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类型2020年数学一轮复习考点与题型总结:选修4-5 不等式选讲-高考.pdf

  • 上传人(卖家):汀枫
  • 文档编号:1679549
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    资源描述:

    1、第 1页/共 19页 一、基础知识一、基础知识 1绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|ab|a|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0 时, 等号成立 |a|b|ab|a|b|,当且仅当|a|b|且 ab0 时,左边等号成立,当且仅当 ab0 时, 右边等号成立. 2绝对值不等式的解法 (1)|x|a 型不等式的解法 不等式a0a0a0 |x|ax|axax|xa 或 x0)型不等式的解法: |axb|ccaxbc; |axb|caxbc 或 axbc. |xa|xb|c 和|xa|xb|

    2、c 型不等式的解法及体现数学思想 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 第一节第一节 绝对值不等式绝对值不等式 选修选修 45 不等式选讲不等式选讲 微信公众号学起而飞 第 2页/共 19页 (1)画出 yf(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1 的解集 解(1)由题意得 f(x) x4,x1, 3x2,13 2, 故 yf(x)的图象如图所示 (2)由 f(x)的函数表达式及图象可知, 当 f(x)1 时,可得 x1 或 x3; 当 f(x)1 时,可得 x1

    3、3或 x5. 故 f(x)1 的解集为x|1x3, f(x)1 的解集为 x|x5. 所以|f(x)|1 的解集为 x|x 1 3或 1x5. 题组训练 1解不等式|x1|x1|2. 解:当 x1 时, 典例(2016全国卷)已知函数 f(x)|x1|2x3|. 考点一考点一绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 微信公众号学起而飞 第 3页/共 19页 (2)由|xa|3x0,可得 xa, 4xa0 或 xa, 2xa0, 即 xa, xa 4 或 x0 时,不等式的解集为 x|x a 2. 由a 21,得 a2. 当 a0 时,不等式的解集为x|x0,不合题意 当 a0 时,不等式的解集为

    4、x|x a 4. 由a 41,得 a4. 不等式的解集为x|2x0 解得2x0, 两边平方,化简整理得 x22x0, 法二:由 f(x)3x|2x1|,得|x1|2x1|, 不等式的解集为x|2x0 当 x2 1时,1x(2x1)0,得2x1 时,x1(2x1)0,得 x2,无解; 法一:由 f(x)3x|2x1|,得|x1|2x1|0, 解:(1)当 a1 时,f(x)|x1|3x. (2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1,求 a 的值 (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3x|2x1|的解集; 2(2019沈阳质检)已知函数 f(x)|xa|3x,其中 aR. 综上,不等式|x1|

    5、x1|2 的解集为1,1 解得 x1,又因为 x1,故无解; 原不等式可化为 x1x12, 当 x1 时, 原不等式可化为 x11x22,恒成立; 当1x1 时, 解得 x1,又因为 x1,故无解; 原不等式可化为x11x2, 微信公众号学起而飞 第 4页/共 19页 即 x1 2, 2x1x1 或 0 x1 2, 12xx1 或 x0, 12xx1, 得1 2x2 或 0 x 1 2或无解 故不等式 f(x)|x|1 的解集为x|0 x2 (2)证明:f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y 1|21 3 1 6 5 61. 故不等式 f(x)1 得证

    6、 解题技法绝对值不等式性质的应用 利用不等式|ab|a|b|(a,bR)和|ab|ac|cb|(a,bR),通过确定适当的 a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式 题组训练 1求函数 f(x)|x2 019|x2 018|的最大值 解:因为 f(x)|x2 019|x2 018|x2 019x2 018|4 037, 所以函数 f(x)|x2 019|x2 018|的最大值为 4 037. 2若 x1,1,|y|1 6,|z| 1 9,求证:|x2y3z| 5 3. 证明:因为 x1,1,|y|1 6,|z| 1 9, 所以|x2y3z|x|2|y|3|z|12

    7、1 63 1 9 5 3, 所以|x2y3z|5 3成立 考点三考点三绝对值不等式的综合应用绝对值不等式的综合应用 典例(2018合肥质检)已知函数 f(x)|2x1|. 解(1)f(x)|x|1,|2x1|x|1, (2)若对 x,yR,有|xy1|3 1,|2y1| 6 1,求证:f(x)1. (1)解不等式 f(x)|x|1; 典例(2019湖北五校联考)已知函数 f(x)|2x1|,xR. 考点二考点二绝对值不等式性质的应用绝对值不等式性质的应用 综上,a2 或 a4. 微信公众号学起而飞 第 5页/共 19页 则 x1 2, 2x12x11 或 1 2x 1 2, 12x2x11 或

    8、 x1 2, 12x2x11, 解得 x1 2或 1 4x 1 2,即 x 1 4, 所以原不等式的解集为 1 4,. (2)由条件知,不等式|2x1|2x1|(|2x1|2x1|)min即可 由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x(2x1)|2,当且仅当(12x)(2x 1)0,即 x 1 2, 1 2 时等号成立,故 m2.所以 m 的取值范围是(2,) 解题技法两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化 把存在性问题转化为求最值问题; 不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题; 不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题,此类问题都可转化为最值问 题,即 f(x)a 恒成立af(

    9、x)max,f(x)a 恒成立af(x)min. (2)求最值 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: 利用绝对值的几何意义; 利用绝对值三角不等式,即|a|b|ab|a|b|; 利用零点分区间法 题组训练 1(2018全国卷)设函数 f(x)5|xa|x2|. (1)当 a1 时,求不等式 f(x)0 的解集; (2)若 f(x)1,求 a 的取值范围 解:(1)当 a1 时,f(x) 2x4,x2. 当 x1 时,由 2x40,解得2x1, 当1x2 时,显然满足题意, 解(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1, (2)若关于 x 的不等式 f(x)mf(x1)的解集不是空集,

    10、求 m 的取值范围 (1)解关于 x 的不等式 f(x)f(x1)1; 微信公众号学起而飞 第 6页/共 19页 而|xa|x2|a2|,且当 x2 时等号成立 故 f(x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4 可得 a6 或 a2. 所以 a 的取值范围是(,62,) 2(2018广东珠海二中期中)已知函数 f(x)|xm|2x1|(mR),若关于 x 的不等式 f(x)|2x1|的解集为 A,且 3 4,2 A,求实数 m 的取值范围 解: 3 4,2 A, 当 x 3 4,2时,不等式 f(x)|2x1|恒成立, 即|xm|2x1|2x1|在 x 3 4,2上恒成立, |xm|2x12x

    11、1, 即|xm|2 在 x 3 4,2上恒成立, 2xm2, x2mx2 在 x 3 4,2上恒成立, (x2)maxm(x2)min, 11 4 m0,故实数 m 的取值范围是 11 4 ,0 . 课时跟踪检测课时跟踪检测 1求不等式|2x1|2x1|6 的解集 解:原不等式可化为 x1 2, 2x12x16. 解得3 2x 3 2, (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4. 故 f(x)0 的解集为x|2x3 当 x2 时,由2x60,解得 2x3, 微信公众号学起而飞 第 7页/共 19页 即原不等式的解集为 x| 3 2x 3 2. 2已知函数 f(x)|x4|xa|(aR)的最小值

    12、为 a. (1)求实数 a 的值; (2)解不等式 f(x)5. 解:(1)f(x)|x4|xa|a4|a, 从而解得 a2. (2)由(1)知,f(x)|x4|x2| 2x6,x2, 2,2x4, 2x6,x4. 故当 x2 时,由2x65,得1 2x2; 当 24 时,由 2x65,得 41 的解集; (2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立,求 a 的取值范围 解:(1)当 a1 时,f(x)|x1|x1|, 即 f(x) 2,x1, 2x,1x1 的解集为 x|x 1 2. (2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax1|0,则|ax1|1 的

    13、解集为 x|0 x 2 a, 所以2 a1,故 0a2. 综上,a 的取值范围为(0,2 4设函数 f(x)|3x1|ax3. (1)若 a1,解不等式 f(x)4; (2)若 f(x)有最小值,求实数 a 的取值范围 解:(1)当 a1 时,f(x)|3x1|x34, 微信公众号学起而飞 第 8页/共 19页 即|3x1|1x, x13x11x,解得 0 x1 2, 所以 f(x)4 的解集为 0,1 2 . (2)因为 f(x) 3ax2,x1 3, a3x4,xx; (2)若关于 x 的不等式 f(x)a22a 的解集为 R,求实数 a 的取值范围 解:(1)原不等式等价于 f(x)x0

    14、,不等式 f(x)x0 可化为|x2|x|x1|, 当 x(x1),解得 x3,即3xx1,解得 x1,即1x2 时,x2xx1,解得 x3,即 x3, 综上所述,不等式 f(x)x0 的解集为x|3x3 (2)由不等式 f(x)a22a 可得|x2|x1|a22a, |x2|x1|x2x1|3,当且仅当 x(,1时等号成立, a22a3,即 a22a30,解得 a1 或 a3. 实数 a 的取值范围为(,13,) 6已知函数 f(x)|xa|x1|. (1)若 a2,求不等式 f(x)x2 的解集; (2)如果关于 x 的不等式 f(x)2 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围 解:(1)

    15、当 a2 时,f(x) 2x1,x1, 3,1x2, 2x1,x2, 不等式 f(x)x2 等价于 x1, 2x1x2 或 1x2, 3x2 或 x2, 2x1x2 , 解得 x1 或 x3, 故原不等式的解集为x|x1 或 x3 (2)f(x)|xa|x1|(xa)(x1)|a1|,当(xa)(x1)0 时取等号 若关于 x 的不等式 f(x)2 的解集不是空集,只需|a1|2, 微信公众号学起而飞 第 9页/共 19页 又|x a 2| 1 2x|min| 1 2 a 2|, 所以| 1 2 a 2|3a 2 ,解得 a2. 所以 a 的取值范围是2,) 8(2018福州质检)设函数 f(

    16、x)|x1|,xR. (1)求不等式 f(x)3f(x1)的解集; (2)已知关于 x 的不等式 f(x)f(x1)|xa|的解集为 M,若 1,3 2 M,求实数 a 的取 值范围 解:(1)因为 f(x)3f(x1), 所以|x1|3|x2|x1|x2|3 x2, 2x33, 解得 0 x1 或 1x2 或 20,b0 时,aabb(ab) + 2 a b . 证明: aabb ab + 2 a b a b - 2 a b , 当 ab 时, a b - 2 a b 1, 当 ab0 时,a b1, ab 2 0, a b - 2 a b 1, 当 ba0 时,0a b1, ab 2 1,

    17、 aabb(ab) + 2 a b . 考点二考点二综合法证明不等式综合法证明不等式 典例(2017全国卷)已知 a0,b0,a3b32.证明: 所以(pxqy)2px2qy2.当且仅当 xy 时,不等式中等号成立 因为 p,q 为正数,所以pq(xy)20, pq(x2y22xy)pq(xy)2. 所以(pxqy)2(px2qy2) 因为 pq1,所以 p1q,q1p. p(p1)x2q(q1)y22pqxy. p2x2q2y22pqxy(px2qy2) 解:(pxqy)2(px2qy2) 1当 p,q 都是正数且 pq1 时,求证:(pxqy)2px2qy2. 题组训练 因此|ab|1ab

    18、|. (a21)(1b2)0. a2b2a2b21 从而(ab)2(1ab)2 (2)证明:由(1)知,当 a,bM 时,1a1,1b1, 所以 f(x)2 的解集 Mx|1x1 当 x2 1时,由 f(x)2,得 2x2,解得 x1. 当2 1x 2 1时,f(x)2 恒成立; 微信公众号学起而飞 第 13页/共 19页 23ab 3 4 , (ab)38,因此 ab2. 解题技法综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与 联系,合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键; (2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等

    19、式是最常用的在运用这些性 质时,要注意性质成立的前提条件 题组训练 1设 a,b,c,d 均为正数,若 abcd,且 abcd,求证: a b c d. 证明:因为( a b)2ab2 ab,( c d)2cd2 cd. 由题设 abcd,abcd 得( a b)2( c d)2. 因此a b c d. 2(2018湖北八校联考)已知不等式|x|x3|0,y0,nxym0,求证:xy16xy. 解:(1)由|x|x3|x6, 得 x3, xx3x6 或 0 x3, 3x6 或 x0, x3xx6, 解得1x0,y0, 1 x 1 y (9xy)10y x 9x y 102 y x 9x y 1

    20、6, 当且仅当y x 9x y ,即 x 1 12,y 1 4时取等号, 1 x 1 y16,即 xy16xy. 4 23ab(ab)23ab 2 (ab) (2)(ab)3a33a2b3ab2b3 4ab(a2b2)24. (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (2)ab2. (1)(ab)(a5b5)4; 微信公众号学起而飞 第 14页/共 19页 (1)求集合 A; (2)若 a,b,cA,求证:| 1abc abc|1. 解(1)由已知,令 f(x)|x1|x1| 2,x1, 2x,1x1, 2,x1, 由|f(x)|2,得1x1

    21、,即 Ax|1x1,只需证|1abc|abc|, 即证 1a2b2c2a2b2c2,即证 1a2b2c2(1a2b2), 即证(1a2b2)(1c2)0, 由 a,b,cA,得1ab1,c20 恒成立 综上,| 1abc abc|1. 解题技法分析法证明不等式应注意的问题 (1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 (2)注意从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已 知(或已证)的不等式 (3)注意恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语 题组训练 1已知 abc,且 abc0,求证: b2acbc 且 abc0,

    22、知 a0,c0. 要证 b2ac 3a, 只需证 b2ac3a2. abc0,只需证 b2a(ab)0, 即证(ab)(2ab)0, 即证(ab)(ac)0. abc,ab0,ac0, (ab)(ac)0 显然成立, 故原不等式成立 典例(2019长春质检)设不等式|x1|x1|0, 所以只需证 a2c2b20, 即 a2c2b2,因为 a2c22ac, 所以只需证 2acb2, 由已知得 2acb(ac) 所以只需证 b(ac)b2,即 acb,显然成立 所以B 为锐角 解得 x1; 不等式可化为x12x2, 当 x1 时, 解:(1)由题意,|x1|0,b0,且1 a 1 b ab. (1

    23、)求 a3b3的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a3b6?并说明理由 解:(1)由 ab1 a 1 b 2 ab, 得 ab2,仅当 ab 2时等号成立 故 a3b32 a3b34 2,仅当 ab 2时等号成立 所以 a3b3的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a3b2 6 ab4 3. 由于 4 36,从而不存在 a,b,使得 2a3b6. 3(2019南宁模拟)(1)解不等式|x1|x3|4; (2)若 a,b 满足(1)中不等式,求证:2|ab|ab2a2b|. 解:(1)当 x3 时,|x1|x3|x1x32x44,所以 4x3; 当3x1 时,|x1|x3|x1x32

    24、4 恒成立, 所以3x1; 当 x1 时,|x1|x3|x1x32x44,解得 x0,所以1x0. 综上,不等式|x1|x3|4 的解集为x|4x0 (2)证明:因为 4(ab)2(ab2a2b)2 (a2b24a2b4ab216ab) ab(b4)(a4)0, 所以 4(ab)2(ab2a2b)2, 所以 2|ab|2. 当 x2 时,由 f(x)x11, 解得 x0,此时 x0; 当 x2 时,由 f(x)3x51, 解得 x4 3,显然不成立 故 f(x)1 的解集为 Mx|x0 微信公众号学起而飞 第 17页/共 19页 (2)证明:当 xM 时,f(x)x1, 于是 xf(x)2x2

    25、f(x)x(x1)2x2(x1)x2x x1 2 21 4. 令 g(x) x1 2 21 4, 则函数 g(x)在(,0上是增函数, g(x)g(0)0. 故 xf(x)2x2f(x)0. 5(2019西安质检)已知函数 f(x)|2x1|x1|. (1)解不等式 f(x)3; (2)记函数 g(x)f(x)|x1|的值域为 M,若 tM,求证:t213 t 3t. 解:(1)依题意,得 f(x) 3x,x1, 2x,1x1 2, 3x,x1 2, f(x)3 x1, 3x3 或 1x0, t3t 21 t 0, t213 t 3t. 6(2019长春质检)已知函数 f(x)|2x3|3x6

    26、|. (1)求 f(x)2 的解集; (2)若 f(x)的最小值为 T,正数 a,b 满足 ab1 2,求证: a bT. 微信公众号学起而飞 第 18页/共 19页 解:(1)f(x)|2x3|3x6| 5x9,x2. 作出函数 f(x)的图象如图所示 由图象可知,f(x)2 的解集为 7 5, 11 5 . (2)证明:由图象可知 f(x)的最小值为 1, 由基本不等式可知 a b 2 ab 2 1 4 1 2, 当且仅当 ab 时,“”成立,即 a b1T. 7已知函数 f(x)|2x1|x 3 2|. (1)求不等式 f(x)0 的解集 M; (2)当 a,bM 时,求证:3|ab|a

    27、b9|. 解:(1)f(x) 5 2x,x 1 2. 当 x3 2时,f(x)0,即 5 2x0,无解; 当3 2x 1 2时,f(x)0,即3x 1 20,得 1 61 2时,f(x)0,即 x 5 20,得 1 2x 5 2. 综上,M x| 1 6x 5 2. (2)证明:要证 3|ab|ab9|, 只需证 9(a2b22ab)a2b218ab81, 即证 a2b29a29b2810, 即证(a29)(b29)0. 因为 a,bM,所以1 6a 5 2, 1 6b 5 2, 微信公众号学起而飞 第 19页/共 19页 所以 a290,b290, 所以 3|ab|0),且 f(x2)0 的

    28、解集为3,1 (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c 都是正实数,且1 a 1 2b 1 3cm,求证:a2b3c9. 解:(1)法一:依题意知 f(x2)m|x2|0, 即|x2|mm2x2m. 由题意知不等式的解集为3,1,所以 m23, 2m1, 解得 m1. 法二:因为不等式 f(x2)0 的解集为3,1, 所以3,1 为方程 f(x2)0 的两根,即3,1 为方程 m|x2|0 的两根, 所以 m|32|0, m|12|0, 解得 m1. (2)证明:由(1)可知1 a 1 2b 1 3c1(a,b,c0), 所以 a2b3c(a2b3c) 1 a 1 2b 1 3c 3 a 2b 2b a a 3c 3c a 2b 3c 3c 2b 9,当 且仅当 a2b3c,即 a3,b3 2,c1 时取等号 微信公众号学起而飞

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