2020年数学一轮复习考点与题型总结：第八章 立体几何-高考.pdf

1、第八章 立体几何 第一节第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图空间几何体的结构特征、三视图和直观图 一、基础知识一、基础知识 1.简单几何体 1多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 底面互相平行且相等多边形互相平行且相似 侧棱互相平行且相等 相交于一点，但不一定 相等 延长线交于一点 侧面形状平行四边形三角形梯形 特殊的四棱柱 四棱柱 底面为 平行四边形 平行 六面体 侧棱垂直 于底面 直平行 六面体 底面为 矩形 长方体 底面 边长相等 正四棱柱 侧棱与底面 边长相等 正方体 上述四棱柱有以下集合关系：正方体正四棱柱长方体直平行六面 体平行六面体四棱柱 多面体的关系： 棱柱 一个底

2、面退化 为一个点 棱锥 平行于底面的 平面截得 棱台 (2)旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台 球 图形 微信公众号：学起而飞 母线 互相平行且相等，垂 直于底面 长度相等且相交 于一点 延长线交于一点 轴截面全等的矩形 全等的等腰三角 形 全等的等腰梯形圆 侧面展 开图 矩形扇形扇环 球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r R2d2. 2直观图 (1)画法：常用斜二测画法 (2)规则： 原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45

3、(或 135)， z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半 3三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正 上方观察几何体画出的轮廓线. 二、常用结论二、常用结论 1常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆 (2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形 (3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形 (4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的

4、矩形 2斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” 坐标轴的夹角改变， 与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半， 图形改变. 微信公众号：学起而飞 “三不变” 平行性不改变， 与 x 轴和 z 轴平行的线段的长度不改变， 相对位置不改变. 考点一考点一空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征 典例下列结论正确的是() A侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B六条棱长均相等的四面体是正四面体 C有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以 A 错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所

5、以 C 错；截面平行于底面时，底面与截面之 间的部分才叫圆台，所以 D 错 答案B 题组训练 1下列结论中错误的是() A由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B正棱台的对角面一定是等腰梯形 C圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 解析：选 A由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，所以 A 选项错误B、C、D 说 法均正确 2下列命题正确的是() A两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转 体是圆台 D用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩

6、形 解析：选 C如图所示，可排除 A、B 选项只要有截面与圆柱的母线平 行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分 考点二空间几何体的直观图 典例已知等腰梯形 ABCD，CD1，ADCB 2，AB3，以 AB 所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABCD的面积为 微信公众号：学起而飞 因为 OE 22121， 所以 OE1 2，EF 2 4 . 所以直观图 ABCD的面积为 S1 2(13) 2 4 2 2 . 法二：由题中数据得等腰梯形 ABCD 的面积 S1 2(13)12. 由 S直观图 2 4 S原图形的关系，得 S直观图 2 4 2 2 2 . 答案 2

7、2 题组训练 1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正 方形，则原来的图形是() 解析：选 A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 2，所以原图 形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2.故选 A. 2已知正三角形 ABC 的边长为 2，那么ABC 的直观图ABC的面积为 _ 解析：如图，图、图分别表示ABC 的实际图形和直观图 从图可知，ABAB2， 于点 E， O， E 在斜二测画法中的对应点为 O， E， 过 E作 EFx轴， 垂足为 F， 解析法一：如图，取 AB 的中点 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，y 轴交 DC _ 微信公众

8、号：学起而飞 OC1 2OC 3 2 ，CDOCsin 45 3 2 2 2 6 4 . 所以 SABC1 2ABCD 1 22 6 4 6 4 . 答案： 6 4 考点三空间几何体的三视图 考法(一)由几何体识别三视图 典例(2019长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则 三棱锥 ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)() 解析正视图和俯视图中棱 AD 和 BD 均看不见，故为虚线，易知选 A. 答案A 考法(二)由三视图判断几何体特征 典例(1)(2018全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三 视图如图所示圆柱表面上

9、的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面 上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的 路径中，最短路径的长度为() A2 17B2 5 C3D2 (2)(2019武汉调研)已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的 面积为_ 微信公众号：学起而飞 解析(1)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M，N 的位置如图所示 圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图所示，连接 MN，则图 中 MN 即为 M 到 N 的最短路径ON1 4164，OM2， MN OM2ON222422 5. (2)由三视图知，该几何体是在

10、长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体中，截去一个三棱柱 AA1D1BB1C1和一个三棱锥 CBC1D 后剩下的几何体， 即如图所示的四棱锥 DABC1D1， 其中 侧面 ADD1的面积最小，其值为1 2. 答案(1)B(2)1 2 考法(三)由三视图中的部分视图确定剩余视图 典例(2018唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图 为() 解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正 视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为 A，故选 A. 微信公众号：学起而飞 解析：选 C根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角 线长，

11、宽应为正方体的棱长，故排除 B、D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除 A.故选 C. 2.(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视 图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等 腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积 之和为() A10B12 C14D16 解析：选 B由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形 的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2，直 三棱柱的高为 2，三棱锥的高为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和为 242 2 212，

12、故选 B. 课时跟踪检测课时跟踪检测 1对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是() A等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B梯形的直观图可能不是梯形 C正方形的直观图为平行四边形 1，ABBCAA12，若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是() 1如图 1 所示，是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中 DD1 题组训练 答案A 微信公众号：学起而飞 A球B三棱锥 C正方体D圆柱 解析：选 D球、正方体的三视图的形状都相同，大小都相等，首先排除选项 A 和 C. 对于三棱锥，考虑特殊情况，如三棱锥 COAB，当三条棱 OA，OB，OC 两两

13、垂直，且 OA OBOC 时，正视图方向为 AO 方向，其三视图的形状都相同，大小都相等，故排除选项 B.选项 D，不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不可能完全相同 3(2019福州模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直 观图如图所示， 此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形， 则原平面图形的面 积为() A2 3B2 2 C4 3D8 2 解析：选 D由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组 对边长为 2，在斜二测画法画出的直观图中，BOA45且 OB2 2，那么在 原图形中，BOA90且 OB4 2.因此，原平面图形的面积为 24 28 2，故选 D.

14、4给出下列几个命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正 多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似， 但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是() A0B1 C2D3 解析：选 B错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱台 的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相 等 5若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是() 2一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() 解析：选 C根据“斜二测画法”的定义可得正方形的直观图为平行四边形 D

15、正三角形的直观图一定为等腰三角形 微信公众号：学起而飞 解析： 选 D由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱， 下半部分是一个四棱柱 故 选 D. 6用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该 几何体需要的小正方体的块数是() A8B7 C6D5 解析：选 C画出直观图可知，共需要 6 块 7(2018南宁二中、柳州高中联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为8 3，则该几何体的俯视图可以是( ) 解析：选 C若俯视图为选项 C 中的图形，则该几何体为正方体截去 一部分后的四棱锥 PABCD，如图所示，

16、该四棱锥的体积 V1 3(22)2 8 3，符合题意若俯视图为其他选项中的图形，则根据三视图易判断对应 的几何体不存在，故选 C. 微信公众号：学起而飞 一点，则三棱锥 PBCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为() A.3 2 B1 C2D.5 4 解析：选 A由题图易知，三棱锥 PBCD 的正视图面积为1 2121.当顶点 P 的投影 在BCD 内部或其边上时，俯视图的面积最小，为 SBCD1 211 1 2.所以三棱锥 PBCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为 11 2 3 2.故选 A. 9设有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长

17、方体； 直四棱柱是直平行六面体； 棱台的相对侧棱延长后必交于一点 其中真命题的序号是_ 解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的 侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故 命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的 答案： 10一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm， 则这个圆台的母线长为_cm. 解析：如图，过点 A 作 ACOB，交 OB 于点 C. 在 RtABC 中，AC12(cm)，BC835 (cm) AB 1225213(cm) 答案：13 11已知某几何体的三

18、视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在 该几何体上任意选择 4 个顶点，以这 4 个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：矩形； 有三个面为直角三角形， 有一个面为等腰三角形的四面体； 两个面都是等腰直角三角形 的四面体 ABCD 是正方形，侧棱 AA1底面 ABCD)中，点 P 是正方形 A1B1C1D1内 8.如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(底面 微信公众号：学起而飞 其中正确命题的序号是_ 解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如 图所示的四棱柱 ABCDA1B1C1D1，当选择的 4 个点是 B1，B，C，C1 时

19、，可知正确；当选择的 4 个点是 B，A，B1，C 时，可知正确； 易知不正确 答案： 12.如图，三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，若 ABBC CD2，则该三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD)的面积为_ 解析：因为 AB平面 BCD，投影线平行于 BD， 所以三棱锥 ABCD 的侧视图是一个以BCD 的 BD 边上的高为底， 棱锥的高为高的三角形， 因为 BCCD，ABBCCD2， 所以BCD 中 BD 边上的高为 2， 故该三棱锥的侧视图的面积 S1 2 22 2. 答案： 2 微信公众号：学起而飞 第二节第二节 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 一、基础

20、知识一、基础知识 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. 圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆 锥，由此可得： 2空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh 锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V1 3Sh 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V1 3(S 上S下 S上S下)h 球S4R2V4 3R 3 二、常

21、用结论二、常用结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， 若球为正方体的外接球，则 2R 3a； 若球为正方体的内切球，则 2Ra； 微信公众号：学起而飞 a2b2c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31. 考点一空间几何体的表面积 典例(1)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为() A12 2B12 C8 2D10 (2)(2019沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是() A44 2B4 22 C84 2D.8

22、 3 解析(1)设圆柱的轴截面的边长为 x， 则 x28，得 x2 2， S圆柱表2S底S侧2( 2)22 22 2 12.故选 B. (2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥 PABCD，如 图所示，其中 PA底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 PA2，AB 2，PB2 2，所以该四棱锥的侧面积 S 是四个直角三角形的面积和， 即 S2 1 222 1 222 244 2，故选 A. 答案(1)B(2)A 题组训练 1(2019武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为() (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则

23、2R 若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. 微信公众号：学起而飞 A28B242 5 C204 5D202 5 解析：选 B如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为 2,2,3 的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱 ABIEDCMH，则该几何体的 表面积 S(22)5 1 2122212 5242 5.故选 B. 2(2018郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 () A20 2B24( 21) C24(2 2)D20( 21) 解析： 选 B由三视图知， 该几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个底面半径为 1、 高为 1 的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体

24、的表面积 S622121 224 ( 21)，故选 B. 考点二空间几何体的体积 典例(1)(2019开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形， 则该几何体的体积为() 微信公众号：学起而飞 A4B2 C.4 3 D (2)(2018天津高考)如图， 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为_ 解析 (1)直接法 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形 的圆心角为，由 tan 3 1 3，得 3，故底面面积为 1 2 32 22 3 ，则该 几何体的体积为2 3 32. (2)法一：直接法 连接

25、A1C1交 B1D1于点 E，则 A1EB1D1，A1EBB1，则 A1E平面 BB1D1D， 所以 A1E 为四棱锥 A1BB1D1D 的高，且 A1E 2 2 ， 矩形 BB1D1D 的长和宽分别为 2，1， 故 VA1BB1D1D1 3(1 2) 2 2 1 3. 法二：割补法 连接 BD1，则四棱锥 A1BB1D1D 分成两个三棱锥 BA1DD1与 BA1B1D1， 所以 VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D11 3 1 2111 1 3 1 2111 1 3. 答案(1)B(2)1 3 微信公众号：学起而飞 题组训练 1.等体积法如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所

26、有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1的体积为() A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 解析：选 A三棱锥 B1ABC1的体积等于三棱锥 AB1BC1的体积，三棱锥 AB1BC1的高 为 3 2 ，底面积为1 2，故其体积为 1 3 1 2 3 2 3 12. 2.割补法某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是() A13B14 C15D16 解析：选 C所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到 的 几 何 体 ， 在 长 方 体 中 还 原 该 几 何 体 ， 如 图 中 ABCDABCD所示，长方体的长、宽、高分别为 4,2,3，

27、两 个三棱柱的高为2， 底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形， 故该几何体的体积 V42321 23 3 2215，故选 C. 3.直接法一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积 为() 微信公众号：学起而飞 A.1 3 2 3 B.1 3 2 3 C.1 3 2 6 D1 2 6 解析：选 C由三视图知，四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可 得半球半径为 2 2 ，从而该几何体的体积为1 31 211 2 4 3 2 2 31 3 2 6 . 考点三与球有关的切、接问题 考法(一)球与柱体的切、接问题 典例(2017江苏高考)如图，在圆

28、柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1 V2的值是 _ 解析设球 O 的半径为 R，因为球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，所以 圆柱的底面半径为 R、高为 2R，所以V1 V2 R22R 4 3R 3 3 2. 答案 3 2 考法(二)球与锥体的切、接问题 典例(2018全国卷)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 DABC 体积的最大值为() A12 3B18 3 C24 3D54 3 解析由等边ABC 的面积为 9 3

29、，可得 3 4 AB29 3，所以 AB6，所以等边ABC 的外接圆的半径为 r 3 3 AB2 3.设球的半径为 R， 球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离 微信公众号：学起而飞 为 d，则 d R2r2 16122.所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246，所以三棱锥 DABC 体积的最大值为1 39 3618 3. 答案B 题组训练 1(2018福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为 2，底面半径为 3，若该圆柱的 两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于() A4B.16 3 C.32 3 D16 解析：选 D如图，由题意知圆柱的中心 O 为这个球的球心， 于是，球的半

30、径 rOB OA2AB212 322. 故这个球的表面积 S4r216.故选 D. 2三棱锥 PABC 中，ABBC 15，AC6，PC平面 ABC，PC2，则该三棱锥的 外接球表面积为_ 解析：由题可知，ABC 中 AC 边上的高为 1532 6，球心 O 在底面 ABC 的投影 即为ABC 的外心 D，设 DADBDCx，所以 x232( 6x)2，解得 x5 6 4 ，所以 R2 x2 PC 2 275 8 183 8 (其中 R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积 S4R2 83 2 . 答案：83 2 课时跟踪检测课时跟踪检测 1(2019深圳摸底)过半径为 2 的球的一条半

31、径的中点，作垂直于该半径的平面，则所 得截面的面积与球的体积的比值为() A. 9 32 B. 9 16 微信公众号：学起而飞 C.3 8 解析：选 A 所以所得截面的面积与球的体积的比值为 3 4 32 3 9 32，故选 A. 2如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为() A4B8 C16D20 解析：选 B由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为 6，高为 2 的三角 形，三棱锥的高为 4，所以体积为 V1 3 1 26248.故选 B. 3.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如 下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几 何？”其意思为：“

32、在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四 分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和 堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 圆周率约 为 3，估算出堆放的米约有() A14 斛B22 斛 C36 斛D66 斛 解析：选 B设米堆的底面半径为 r 尺，则 2r8，所以 r 16 ，所以米堆的体积为 V 1 4 1 3r 25 12 16 25320 9 (立方尺)故堆放的米约有320 9 1.6222(斛) 4 (2018贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为 1 cm 的正方体无缝粘合而成的， 其三 视图如图所示，则该几何体的体积为()

33、 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为 r，则 2212r2，所以 r23， 16 D. 3 微信公众号：学起而飞 A35 cm3B40 cm3 C70 cm3D75 cm3 解析： 选 A结合题中三视图可得， 该几何体是个组合体， 该组合体从下到上依次为长、 宽、高分别为 5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长 为 1 cm 的正方体，故该组合体的体积 V55133111135(cm3)故选 A. 5(2019安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 () A1B.1 2 C.1 3 D.1 4 解析：

34、选 C法一：该几何体的直观图为四棱锥 S ABCD，如图，SD平面 ABCD，且 SD1，四边形 ABCD 是平行四边形，且 ABDC1，连接 BD，由题意 知 BDDC，BDAB，且 BD1，所以 S四边形ABCD1，所以 VSABCD1 3S 四边形ABCDSD1 3，故选 C. 法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以 V1 3Sh，其中 S 指的是锥体的底面积，即 俯视图中四边形的面积，易知 S1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知 h1，所 以 V1 3Sh 1 3，故选 C. 6(2019重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为() 微信公众号：学起而飞 A.

35、8 3 3 8 3 3 B.4 3 3 8 3 3 C.4 3 3 4 3 3 D.8 3 3 4 3 3 解析：选 B由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆 锥的底面半径为 2、高为 42222 3，三棱锥的底面是斜边为 4、高为 2 的等腰直角三角 形， 三棱锥的高为 2 3， 所以该组合体的体积 V1 2 1 32 22 31 3 1 2422 3 4 3 3 8 3 3 ，故选 B. 7(2019湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同， 则该几何体的表面积为() A1612B3212 C2412D3220 解析：选 A由三视图知，该

36、几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高 为 2，底面对角线长为 4，球的半径为 2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为 2 2，该 几何体的表面积 S1 242 2222 2 241216，故选 A. 8 (2019福州质检)已知正三棱柱 ABCA1B1C1中， 底面积为3 3 4 ， 一个侧面的周长为 6 3， 则正三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为() A4B8 C16D32 微信公众号：学起而飞 解析： 选 C如图所示， 设底面边长为 a， 则底面面积为 3 4 a23 3 4 ， 所以 a 3.又一个侧面的周长为 6 3，所以 AA12 3.设 E，D 分别为 上、

37、下底面的中心，连接 DE，设 DE 的中点为 O，则点 O 即为正三棱 柱 ABCA1B1C1的外接球的球心，连接 OA1，A1E，则 OE 3，A1E 3 3 2 2 31.在直角三角形 OEA 1中，OA1 12 322，即外接球 的半径 R2，所以外接球的表面积 S4R216，故选 C. 9(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为 18，则这个球的体积为_ 解析：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为 R，则 2R3，R3 2， 所以这个球的体积为4 3R 34 3 27 8 9 2 . 答案：9 2 10某四

38、棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_ 解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为 1，底面为上底长为 1，下底长为 2，高 为 1 的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为 V121 2 13 2. 答案：3 2 11一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为2 3 的扇形，则该圆锥的高为 _ 解析：设圆锥底面半径是 r，母线长为 l，所以r2rl，即 r2rl1，根据圆心角 公式2 3 2r l ，即 l3r，所以解得 r1 2，l 3 2，那么高 h l 2r2 2. 答案： 2 12(2017全国卷)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的 直径若平面 S

39、CA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 S ABC 的体积为 9，则球 O 的 微信公众号：学起而飞 1 3 1 2SCOBAO， 即 91 3 1 22RRR，解得 R3， 球 O 的表面积 S4R243236. 答案：36 13.如图是一个以 A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何 体，截面为 ABC，已知 A1B1B1C12，A1B1C190，AA14，BB13， CC12，求： (1)该几何体的体积； (2)截面 ABC 的面积 解：(1)过 C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1，BB1分别于点 A2，B2. 由直三棱柱性质及A1B1C190可知

40、B2C平面 ABB2A2，则该几何体的体积 V VA1B1C1A2B2CVCABB2A2 1 2222 1 3 1 2(12)226. (2)在ABC 中，AB 22432 5， BC 22322 5， AC 2 224222 3. 则 SABC1 22 3 5 2 32 6. VS ABCVASBC3 1S SBCAO 则 OAOBR，SC2R. 设球 O 的半径为 R， AO平面 SCB， 平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCBSC， AOSC，BOSC， SAAC，SBBC， 点 O 为 SC 的中点， SC 为球 O 的直径， 解析：如图，连接 AO，OB， 表面积为_ 微

41、信公众号：学起而飞 14.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE 平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC平面 BED； (2)若ABC120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积 6 3 ，求该 三棱锥 EACD 的侧面积 解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 因为 BE平面 ABCD，AC 平面 ABCD， 所以 BEAC. 因为 BDBEB，BD 平面 BED，BE 平面 BED， 所以 AC平面 BED. 又 AC 平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED. (2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGG

42、C 3 2 x，GBGDx 2. 因为 AEEC， 所以在 RtAEC 中，可得 EG 3 2 x. 由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形， 可得 BE 2 2 x. 由已知得，三棱锥 EACD 的体积 V三棱锥EACD1 3 1 2ACGDBE 6 24x 3 6 3 ， 故 x2. 从而可得 AEECED 6. 所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 EACD 的侧面积为 32 5. 微信公众号：学起而飞 第三节第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 一、基础知识一、基础知识 1平面的基本性质 (1)公理 1

43、：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面. (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 2空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 共面直线 平行 相交 异面直线：不同在任何一个 平面内 (2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线， 经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成 的角(或夹角) 范围： 0， 2 . (3)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 (4)定理：空间中如

44、果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. 直线 l 和平面相交、直线 l 和平面平行统称为直线 l 在平面外，记作 l . (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 微信公众号：学起而飞 考点一平面的基本性质及应用 典例如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点 证明(1)如图，连接 EF，CD1，A1B. E，F 分别是 AB，AA1的中点， EFA1B.

45、 又 A1BD1C， EFCD1， E，C，D1，F 四点共面 (2)EFCD1，EFCD1， CE 与 D1F 必相交， 设交点为 P，如图所示 则由 PCE，CE 平面 ABCD，得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA， PDA， CE，D1F，DA 三线共点 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3唯一性定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线

46、2异面直线判定的一个定理 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 1公理 2 的三个推论 二、常用结论二、常用结论 微信公众号：学起而飞 解析：选 DA，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面 2.变结论若本例中平面 BB1D1D 与 A1C 交于点 M，求证：B，M，D1共线 证明：连接 BD1(图略)，因为 BD1与 A1C 均为正方体 ABCDA1B1C1D1的对角线，故 BD1 与 A1C 相交， 则令 BD1与 A1C 的交点为 O，则 B，O，D1共线，因为 BD1 平面 B

47、B1D1D， 故 A1C 与平面 BB1D1D 的交点为 O，与 M 重合，故 B，M，D1共线 考点二空间两直线的位置关系 典例(1)(2019郑州模拟)已知直线 a 和平面，l，a ，a ，且 a 在， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是() A相交或平行B相交或异面 C平行或异面D相交、平行或异面 (2)G，N，M，H 分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形的是_(填序号) 解析(1)如图， 取平面 ABCD 为， 平面 ABFE 为.若直线 CH 为 a， 则 a 在，内的射影分别为 CD，BE，此时 CD，BE

48、 异面，即 b，c 异面， 排除 A；若直线 GH 为 a，则 a 在，内的射影分别为 CD，EF，此时 CD， EF 平行，即 b，c 平行，排除 B；若直线 BH 为 a，则 a 在，内的射影 分别为 BD，BE，此时 BD，BE 相交，即 b，c 相交，排除 C.综上所述选 D. (2)图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点共面，但 M 平面 GHN，因此直 一个图是() 1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的 变透练清 微信公众号：学起而飞 AB CD 解析：选 B错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；显然正确； 错，若一条直线和

49、两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面； 由平行直线的传递性可知正确故选 B. 2.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的 中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确结论的序号为_ 解析：直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，所以错误点 B，B1，N 在平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所以 BN，MB1是异面直线同理 AM，DD1 也是异面直线 答案：

50、 课时跟踪检测课时跟踪检测 1(2019衡阳模拟)若直线 l 与平面相交，则() A平面内存在直线与 l 异面 B平面内存在唯一一条直线与 l 平行 C平面内存在唯一一条直线与 l 垂直 空间四条直线 a，b，c，d，如果 ab，cd，且 ad，那么 bc. 一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交； 与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内； 在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； 1下列结论中正确的是() 题组训练 答案(1)D(2) N 共面，但 H 平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以在图中，GH 与 MN 异面 线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG