4.含参数的极值点偏移问题.pdf

1、公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 4 4 含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题 含参数的极值点偏移问题， 在原有的两个变元 12 ,x x的基础上， 又多了一个参数， 故思路很自然的就会想到： 想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个

2、变元的新的 函数.21m 例 1. 已知函数 x aexxf)(有两个不同的零点 12 ,x x，求证：2 21 xx. 不 妨 设 12 xx，记 12 txx，则0,1 t te， 因此只要证明： 1 2 1 t t e t e 0 1 ) 1(2 t t e e t， 再次换元令xtxetln, 1，即证), 1 (, 0 1 ) 1(2 ln x x x x 构造新函数 2(1) ( )ln 1 x F xx x ，0) 1 (F 求导 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) x F x xxx x ，得)(xF在), 1 ( 上递增， 所以0)(xF，因此原不等式 12 2xx

3、获证. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 2 例 2. 已知函数( )lnf xxax，a为常数，若函数( )f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 .xxe 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 xx， 1122 ln0,ln0 xaxxax， 121

4、21212 lnln(),lnln()xxa xxxxa xx， 12 12 lnlnxx a xx ，欲证明 2 12 x xe，即证 12 lnln2xx. 1212 lnln()xxa xx，即证 12 2 a xx ， 原 命 题 等 价 于 证 明 12 1212 lnln2xx xxxx ， 即 证 ： 112 212 2() ln xxx xxx ， 令 1 2 ,(1) x tt x ， 构 造 2(1) ln, 1 )1( t tg tt t ，此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 lnlnln , ln xxx

5、x a xxxx 设 2 12 1 ,(1) x xx tt x ， 则 11 21 11 lnlnln , lnln txtx xtxtt xx ， 反解出： 1211 lnlnln ln,lnlnlnlnln 111 tttt xxtxtxt ttt ， 故 2 1212 1 lnln2ln2 1 t x xexxt t ，转化成法二，下同，略. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！Wor

6、dWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 3 例 3.已知 21,x x是函数axexf x )(的两个零点，且 21 xx . （1）求证：2 21 xx； （2）求证：1 21 xx. (2)要证：1 21 xx，即证：1 2 21 a ee xx ，等价于 2 12 )( 12 21 xx ee ee xx xx ， 也即 2 12 2 )( 1 )( 12 21 xxee ee xx xx ，等价于 2 12 2 )( 1 ) 1( 12 12 xxe e xx xx ，令0 12 xxt 等价于)0( 1 ) 1( 22 t

7、te e t t ，也等价于，等价于即证：01 2 t t eet 令)0( 1)( 2 teetth t t ，则) 2 1 ( 2 1 )( 2222 tt t tt e t eeeteth， 又令)0( 2 1)( 2 te t t t ，得0 22 1 )( 2 t e t t，)(t在), 0( 单调递减， 0)0()(t，从而0)( t h，)(th在), 0( 单调递减，0)0()( hth，即证原不等式成立. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916

8、 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 4 4 【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于 21,x x的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等 式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式. 例 4.已知函数( )(0) ax f xxea，若存在 1212 ,()x x xx，使 12 ()()0f xf x，求证： 1 2 x ae x . 再证： 1 2 x ae x . 111 222 ln xaxax xaxx ， 而 12 0 xex， 2

9、 ln1x 11 22 ln1 xaxae ae xx .证毕. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 5 例 5：设函数( )() x f xeaxa aR的图像与x轴交于 1212 ( ,0), (,0)()A xB xxx两点， （1）证明：0)( 21 xxf； （2）求证： 121

10、2 x xxx. （2）证明：由 1 2 1 2 (1) (1) x x ea x ea x ，易知 21 1xx且ae， 从而 1 12 2 1 2 1 1 x xx x xe e ex ，令 12 1,1xx，则 lnln 1e ， 由于 1212 1x xxx，下面只要证明： 1 1,(01) ， 结合对数函数lnyx的图像可知， 只需证： 11 ( ,ln),(,ln) 两点连线的斜率要比( ,ln),( ,ln)两 点连线的斜率小即可， 又因为 lnln 1k ，即证：， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分

11、享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 6 6 令 1 ( )2ln0,(01)g ，则 2 22 12(1) ( )10g ， ( )g在(0,1)上单调递减，( )(1)0gg， 原不等式 1212 x xxx成立. 例 6：设函数 2 ( )lnf xaxbx，其图像在点(2,(2)Pf处切线的斜率为3. 当2a 时，令( )( )g xf xkx，设 1212 ,()x x xx是方程( )0g x

12、 的两个根， 0 x是 12 ,x x的等差中项，求证： 0 ()0g x( )g x为函数( )g x的导函数）. 设 函 数 2 1 ( )2 ln(0)f xa xaax a x ，函数( )fx为( )f x的导函数，且 1122 ( ,(), (,()A xf xB xf x是( )f x的 图像上不同的两点，满足 12 ()()0f xf x，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 1.ax 【解析】 12 012 12 1 2 xx axxx aa ，又依题意 2 1 ( )()0fxa x ， 得( )f x在定义域上单调递增，所以要证 0 1ax ，只需证 212 2 (

13、)()()f xf xfx a ， 即 22 2 ()()0fxf x a 不妨设 12 xx，注意到 1 ( )0f a ，由函数单调性知，有 12 11 ,xx aa ， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 7 7 构造函数 2 ( )()( )F xfxf x a ，则 3 22 24(

14、1) ( )( )() (2) ax F xfxfx axax ， 当 1 x a 时，( )0F x，即( )F x单调递减，当 1 x a 时， 1 ( )( )0F xF a ，从而不等式式成立，故原 不等式成立. 例 7：已知函数)(ln 1 )(Rax x axf. （1）若2a，求函数)(xf在), 1 ( 2 e上的零点个数； （2）若)(xf有两零点 21,x x（ 21 xx ），求证：132 1 21 a exx. 【点评】1.方程的变形方向： 21,x x是函数)(xf的两个零点，1 是该函数的极值点. 21,x x是函数)(xh 的两个零点， 1a e是该函数的极值点.

15、www.21-cn- 2.难点13 1 21 a exx的证明依赖利用2 21 xx放缩. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 8 8 例 8：已知函数. （）讨论的单调性； （）设，证明：当时，； （）设是的两个零点，证明. 【答案】（）在上单调递减，在上单调递增；（）当时，；（） 证明过程

16、见解析 （ ） 令 ，则 . 求导数，得， 当时，在上是减函数. 而， 故当时， （）由（）可知，当时，函数至多有一个零点， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 9 9 故，从而的最小值为，且， 不妨设，则， 由（）得， 从而，于是， 由（）知，. 点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大

17、小，函数的零点问题：在（）中通过求导，并判断导数 的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间（）通过构造函数，把不等式证 明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可 （）要充分利用（） （） 问的结论.21 教育网 例 9：已知函数 2 1 4ln 2 f xxmx（0m ）. （）若1m，求函数 f x的单调递增区间； （）若函数 4g xf xmx，对于曲线 yg x上的两个不同的点 11 ,M x g x， 22 ,N xg x，记直线MN的斜率为k，若 0 kgx， 证明： 120 2xxx. 【答案】（1）0,2（2）见解析 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会

18、 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 10 10 由 题 设 得 12 0 12 g xg x gx xx 12 12 4 lnlnxx xx 12 1 4 2 m xxm. 又 12 12 8 2 xx gm xx 12 4 2 xx m ， 12 0 2 xx gxg 12 1212 4 lnln8xx xxxx 21 21 2121

19、 24 lnln xx xx xxxx . 不妨设 12 0 xx， 2 1 x t x ，则1t ，则 21 ln 1 t t t (1)t . 令 21 ln 1 t h tt t (1)t ，则，所以 h t在1,上单调递增，所以 10h th， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 11 11 故. 又因为 21 0 xx，因此 12 0 0 2 xx gxg ，即 12 0 2 xx ggx . 又由 4 4gxmxm x 知 gx在0,上单调递减， 所以 12 0 2 xx x ，即 120 2xxx.