6.含对数式的极值点偏移问题.pdf

1、公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 6 6 含对数式的极值点偏移问题含对数式的极值点偏移问题 1.若 f x的极值点为 0 x，则根据对称性构造一元差函数 00 F xf xxf xx，巧借 F x的 单 调 性 以 及 00F， 借 助 于 12002 f xf xfxxx 与 00

2、2 fxxx 02 2fxx，比较 2 x与 01 2xx的大小，即比较 0 x与 21 2 xx 的大小 2.又一解题策略：根据 12 f xf x建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造 函数，利用对数平均不等式链求解 对数平均不等式的介绍与证明对数平均不等式的介绍与证明 两个正数a和b的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： ( , ) 2 ab abL a b （此式记为对数平均不等式对数平均不等式） 取等条件：当且仅当ab时，等号成立. 只证：当ab时，( , ) 2 ab abL a b .不失一般性，可设ab. 证明如下： （I）先证：( , )ab

3、L a b 不等式 1 lnlnln2ln(1) abaaba abxxx bbaxbab 其中 构造函数 1 ( )2ln(),(1)f xxxx x ，则 2 2 211 ( )1(1)fx xxx . 因为1x 时，( )0fx，所以函数( )f x在(1,)上单调递减， 故( )(1)0f xf，从而不等式成立； （II）再证：( , ) 2 ab L a b 不等式 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公

4、众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 2 构造函数 2(1) ( )ln,(1) (1) x g xxx x ，则 2 22 14(1) ( ) (1)(1) x g x xxx x . 因为1x 时，( )0g x，所以函数( )g x在(1,)上单调递增， 故( )(1)0g xg，从而不等式成立； 综合（I）（II）知，对, a bR，都有对数平均不等式( , ) 2 ab abL a b 成立， 当且仅当ab时，等号成立. 例 1. 已知函数 2 ( )ln(2) .f xxaxa x （1）讨论(

5、 )f x的单调性； （2）设0a ，证明：当 1 0 x a 时， 11 ()()fxfx aa ； （3）若函数( )yf x的图象与x轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 ()0fx. 法二：构造以a为主元的函数，设函数) 1 () 1 ()(x a fx a fah， 则( )ln(1)ln(1)2h aaxaxax， 32 22 2 ( )2 111 xxx a h ax axaxa x ， 由 1 0 x a ，解得 1 0a x ， 当 1 0a x 时，( )0h a，)(ah在), 0( 上单调递增， 而(0)0h， 所以( )0h a ，故当 1

6、0 x a 时， 11 ()()fxfx aa . 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 3 （3 3）问另解：）问另解：由 12 ()()0f xf x 22 111222 ln(2)ln(2)0 xaxa xxaxa x 22 12121212 lnln2()()xxxxa xxxx 1

7、212 22 1212 lnln2()xxxx a xxxx 故要证 12 00 1 ()0 2 xx fxx a 12 1212 lnln2xx xxxx . 根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 4 4 例 2：已知函数( )lnf x

8、xx与直线ym交于 1122 (,),(,)A x yB xy两点. 求证： 12 2 1 0 x x e 由题于ym与lnyxx交于不同两点，易得出则0m 上式简化为: 2 12 ln()2lnxxe 12 2 1 0 x x e 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 5 例 3：已知函数

9、 lnx f x xa （aR），曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线10 xy 垂直. （1）试比较 2017 2016与 2016 2017的大小，并说明理由； （2）若函数 g xf xk有两个不同的零点 12 ,x x，证明： 2 12 xxe. 【答案】（1） 20172016 20162017（2）见解析 试题解析： （1）依题意得， 所以 2 11 1 1 a fx a a ，又由切线方程可得 11 f ，即 1 1 1a ，解得0a 此时 lnx f x x ， 2 1 lnx fx x ， 令 0fx，即1 ln0 x，解得0 xe； 令 0fx，即1 ln0 x，解得

10、xe 所以 f x的增区间为0,e，减区间为, e 所以20162017ff，即 ln2016ln2017 20162017 ， 2017ln20162016ln2017， 20172016 20162017. （2）证明：不妨设 12 0 xx因为 12 0g xg x 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916

11、 下载！下载！ 6 6 所以化简得 11 ln0 xkx， 22 ln0 xkx 可得 1212 lnlnxxk xx， 1212 lnlnxxk xx. 要证明 2 12 x xe，即证明 12 lnln2xx，也就是 12 2k xx 因为 12 12 lnlnxx k xx ，所以即证 12 1212 lnln2xx xxxx 即 112 212 ln xxx xxx ，令 1 2 x t x ，则1t ，即证 21 ln 1 t t t . 令 21 ln 1 t h tt t （1t ），由 故函数 h t在1,是增函数，所以 10h th，即 21 ln 1 t t t 得证. 所

12、以 2 12 x xe. 点睛：本题主要考查函数导数与切线的关系，考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明 不等式的方法.有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直， 也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后 再利用导数来证明.21 教育网 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord

13、 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 7 7 例 4：已知函数 ln,. b f xxa a bR x （）讨论函数 f x的单调区间与极值； （）若0b 且 0f x 恒成立，求 1 1 a eb 的最大值； （）在（）的条件下，且 1 1 a eb 取得最大值时，设 1a F bm mR b ，且函数 F x有两 个零点 12 ,x x，求实数m的取值范围，并证明： 2 12 .x xe 【答案】（）答案见解析；（）当ln1ba时， 1 1 a eb 最大为 1；（）证明过程见解析 （）由（） 知 ， 当 1 1 a eb 取 最 大 值 1

14、 时 ， 1 ln 1ln,0 a b ebabF bm b b ， 记 ln 0 x F xm x x ， 0ln0F xxmx， 不 妨 设 12 xx， 由 题 意 11 22 lnxmx lnxmx ， 则 1212 lnx xm xx， ，欲证明 2 12 x xe，只需证明 1 2 ln2x x，只需证明 12 2m xx， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文

15、档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 8 8 即证明 122 211 ln2 xxx xxx ，即证，设 2 1 1 x t x ，则只需证明 1 ln2 1 t t t ，也就是证明 1 ln20 1 t t t ，记 1 ln2,1 1 t u ttt t ，所以，所以 u t在 1,单调递增，所以 10u tu，所以原不等式成立.21 世纪教育网版权所有 例 5：已知函数，其中 （1）若，讨论的单调区间； （2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明： . 【答案】（）见解析（）见解析. 【解析】（）由已知得， 当

16、时，； 当时， 故若，在上单调递增，在上单调递减； 故若，在上单调递减，在上单调递增 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 9 9 取，即只需证明成立即只需证成立 ，在区间上单调递增， 成立 故原命题得证 例 6:已知函数 ln ax f x x . （1）若 f x在点 22 ,ef e处的切

17、线与直线40 xy垂直，求函数 f x的单调递增区间； （2）若方程 1f x 有两个不相等的实数解 12 ,x x，证明： 12 2xxe. 【答案】（）0,1和1,e；（）见解析 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 10 10 （ ） 由 121222 121211 lnx lnxa xxlnxax lnxlnxa xxlnxax 12 12 lnlnxx a xx 1212 2.xxx x，只要证 2 1212 lnln2x xexx 只需证 12 121212 12 lnln lnln2 xx xxa xxxx xx ，不妨设 12 xx 即证 12 11 2122 2 ln,1 xxxx t xxxx 令， 只需证 21214 ln,lnln2 111 tt tg ttt ttt ， 则 g t在1 ，上单调递增， 10(1)g tgt，即证