2020年数学一轮复习考点与题型总结:选修4-5 不等式选讲-高考.pdf
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1、第 1页/共 19页 一、基础知识一、基础知识 1绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|ab|a|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0 时, 等号成立 |a|b|ab|a|b|,当且仅当|a|b|且 ab0 时,左边等号成立,当且仅当 ab0 时, 右边等号成立. 2绝对值不等式的解法 (1)|x|a 型不等式的解法 不等式a0a0a0 |x|ax|axax|xa 或 x0)型不等式的解法: |axb|ccaxbc; |axb|caxbc 或 axbc. |xa|xb|c 和|xa|xb|
2、c 型不等式的解法及体现数学思想 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 第一节第一节 绝对值不等式绝对值不等式 选修选修 45 不等式选讲不等式选讲 微信公众号学起而飞 第 2页/共 19页 (1)画出 yf(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1 的解集 解(1)由题意得 f(x) x4,x1, 3x2,13 2, 故 yf(x)的图象如图所示 (2)由 f(x)的函数表达式及图象可知, 当 f(x)1 时,可得 x1 或 x3; 当 f(x)1 时,可得 x1
3、3或 x5. 故 f(x)1 的解集为x|1x3, f(x)1 的解集为 x|x5. 所以|f(x)|1 的解集为 x|x 1 3或 1x5. 题组训练 1解不等式|x1|x1|2. 解:当 x1 时, 典例(2016全国卷)已知函数 f(x)|x1|2x3|. 考点一考点一绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 微信公众号学起而飞 第 3页/共 19页 (2)由|xa|3x0,可得 xa, 4xa0 或 xa, 2xa0, 即 xa, xa 4 或 x0 时,不等式的解集为 x|x a 2. 由a 21,得 a2. 当 a0 时,不等式的解集为x|x0,不合题意 当 a0 时,不等式的解集为
4、x|x a 4. 由a 41,得 a4. 不等式的解集为x|2x0 解得2x0, 两边平方,化简整理得 x22x0, 法二:由 f(x)3x|2x1|,得|x1|2x1|, 不等式的解集为x|2x0 当 x2 1时,1x(2x1)0,得2x1 时,x1(2x1)0,得 x2,无解; 法一:由 f(x)3x|2x1|,得|x1|2x1|0, 解:(1)当 a1 时,f(x)|x1|3x. (2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1,求 a 的值 (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3x|2x1|的解集; 2(2019沈阳质检)已知函数 f(x)|xa|3x,其中 aR. 综上,不等式|x1|
5、x1|2 的解集为1,1 解得 x1,又因为 x1,故无解; 原不等式可化为 x1x12, 当 x1 时, 原不等式可化为 x11x22,恒成立; 当1x1 时, 解得 x1,又因为 x1,故无解; 原不等式可化为x11x2, 微信公众号学起而飞 第 4页/共 19页 即 x1 2, 2x1x1 或 0 x1 2, 12xx1 或 x0, 12xx1, 得1 2x2 或 0 x 1 2或无解 故不等式 f(x)|x|1 的解集为x|0 x2 (2)证明:f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y 1|21 3 1 6 5 61. 故不等式 f(x)1 得证
6、 解题技法绝对值不等式性质的应用 利用不等式|ab|a|b|(a,bR)和|ab|ac|cb|(a,bR),通过确定适当的 a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式 题组训练 1求函数 f(x)|x2 019|x2 018|的最大值 解:因为 f(x)|x2 019|x2 018|x2 019x2 018|4 037, 所以函数 f(x)|x2 019|x2 018|的最大值为 4 037. 2若 x1,1,|y|1 6,|z| 1 9,求证:|x2y3z| 5 3. 证明:因为 x1,1,|y|1 6,|z| 1 9, 所以|x2y3z|x|2|y|3|z|12
7、1 63 1 9 5 3, 所以|x2y3z|5 3成立 考点三考点三绝对值不等式的综合应用绝对值不等式的综合应用 典例(2018合肥质检)已知函数 f(x)|2x1|. 解(1)f(x)|x|1,|2x1|x|1, (2)若对 x,yR,有|xy1|3 1,|2y1| 6 1,求证:f(x)1. (1)解不等式 f(x)|x|1; 典例(2019湖北五校联考)已知函数 f(x)|2x1|,xR. 考点二考点二绝对值不等式性质的应用绝对值不等式性质的应用 综上,a2 或 a4. 微信公众号学起而飞 第 5页/共 19页 则 x1 2, 2x12x11 或 1 2x 1 2, 12x2x11 或
8、 x1 2, 12x2x11, 解得 x1 2或 1 4x 1 2,即 x 1 4, 所以原不等式的解集为 1 4,. (2)由条件知,不等式|2x1|2x1|(|2x1|2x1|)min即可 由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x(2x1)|2,当且仅当(12x)(2x 1)0,即 x 1 2, 1 2 时等号成立,故 m2.所以 m 的取值范围是(2,) 解题技法两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化 把存在性问题转化为求最值问题; 不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题; 不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题,此类问题都可转化为最值问 题,即 f(x)a 恒成立af(
9、x)max,f(x)a 恒成立af(x)min. (2)求最值 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: 利用绝对值的几何意义; 利用绝对值三角不等式,即|a|b|ab|a|b|; 利用零点分区间法 题组训练 1(2018全国卷)设函数 f(x)5|xa|x2|. (1)当 a1 时,求不等式 f(x)0 的解集; (2)若 f(x)1,求 a 的取值范围 解:(1)当 a1 时,f(x) 2x4,x2. 当 x1 时,由 2x40,解得2x1, 当1x2 时,显然满足题意, 解(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1, (2)若关于 x 的不等式 f(x)mf(x1)的解集不是空集,
10、求 m 的取值范围 (1)解关于 x 的不等式 f(x)f(x1)1; 微信公众号学起而飞 第 6页/共 19页 而|xa|x2|a2|,且当 x2 时等号成立 故 f(x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4 可得 a6 或 a2. 所以 a 的取值范围是(,62,) 2(2018广东珠海二中期中)已知函数 f(x)|xm|2x1|(mR),若关于 x 的不等式 f(x)|2x1|的解集为 A,且 3 4,2 A,求实数 m 的取值范围 解: 3 4,2 A, 当 x 3 4,2时,不等式 f(x)|2x1|恒成立, 即|xm|2x1|2x1|在 x 3 4,2上恒成立, |xm|2x12x
11、1, 即|xm|2 在 x 3 4,2上恒成立, 2xm2, x2mx2 在 x 3 4,2上恒成立, (x2)maxm(x2)min, 11 4 m0,故实数 m 的取值范围是 11 4 ,0 . 课时跟踪检测课时跟踪检测 1求不等式|2x1|2x1|6 的解集 解:原不等式可化为 x1 2, 2x12x16. 解得3 2x 3 2, (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4. 故 f(x)0 的解集为x|2x3 当 x2 时,由2x60,解得 2x3, 微信公众号学起而飞 第 7页/共 19页 即原不等式的解集为 x| 3 2x 3 2. 2已知函数 f(x)|x4|xa|(aR)的最小值
12、为 a. (1)求实数 a 的值; (2)解不等式 f(x)5. 解:(1)f(x)|x4|xa|a4|a, 从而解得 a2. (2)由(1)知,f(x)|x4|x2| 2x6,x2, 2,2x4, 2x6,x4. 故当 x2 时,由2x65,得1 2x2; 当 24 时,由 2x65,得 41 的解集; (2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立,求 a 的取值范围 解:(1)当 a1 时,f(x)|x1|x1|, 即 f(x) 2,x1, 2x,1x1 的解集为 x|x 1 2. (2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax1|0,则|ax1|1 的
13、解集为 x|0 x 2 a, 所以2 a1,故 0a2. 综上,a 的取值范围为(0,2 4设函数 f(x)|3x1|ax3. (1)若 a1,解不等式 f(x)4; (2)若 f(x)有最小值,求实数 a 的取值范围 解:(1)当 a1 时,f(x)|3x1|x34, 微信公众号学起而飞 第 8页/共 19页 即|3x1|1x, x13x11x,解得 0 x1 2, 所以 f(x)4 的解集为 0,1 2 . (2)因为 f(x) 3ax2,x1 3, a3x4,xx; (2)若关于 x 的不等式 f(x)a22a 的解集为 R,求实数 a 的取值范围 解:(1)原不等式等价于 f(x)x0
14、,不等式 f(x)x0 可化为|x2|x|x1|, 当 x(x1),解得 x3,即3xx1,解得 x1,即1x2 时,x2xx1,解得 x3,即 x3, 综上所述,不等式 f(x)x0 的解集为x|3x3 (2)由不等式 f(x)a22a 可得|x2|x1|a22a, |x2|x1|x2x1|3,当且仅当 x(,1时等号成立, a22a3,即 a22a30,解得 a1 或 a3. 实数 a 的取值范围为(,13,) 6已知函数 f(x)|xa|x1|. (1)若 a2,求不等式 f(x)x2 的解集; (2)如果关于 x 的不等式 f(x)2 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围 解:(1)
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