的有向面积。边形的有向面积。 C A A B B 1) 2) 如果如果: 则则 反之亦成立。反之亦成立。 3 3）两个矢量垂直时，矢积的模最大，方向）两个矢量垂直时，矢积的模最大，方向 按右手螺旋法则。按右手螺旋法则。 A BBA 0A BA B 一个矢量可以分解为两个或多个矢量之和。一个矢量可以分解为两个或多个矢量之和。 O Y X Ax Ay cos sin x y AA AA 例如：例如： 等等分法，但有意义的等等分法，但有意义的 是在特定的坐标系里分解。最常见的是直角坐标系。是在特定的坐标系里分解。最常见的是直角坐标系。 A

6、BCDEF A 22 xy AAAA 1 tan y x A A 因此，平面上的一个矢量，可以用其两个坐标因此，平面上的一个矢量，可以用其两个坐标 分量确定；也可以由其大小和方向确定。分量确定；也可以由其大小和方向确定。 O Y XAx Ay O Z Y X P Ay Az Ax xyzxyz OPAAAA iA jA k 单位矢量：单位矢量： (Unite vectors)i j k 矢量在空间直角坐标系中的分解矢量在空间直角坐标系中的分解 222 xyz AAAAA cos xx AAAA cos y AA 222 coscoscos1 cos z AA 一个矢量可以表示为三个分矢量之和；

7、也可以由其大一个矢量可以表示为三个分矢量之和；也可以由其大 小和三个方向角决定（四个变量？）。可以写为：小和三个方向角决定（四个变量？）。可以写为： O Z Y X P Ay Az Ax i j k 矢量的分量运算矢量的分量运算 (Vector Operation by Components) ()() ()()() xyzxy xxyyzz z AA iA jA kB iB jB k ijk B ABABAB xyz AA iA jA k xyz BB iB jB k () () xy xxy zxy yzz z A iA jA kB iB jB kA B A BA BA B 注意到如下关系

8、：注意到如下关系： 同样有关系：同样有关系： () () ()()() yzz xyzxy yzxxzxyyx z A B ABAB iABAB jABAB k AiA jAkB iB jB k 利用行列式，可表达为：利用行列式，可表达为： xyz xyz ijk A BAAA BBB 0 d()( ) lim d t AA ttA t tt 一个矢量既有大小又有方向一个矢量既有大小又有方向 0 AA A 因此：因此： 0 0 ddd ddd AA AA ttt A 显然可以区分为三种情况：显然可以区分为三种情况： l矢量的大小变化，矢量的方向不变矢量的大小变化，矢量的方向不变 l矢量的方向变

9、化，大小不变矢量的方向变化，大小不变 l矢量的大小和方向都发生变化矢量的大小和方向都发生变化 因为直角坐标系的基矢量永远不变！矢量的改变的只是矢量分因为直角坐标系的基矢量永远不变！矢量的改变的只是矢量分 量大小的变化，因此矢量对时间的变化率的形式就相对简单：量大小的变化，因此矢量对时间的变化率的形式就相对简单： xyz A iA jA k A d ddd dddd y xz A AA ijk tttt A 使用类似的方法可以处理矢量函数的积分。如矢量函数使用类似的方法可以处理矢量函数的积分。如矢量函数 A A( (t t) ) 对对 t t 的积分：的积分： ( )d( )d( )d( )d

10、xyz A ttA tt iA ttjA tt k 或：或： 2222 1111 ( )d( )d( )d( )d tttt xyz tttt A ttA tt iA ttjA tt k 参考系（参考系（Reference Frame） ： 确定一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物体系来确定，那确定一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物体系来确定，那 么这么这物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系。物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系。 坐标系（坐标系（Coordinates） ： 确定了参考系后，为了能够定量地描确定了参考系后，为了能够定量地描 述一个物体的运动，

11、必需在选定的参述一个物体的运动，必需在选定的参 考系上建立一个合适的坐标系考系上建立一个合适的坐标系 。常见。常见 的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、 球坐标系、柱坐标系、极坐标系等。球坐标系、柱坐标系、极坐标系等。 参考系参考系 r z y x o 质点（质点（Particle）:将宏观物理抽象为只有质量而不计大小、形状的将宏观物理抽象为只有质量而不计大小、形状的 点（粒子），是力学中的一个重要的理想模型。点（粒子），是力学中的一个重要的理想模型。 质点系（质点系（Particle System）：很多质点按一定规律组成的一个质点：很多质点按一定规律组成的一

12、个质点 系统。通过描述质点系中所有质点的系统。通过描述质点系中所有质点的 运动情况，从而了解整个质点系的运运动情况，从而了解整个质点系的运 动（求和，积分）。动（求和，积分）。 地球的运动：地球的运动： 公转：质点模型公转：质点模型 自转：质点系模型自转：质点系模型 位矢用坐标值表示为：位矢用坐标值表示为： k zj yi xr 222 zyxr cos, cos, cos xyz rrr 从坐标原点从坐标原点o出发，指向质点所在位置出发，指向质点所在位置 P 的一有向线段。的一有向线段。 P(x,y,z) r z y x o 运动方程（运动方程（Motion Equation）：）： ( )

13、( )( )( )r tx t iy t jz t k 矢量形式：矢量形式： 参数形式：参数形式： ( ) ( ) ( ) xx t yy t zz t 轨道方程（轨道方程（ Track Equation ）：）： ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z 消去时间消去时间 参数（参数（t） 设质点作曲线运动设质点作曲线运动 t 时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢 t t时刻位于时刻位于B点，位矢点，位矢 ( )r t ()r tt 在在 t时间内，时间内，位矢的变化量位矢的变化量（即（即A到到B的有向线段）称为的有向线段）称为位移位移；而；而 A到到B路径的长度

14、路径的长度 s称为称为路程路程。 ()( )rr ttr t z y x o r(t) r(tt) r A B s 显然：显然： rs 平均速度：刻画速度平均速度：刻画速度t 时间内平均变化率时间内平均变化率 在在 t 时间内发生位移时间内发生位移r 则平均速度：则平均速度： r v t 瞬时速度：刻画瞬时速度：刻画 t 时刻速度的即时变化率时刻速度的即时变化率 0 d d lim t rr v tt A r(t) o B r(tt) r B B d dt r 显然，显然， 和和 曲线的斜率有一一对应关系！曲线的斜率有一一对应关系！v ( )r t 在在 t 时间内，质点所经过时间内，质点所经

15、过 路程路程 s对时间的对时间的变化率变化率: s v t 平均速率：平均速率： 瞬时速率：瞬时速率： 0 d d lim t ss v tt 一般情况：一般情况： rsvv ， 当当 t0时：时： d , d , dd , rrssrsvv s r B A o 速度在直角坐标系中的解析表示：速度在直角坐标系中的解析表示： d ( )d ( )d ( ) ddd x ty tz t vijk ttt ( )( )( )( )r tx t iy t jz t k d ( ) d d ( ) d d ( ) d x y z x t v t y t v t z t v t 加速度是反映速度变化的物理

16、量加速度是反映速度变化的物理量 t1时刻，质点速为时刻，质点速为 t2时刻，质点速度为时刻，质点速度为 1 v 2 v t时间内，速度增量为：时间内，速度增量为： 12 vvv 2 sm t v a 平均加速度的方向与速度增量的方向一致平均加速度的方向与速度增量的方向一致 x o z y 1 v 2 v 1 v 2 v v 当当 t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。 2 2 2 0 dd m/s dd lim t vvr a ttt d ddd dddd y xz v vvv aijk tttt kajaia zyx 222 222 ddd ddd xy

17、z ijk ttt 222 222 d ddddd dddddd y xz xyz v vvxyz aaa tttttt 222 zyx aaaa 当当 t 趋向零时，速度增量趋向零时，速度增量 的极限方向的极限方向v 平面自然坐标系平面自然坐标系“自然地自然地”选取坐标曲线上的选取坐标曲线上的切向和法向切向和法向为基矢。为基矢。 切向基矢切向基矢 ，它的方向是质点所在处的轨道曲线的切向并沿质点前，它的方向是质点所在处的轨道曲线的切向并沿质点前 进的方向。另一个法向基矢进的方向。另一个法向基矢 ，沿轨道曲线在该点处的法向并指向，沿轨道曲线在该点处的法向并指向 曲线凹的一侧曲线凹的一侧 。 n

18、“自然坐标系自然坐标系”就是直接选取沿着就是直接选取沿着 轨道曲线的坐标系。选定该曲线上轨道曲线的坐标系。选定该曲线上 一个定点为坐标原点一个定点为坐标原点o，以曲线上某，以曲线上某 点到原点点到原点o之间的曲线长度也即弧长之间的曲线长度也即弧长s 为坐标参量，并规定自原点向质点为坐标参量，并规定自原点向质点 运动方向的一侧运动方向的一侧s为正，另一侧为正，另一侧s为负。为负。 s o n Q P s n s A B B A B C r ddrs 无限小位移无限小位移dr沿曲线切向基矢沿曲线切向基矢 的方向的方向 ，故：，故： 1, s r , s r 00 d1 limlim d tt sv

19、 ttt rr 在轨道上取非常接近的两点在轨道上取非常接近的两点A、B，这两点间弧长，这两点间弧长 s足够小，以致足够小，以致 可以看作是一段圆弧（实际为可以看作是一段圆弧（实际为A处的曲率圆的一部分）。那么处的曲率圆的一部分）。那么A、B 两点的法线的交点两点的法线的交点C就是这段圆弧的圆心。我们称就是这段圆弧的圆心。我们称C为为A点处曲线的点处曲线的 曲率中心。曲率中心。C、A间的距离为间的距离为r，称为曲线在，称为曲线在A点处的曲率半径。点处的曲率半径。 的方向指向曲率中心。的方向指向曲率中心。 d dt 因此在自然坐标系中，加速度可以表示为：因此在自然坐标系中，加速度可以表示为： 例：

20、抛体运动例：抛体运动 a n a gm 圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为r。 d d v a t r v an 2 0, =0a r v aa n 2 d (rad s) dt 0 d (rad s) d lim t tt dd()d ddd vr arr ttt 第一类问题是已知质点运动方程第一类问题是已知质点运动方程rr(t)，求任意时刻质点的位矢、，求任意时刻质点的位矢、 速度和加速度，速度和加速度，这主要是进行微分运算。这主要是进行微分运算。 例例1 一质点在一质点在 x-y 平面上运动，运动方程为：平面上运动，运动方程为：x

21、=t+5，y=t2+3t-4。式。式 中，中，t 的单位为秒（的单位为秒（s），坐标），坐标x、y的单位为米（的单位为米（m），求：），求： （1）质点运动的轨迹方程；）质点运动的轨迹方程； （2）t = 2s时质点的位置矢量；时质点的位置矢量； （3）质点从）质点从t =1s到到t =2s间的位移；间的位移； （4）质点的速度和加速度。）质点的速度和加速度。 （1）将参数形式的运动方程）将参数形式的运动方程 : 2 5 34 xt ytt 第一式第一式 tx5 代入第二式，消去时间即得轨迹方程：代入第二式，消去时间即得轨迹方程： 2 76yxx （2） （3） （4） 2 222 ( )|(

22、5)|(34)|76 (m) ttt ttittjij r (2)(1)(76 )66 (m)ttijiij rrr d (23) d itj t r v 2 d 2 (m s ) d j t v a 在运动学第一类问题中，有时没有显含时间的运动方程，在运动学第一类问题中，有时没有显含时间的运动方程， 这时需要通过一些几何关系构造等式，再通过对等式两这时需要通过一些几何关系构造等式，再通过对等式两 边同时求导得到质点运动的速度或加速度。边同时求导得到质点运动的速度或加速度。 例例2 如图所示，湖中一小船，岸边有人用绳子跨过离水面高如图所示，湖中一小船，岸边有人用绳子跨过离水面高h处的处的 滑轮

23、拉船，人以恒定速率滑轮拉船，人以恒定速率v0收绳，试求船离岸的距离为收绳，试求船离岸的距离为 时，时， 船的速度和加速度。船的速度和加速度。 3h v0 h l v0 h l o x x 解：建立坐标系，设小船位解：建立坐标系，设小船位 置为置为x，船到滑轮的距离为，船到滑轮的距离为l， 由于小船可看作质点在水面由于小船可看作质点在水面 上运动，上运动，所以其速度和加速所以其速度和加速 度均在度均在x方向方向。由勾股定理。由勾股定理 得得 ： 222 xhl 2 2 0 3 d d vh av tx 2 00 33 21 |, | 33 3 xhxh vvav h 22 0 dd dd xll

24、xh vv tx tx l 随时间变小随时间变小 第二类问题是已知加速度第二类问题是已知加速度a = a(t)及运动的初始条件及运动的初始条件(即即t = 0时的时的 位矢位矢r0及初速度及初速度v0)，求任意时刻质点的速度和位矢。这是第一类，求任意时刻质点的速度和位矢。这是第一类 问题的逆运算，问题的逆运算，需要用积分求解。需要用积分求解。 例例3 一质点在一质点在xy平面上运动，其加速度为平面上运动，其加速度为a 5t2i 3j。已知。已知 t 0 时，时， 质点静止于坐标原点。求在任一时刻该质点的速度、位置矢质点静止于坐标原点。求在任一时刻该质点的速度、位置矢 量（运动方程）和轨迹方程。

25、量（运动方程）和轨迹方程。 2 53t ij a 00 0, 0, 0t vr 23 0 000 5 d(5 d )(3d )3 3 ttt ttt it jt itj vva 342 0 000 553 d(d )(3d ) 3122 ttt ttt it t jt it j rrv 将位置矢量方程（运动方程）的参数方程式消去参数将位置矢量方程（运动方程）的参数方程式消去参数 t ，即，即 可求得轨迹方程为：可求得轨迹方程为： 2 5 27 xy 4 2 5 12 3 2 xt yt 消去参数消去参数 t 得：得： 显然，运动的轨迹为抛物线。显然，运动的轨迹为抛物线。 动量、冲量、动量定理与

26、动量守恒定律动量、冲量、动量定理与动量守恒定律 动能、势能、机械能动能、势能、机械能 动能定理、功能原理与机械能守恒动能定理、功能原理与机械能守恒 质点的角动量、角动量定理与角动量守恒质点的角动量、角动量定理与角动量守恒 任何物体都将保持静止或沿一直线作匀速运动的状任何物体都将保持静止或沿一直线作匀速运动的状 态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。 动量动量(momentum)： “运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在这力所运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在这力所 沿直线的方向上。沿直线的方向上。” “运动的量是用速度和质量一起来度量的运动的

27、量是用速度和质量一起来度量的”。 （1） 质点质点 惯性系惯性系 （2） 瞬时性瞬时性 矢量性矢量性 （3） m 不变时，不变时， （4）力为合力，）力为合力， 12n FFFF Fma pmv “每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者 说，两个物体之间的相互作用永远相等，并且指向对说，两个物体之间的相互作用永远相等，并且指向对 方。方。” 除万有引力外，几乎所有宏观力都是电除万有引力外，几乎所有宏观力都是电 磁力。长程力。磁力。长程力。 强度仅为电磁力的强度仅为电磁力的1/1037 原子核内的短程力，其强度是电磁力的百原子核内的短程力，其强度

28、是电磁力的百 倍。力程约为倍。力程约为10-15m 存在于基本粒子之间，强度只是强力的一百存在于基本粒子之间，强度只是强力的一百 万亿分之一。力程：约为万亿分之一。力程：约为10-17m 已知质点的运动规律，即已知质点的运动学方已知质点的运动规律，即已知质点的运动学方 程程 ，求作用于质点的力。将运动学方程对时间，求作用于质点的力。将运动学方程对时间 求二阶导数，算出质点的加速度，进而便可求得作用求二阶导数，算出质点的加速度，进而便可求得作用 于质点的力。于质点的力。 ( )rr t 例例1 一个质量为一个质量为m的质点在的质点在xy平面上运动，运动方程为：平面上运动，运动方程为： 式中式中A

29、、B、w为常数，求物体受到的作用力。为常数，求物体受到的作用力。 sin()cos()rAt iBt j 解：解：由牛顿第二定律由牛顿第二定律 2 d d r Fmam t 2 2 22 2 d sin()cos() d sin()cos() FmAt iBt j t mAt imBt j mr 已知作用于质点的力和已知作用于质点的力和初始条件初始条件，求质点的运动现律。，求质点的运动现律。 这类问题情况比较复杂，须据受力情况来定：如果力这类问题情况比较复杂，须据受力情况来定：如果力 是恒力，或是时间、速度的函数，这时，或用是恒力，或是时间、速度的函数，这时，或用“隔离隔离 体法体法”求解，或

30、对动力学方程分离变量后积分；如果求解，或对动力学方程分离变量后积分；如果 力是坐标的函数，则需先作变量变换，再利用分离变力是坐标的函数，则需先作变量变换，再利用分离变 量求积分的方法来解决。量求积分的方法来解决。 0 0 0 dd L v m vk s d dd d dd vsv mmvkv sts 作如下变换作如下变换 ： 分离变量后两边积分，并设所能前进的最大距离为分离变量后两边积分，并设所能前进的最大距离为L： 即可解得：即可解得： 0 m Lv k 例例2 质量为质量为m的轮船在停靠码头之前停机，这时轮船的速率为的轮船在停靠码头之前停机，这时轮船的速率为v0。 设水的阻力与轮船的速率成

31、正比，比例系数为设水的阻力与轮船的速率成正比，比例系数为k，求轮船在发，求轮船在发 动机停机后所能前进的最大距离。动机停机后所能前进的最大距离。 d d v mkv t 解：解： （式中负号表示力和速度的方向相反（式中负号表示力和速度的方向相反 ） 将一个实际问题（对应一个有限过程）将一个实际问题（对应一个有限过程）分解为无限多个无限小的分解为无限多个无限小的 过程（元过程），过程（元过程），通过对其中一个一般的元过程的研究得到结论，通过对其中一个一般的元过程的研究得到结论， 并将该结论对整个有限的过程进行叠加（积分），从而得到问题并将该结论对整个有限的过程进行叠加（积分），从而得到问题 的解

32、，这是物理学研究问题的一般方法。的解，这是物理学研究问题的一般方法。 将牛顿第二定律改写为：将牛顿第二定律改写为： ddF tp 式中乘积式中乘积 表示力表示力 在在 dt 时间内的积累，称为在时间内的积累，称为在 dt 时间内时间内 质点所受合外力质点所受合外力F的冲量。的冲量。 上式表明，上式表明，质点所受合外力在质点所受合外力在dt时间内的冲量等于同一时间内时间内的冲量等于同一时间内 质点动量的增量，也称为动量定理的微分形式质点动量的增量，也称为动量定理的微分形式 。 dF t F 0 d t t IF t 令：令： ，表示力，表示力 在在 t0 到到 t 内的冲量（内的冲量（impul

33、se） 我们可以得到动量定理的积分形式：我们可以得到动量定理的积分形式： 0 Ipp 通常情况下，冲量的方向与动量的方向不相同，而是与动量通常情况下，冲量的方向与动量的方向不相同，而是与动量 增量的方向相同。由力的冲量（增量的方向相同。由力的冲量（I）、质点的初动量（）、质点的初动量（p0）和）和 末动量（末动量（p）三者组成一个）三者组成一个矢量三角形矢量三角形。 如果整个过程持续的时间为如果整个过程持续的时间为从从 t0 时刻到时刻到 t 时刻时刻，我们将上述结，我们将上述结 论对整个过程进行叠加得到：论对整个过程进行叠加得到： F 冲量和动量都是矢量，我们可以将动量定理在直角坐标系中进冲

34、量和动量都是矢量，我们可以将动量定理在直角坐标系中进 行分解，得到的分量式为：行分解，得到的分量式为： 2 121 2121 d t t F t pp F tttt t0t F t F 平均冲力常用来估算碰撞、冲击过平均冲力常用来估算碰撞、冲击过 程中的作用力。程中的作用力。 由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。 我们将牛顿我们将牛顿 第二定律应用在由两个质点组成的质点系上：第二定律应用在由两个质点组成的质点系上： 12 f 21 f m 2 m 1 1 F 2 F 1 112 2 221 d d d d p Ff t p Ff t 1221

35、 0ff 由于：由于：，容易得：，容易得： 12 1212 ddd () ddd pp FFpp ttt 很容易将上式推广到很容易将上式推广到 N 个质点所组成的质点系个质点所组成的质点系的情况的情况 ： 111 d d NNNN iiji iij ii Ffp t 1 0 NN ij ij i f 11 d d NN ii ii Fp t 质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分形式 ： 令：令： 1 N i i pp ，为质点系内所有质点动量的和，为质点系内所有质点动量的和 1 N i i FF 令：令：，为系统所受合外力，为系统所受合外力 则：则： 显然，外力可以改变系统的总动量，而

36、内力不会影响系统的显然，外力可以改变系统的总动量，而内力不会影响系统的 总动量，但是内力可以使系统内部各质点之间进行动量交换。总动量，但是内力可以使系统内部各质点之间进行动量交换。 如果质点系所受外力的矢量和为零如果质点系所受外力的矢量和为零 ，即：，即： 1 0 N i i FF 则：则： 由于力和动量都是矢量，因此动量守恒定律在直角坐标系中可由于力和动量都是矢量，因此动量守恒定律在直角坐标系中可 以表示为：以表示为： 例例3 质量为质量为m的匀质柔软链条，全长为的匀质柔软链条，全长为L，手持一端，使下端离地，手持一端，使下端离地 面的高度为面的高度为h，然后由静止释放，让其自由下落到地面。

37、求链，然后由静止释放，让其自由下落到地面。求链 条落在地面上的长度为条落在地面上的长度为L/3时，地面所受链条的作用力大小时，地面所受链条的作用力大小 。 L-l + L h 链条落到地上链条落到地上 l 后，其速度大小为后，其速度大小为 v，考虑此时的一元过程：，考虑此时的一元过程：在在dt 时时 间内，落下一小段间内，落下一小段dl，其速度大小，其速度大小 由由v变为变为0，设此时链条受到地面的设此时链条受到地面的 冲力的大小为冲力的大小为 f。 以向下的方向为正方向，由动量定以向下的方向为正方向，由动量定 理得：理得： 0(d )d m l vf t L 2 ()vg hl 解：解： d

38、 d ml fv Lt 2 2() mm vg hl LL 地面受到链条的作用力为地面受到链条的作用力为 f 的反作用力和重力的和，设为的反作用力和重力的和，设为F： ()(23 ) mmg Ffl ghl LL FfG 其大小为：其大小为： 当链条落在地面上的长度为当链条落在地面上的长度为L/3时：时： 2hL Fmg L 例例4 不考虑空气的阻力并将重力看作恒力，分析火箭上升过程中不考虑空气的阻力并将重力看作恒力，分析火箭上升过程中 速度大小的变化。速度大小的变化。 解：解：令竖直向上为正方向。考虑某一时刻，火箭令竖直向上为正方向。考虑某一时刻，火箭 和燃料的总质量及速度分别为：和燃料的总

39、质量及速度分别为：m，v，考察此时，考察此时 的一个元过程：经的一个元过程：经dt 时间后，火箭以对地喷射速时间后，火箭以对地喷射速 度度u喷射喷射dm的燃料，同时火箭速度为的燃料，同时火箭速度为vdv。对该。对该 元过程应用动量定理得：元过程应用动量定理得： ddddmmvvu mmvmg t c vuv令：令：表示燃料相对火箭的喷射速度，表示燃料相对火箭的喷射速度， 又称喷气速度又称喷气速度 ，由火箭的发，由火箭的发 动机决定。动机决定。 则：则：ddd c m vv mmg t 解：解： 设发射的一瞬间，火箭和燃料的总质量为设发射的一瞬间，火箭和燃料的总质量为M0，燃料喷射完后，燃料喷射

40、完后， 火箭的质量为火箭的质量为Mf ，速度大小为，速度大小为v，经历的时间为，经历的时间为tf 0 00 d dd ff vMt c M m vvgt m 0 ln cf f M vvgt M 如何提高火箭的末态速度？如何提高火箭的末态速度？ dr F a b 考察其中一个元过程，由于在此元过程考察其中一个元过程，由于在此元过程 中，位移趋于中，位移趋于0，因而此元过程经历的时，因而此元过程经历的时 间也必然趋于间也必然趋于0。 因此，可以认为该元过程的位移为一直因此，可以认为该元过程的位移为一直 线，此元过程中的力也可以看做恒力。线，此元过程中的力也可以看做恒力。 元功元功任一元过程中力的

41、功。它定义为：任一元过程中力的功。它定义为： 任意一个有限的过程都可以看作无限多的元过程的和，因此任意任意一个有限的过程都可以看作无限多的元过程的和，因此任意 一个有限过程的功就是元功的和，这个和就是元功的积分：一个有限过程的功就是元功的和，这个和就是元功的积分： 在直角坐标系中，上式可以表示为：在直角坐标系中，上式可以表示为： () (ddd) (ddd ) b xyz a b xyz a AF iF jF kxiyjzk F xF yF z 合力合力 的功：的功： i i FF 功率功率 功对时间的变化率，表示做功的快慢，单位为瓦特（功对时间的变化率，表示做功的快慢，单位为瓦特（W） 用用

42、dr点乘牛顿第二定律等式的两边得：点乘牛顿第二定律等式的两边得： 2 d1 ddd()d() d2 p Frrmvvmv t 将上式两边对一个有限过程积分得：将上式两边对一个有限过程积分得： 显然，显然， 是一个状态量。我们定义它为质点的动能：是一个状态量。我们定义它为质点的动能： 2 1 2 mv ha hb a b dr m G y x o d b a AGr () (dd) b a mgjxiyj d() b a h ba h mg ymghmgh 重力做功的特点：重力做功的特点： 状态量：状态量：mgh() ba Amghmgh Fkxi 状态量：状态量： 2 1 2 kx 22 11

43、 () 22 ba kxkxA M m r a b dl F drr a r b r r 0 22 dddd cos MmMm AFlGrlGl rr 0 2 Mm FGr r 2 d Mm Gr r 2 d() b a r r ba MmMmMm AGrGG rrr 状态量：状态量： Mm G r dd bb ab aa fsf sf s sab为从为从a点到点到b点的路径长度。点的路径长度。 质点在粗糙的水平面内运动，所受的滑动摩擦力为质点在粗糙的水平面内运动，所受的滑动摩擦力为 f ，当质，当质 点沿着任意路径点沿着任意路径s从从a点到点到b点时，摩擦力做的功：点时，摩擦力做的功： v

44、f a b 按力做功的特点，可以将力分为两类。按力做功的特点，可以将力分为两类。 一类是一类是力做功与具体路径无关力做功与具体路径无关，这样的力我们称为保守力（万，这样的力我们称为保守力（万 有引力、重力、弹性力、静电场力有引力、重力、弹性力、静电场力 ）；）； 另一类是另一类是力做功与具体路径有关力做功与具体路径有关，这种力称为非保守力（摩擦，这种力称为非保守力（摩擦 力）。力）。 a b c d 保守力做功与路径无关，可以用数学表达式表示：保守力做功与路径无关，可以用数学表达式表示： 由保守力做功的特点可知，在保守力场中，质点在不同的位置具由保守力做功的特点可知，在保守力场中，质点在不同的

45、位置具 有不同的能量状态。因此，保守力场中储藏着一种能量，这种能有不同的能量状态。因此，保守力场中储藏着一种能量，这种能 量是位置的函数量是位置的函数与与位置有关位置有关的能量，称为的能量，称为势能或位能势能或位能，用，用Ep 表示。表示。 保守力的功与势能变化的关系为：保守力的功与势能变化的关系为：() pbpap AEEE 重力势能：重力势能： p Emgh 弹簧弹性力势能：弹簧弹性力势能： 2 1 2 p Ekx 万有引力势能：万有引力势能： p Mm EG r 虽然势能的零点是可以随意取的，但是度量势能零点的坐虽然势能的零点是可以随意取的，但是度量势能零点的坐 标改变时，可能导致势能的

46、函数形式改变。标改变时，可能导致势能的函数形式改变。 势能是属于系统的，而不属于系统中个别质点。势能是属于系统的，而不属于系统中个别质点。 势能的数值是相对的，势能的大小与势能零点的选取有关，势能的数值是相对的，势能的大小与势能零点的选取有关， 零点选取不同，势能的多少也不同。零点选取不同，势能的多少也不同。 从函数形式看，万有引力势能、重力势能和弹性势零点能都有从函数形式看，万有引力势能、重力势能和弹性势零点能都有 天然的坐标与其对应。天然的坐标与其对应。 势能与保守力做功紧密相连，保守力做正功，势能减少，动势能与保守力做功紧密相连，保守力做正功，势能减少，动 能增加；保守力做负功，势能增加

47、，动能减少。能增加；保守力做负功，势能增加，动能减少。 如，对于重力势能，我们可以取坐标如，对于重力势能，我们可以取坐标h0处为势能零点，则任意处为势能零点，则任意 一点（坐标为一点（坐标为h）的重量势能为：）的重量势能为： 00 () p Emghmghmg hh 如果令：如果令： 0 hhh p Emgh 显然，我们可以通过坐标平移，令显然，我们可以通过坐标平移，令h0 处为新的坐标原点，在新处为新的坐标原点，在新 的坐标系中，重力势能的函数形式不变。的坐标系中，重力势能的函数形式不变。 则：则： 但是，万有引力势能和弹性势能的函数形式却不满足坐但是，万有引力势能和弹性势能的函数形式却不满

48、足坐 标平移不变。标平移不变。 又如，对于弹簧的弹性势能，我们可以令又如，对于弹簧的弹性势能，我们可以令x0处为势能零点，处为势能零点， 同时令：同时令： 0 xxx 222 0 111 222 p Exx x 例例5 对于重力场中的竖直弹簧振子，当取振子的平衡位置为弹对于重力场中的竖直弹簧振子，当取振子的平衡位置为弹 性势能和重力势能的共同零点时，则振子在任意位置的势能和性势能和重力势能的共同零点时，则振子在任意位置的势能和 是多少？是多少？ 振子的势能包括弹簧的弹性势能和重力振子的势能包括弹簧的弹性势能和重力 势能。振子平衡时，设弹簧伸长为势能。振子平衡时，设弹簧伸长为a。 在弹簧在任意位

49、置在弹簧在任意位置x时：时： kamg 22 11 () 22 p Emgxk xaka 2 1 2 mgxkxkax 2 1 2 p Ekx 该结论可简化对竖直弹簧振子能量问题的讨论该结论可简化对竖直弹簧振子能量问题的讨论 x a 0 o x 考虑由考虑由N个质点组成的质点系，将质点的动能定理应用于系统个质点组成的质点系，将质点的动能定理应用于系统 中的第中的第i个质点：个质点： 22 11 22 iiibiia Amvmv iii AAA 外力内力 对所有质点求和，得：对所有质点求和，得： 22 11 22 iiiibiia iiii AAmvmv 外力内力 令：令： 22 11 22 i

50、i ii kaiiakbiib ii AAAA EmvEmv 外力外力内力内力 ， ， 分别为系统外力功的代分别为系统外力功的代 数和与内力功的代数和数和与内力功的代数和 分别为系统始、末两分别为系统始、末两 状态的总动能的和状态的总动能的和 kbkak AAEEE 外力内力 系统内的内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反。设一对内系统内的内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反。设一对内 力力 fij 和和 fji 分别作用于质点分别作用于质点 i 和质点和质点 j 上，位移为上，位移为dri 和和 drj ，则这对，则这对 内力的功为：内力的功为： ddddd()d ijijijijij