18.构造函数(难）定稿.doc

1、公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 1、设函数( )f x在R上存在导函数( )fx，对xR ， 2 ()( )fxf xx，且在(0,) 上，( )fxx，若有(2)( )22faf aa，则实数a的取值范围为（） （A）(,1（B）1,（C）(,2（D）2, 解析：构造函数 2 ( )( ) 2 x F xf x，( )F x是R上单调递增的奇函数，所以2aa，

2、 答案为 A。 （同类（同类） 。 设函数( )f x在R上存在导函数( )fx， 在(0,)上，( )sin2fxx， 且xR ， 有 2 ()( )2sinfxf xx，则以下大小关系一定正确的是（） （A） 54 ()() 63 ff （B）()( ) 4 ff （C） 54 ()() 63 ff （D）()() 4 ff 解析：构造函数 1 ( )( )cos2 2 F xf xx，( )F x是(0,)上单调递减， 2 ()( )2sinfxf xx得到( )()1F xFx， 5515 ()()cos() 6623 fF 5135 1()() 6446 FF 4418 ()()co

3、s() 3323 fF 4154 1()() 3443 FF 又 4 () 3 F 5 () 6 F ， 5 () 6 f 35 () 46 F 54 () 43 F 4 () 3 f 答案为 C 其实本题构造函数 2 ( )( )sing xf xx，更好。此时( )g x为奇函数，且单调递减 2 2、设定义在(0,)的函数( )f x的导函数为( )fx，e为自然对数的底数，若函数( )f x满 足 ln ( )( ) x xfxf x x ，且 1 ( )f e e ，则不等式(1)(1)f xf exe的解集是 解析： ln ( )( ) x xfxf x x 得 ln ( )( )(

4、 ) x xfxf xxf x x ，则 2 ln ( ) 2 x xf xc，c为 常数。则 2 ln ( ) 2 e ef ec，又由 1 ( )f e e 得 1 2 c ，则 2 ln1 ( ) 2 x f x x ， 则 2 2 (ln1) ( )0 x fx x ，则( )f x在(0,)内为减函数， 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 因为(1)(1)f

5、xf exe即为(1)(1)(1)(1)f xf exe 则构造函数( )( )g xf xx在(0,)内为减函数， 即(1)(1)(1)(1)f xxf ee 即为(1)(1)g xg e得到011xe ，故所求解集为( 1, ) e。 3 3、设函数( )f x在R上存在导函数( )fx，且满足( )2 ( )fxf x，则（） （A） 2 (2)(1)fe f（B） 2 (0)(1)e ff （C）9 (ln2)4 (ln3)ff（D） 2 (ln2)4 (1)e ff 解析： 构造函数 2 ( ) ( ) x f x F x e ， 则 2 ( )2 ( ) ( ) x fxf x F

6、 x e ， 由条件知( )0F x， 所以( )F x 在R上是减函数， 所以(2)(1)FF,得 2 (2)(1)fe f，A错； (1)(0)FF,得 2 (0)(1)e ff，B对； (ln2)(ln3)FF,得9 (ln2)4 (ln3)ff，C错； (ln2)(1)FF,得 2 (ln2)4 (1)e ff，D错； 本题特点是：由选项特征联想到函数的构造。 4 4、( )f x为R上奇函数，0 x 时，有2 ( )( )( )f xxfxxf x，求( )f x在1,1上有多 少个零点？ 解析：0 x 时，有2 ( )( )( )f xxfxxf x，即为： 22 2( )( )(

7、 )xf xx fxx f x， 即为 22 ( )( )x f xx f x ，构造函数 2 ( )( )g xx f x，即为( )( )g xg x， 再次构造函数： ( ) ( ) x g x h x e ，得到 ( )( ) ( )0 x g xg x h x e ，( )h x在(0,)递增，又 (0)0h，所以，( )h x在(0,)上无零点。于是( )f x( )g x在(0,)上无零点。 故( )f x在1,1上有 1 个零点？ 5 5、设函数( )f x在(0,)上存在导函数( )fx， 且满足 2 ( )( )lnx fxxf xx， 1 ( )f e e ， 则下列结论

8、正确的是（） （A）( )f x在(0,)单调递增（B）( )f x在(0,)单调递减 （C）( )f x在(0,)上有极大值（D）( )f x在(0,)上有极小值 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 解析：构造函数( )( )g xxf x，由 2 ( )( )lnx fxxf xx得到 ln ( ) x xf x x ， 故 2 1 ( )ln 2 xf xxC，由

9、 1 ( )f e e 得到 1 2 C 即： 2 ln1 ( ) 2 x f x x 。 再求导得： 2 2 (ln1) ( )0 2 x fx x ，故( )0fx，答案 B 6 6、设( )f x为定义在R上的减函数，其导函数( )fx满足 ( ) 1 ( ) f x x fx ，则下列结论正确 的是（） （A）对于任意的xR，( )0f x （B）对于任意的xR，( )0f x （C）当且仅当(,1)x ，( )0f x （D）当且仅当(1,)x，( )0f x 解析：( )f x为定义在R上的减函数，则( )0fx， ( ) 1 ( ) f x x fx ( )( ) 1 ( ) f

10、 xxfx fx ( )(1)( )0f xxfx 设( )(1) ( )F xxf x，( )(1)( )( )0F xxfxf x则( )(1) ( )F xxf x在R 上的是增函数，注意到(1)0F （1）1x ，(1) ( )(1)0 xf xF( )0f x （2）1x ，(1) ( )(1)0 xf xF( )0f x故答案 B 7 7、设函数( )f x在R上存在导函数( )fx，且满足(0)1,f且3 ( )( )3f xfx，则 4 ( )( )f xfx的解集为（） （A） ln4 (,) 3 （B） ln2 (,) 3 （C） 3 (,) 2 （D）(,) 2 e 解析

11、： （方法一）3 ( )( )3f xfx( )3( ( ) 1)fxf x ( ) 3 ( ) 1 fx f x ln( ( ) 1)3f xxc 3 ( ) 1 x c f xe 3 ( )1 x c f xe ， 又(0)1ln2fc ，故 3ln23 ( )121 xx f xee ，由4 ( )( )f xfx 得到( )3f x ，答案：B 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916

12、 下载！下载！ 4 （方法二）3 ( )( )3f xfx 3 33 ( )3 ()() x xx f x e ee 故 3 ( )1 x f xc e ，又(0)12fc 故 3 ( )21 x f xe 8 8、已知函数( )f x满足条件：当0 x 时， 1 ( )( )1 2 f xxfx，则下列不等式正确的是 （） （A）(1)34 (2)ff（B）(1)34 (2)ff （C）(1)34 (2)ff（D）(2)34 (4)ff 解析：当0 x 时， 1 ( )( )1 2 f xxfx 2 2( )( )2xf xx fxx 22 ( )()x f xx 22 ( )0 x f x

13、x 构造函数 22 ( )( )g xx f xx在(0,)上单 调递增，故(1)(2)gg，即(1) 14 (2)4ff ，即为(1)34 (2)ff，答案 C 9 9、设奇函数( )f x在R上存在导函数( )fx， 且当0 x 时，( )( )xfxf xx， 若( )f ee， 则( )0f x 的解集为（） （A）(,)(0, )ee （B）(,0)( ,)ee （C）(, 1)(0,1) （D）( 1,0)(1,) 解析：当0 x 时，( )( )xfxf xx，有 ( )1 () f x xx ，故 ( ) ln f x xc x ， 又( )f ee，解得0c ，当0 x 时，

14、( )lnf xxx，则当1x 时。( )0f x ； 当01x时，( )0f x 。又( )f x为奇函数，则答案 D。 1010、设 2 ( )f xaxbxc，( , ,)a b cR，e为自然对数的底数，若 ( ) ( )ln f x fxx x ， 则（） （A）(2)( )ln2ff e 2 2 ( )()f ef e（B）(2)( )ln2ff e 2 2 ( )()f ef e （C）(2)( )ln2ff e 2 2 ( )()f ef e（D）(2)( )ln2ff e 2 2 ( )()f ef e 解 析 ： 由 ( ) ( )ln f x fxx x 启 发 ， 构

15、造 函 数 ( ) ( ) ln f x F x x ， 则 2 ( ) ( )ln ( ) (ln ) f x fxx x F x x ，又由 ( ) ( )ln f x fxx x 得( )0F x，即( )F x在(0,)上为 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 单调递增函数，因为 2 2ee，所以 2 (2)( )()FF eF e，即 2 2 (2)( )()

16、 ln2lnln ff ef e ee ， 又 2 ln1,ln2ee，整理可得(2)( )ln2ff e 2 2 ( )()f ef e，答案 B 1111、（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ） 设函数 f x满足 2 2 2,2, 8 x ee x fxxf xf x 则0 x 时， f x（） （A）有极大值,无极小值（B）有极小值,无极大值 （C）既有极大值又有极小值（D）既无极大值也无极小值 答案：D 解析： （方法一）由已知， 2 ( ) x e x f x x (1)。 在已知 2 ( )2( ) x e x fxxf x x 中令2x ，

17、并将 2 (2) 8 e f代入，得(2)0 f ；因为 2 ( )2( ) x e x f xxf x x ，两边乘以x后令 32 ( )( )2( )(2) x g xx f xex f x。 求导并将（1）式代入， 2 ( )2 x xx ex g xee xx ， 显然(0,2)x时，( )0g x，( )g x减；(2,)x时，( )0g x，( )g x增；并且 由（2）式知(2)0g，所以(2)0g为( )g x的最小值，即( )0g x ，所以 3 ( )0 x fx， 在0 x 时得( )0fx（仅在2x 时，( )f x的导数为零） ，所以( )f x为增函数，故没有 极大

18、值也没有极小值。 （方法二）由 2 2 x e x fxxf x x 得 2 2( ) ( ) x e xf x x fx x ， 令( )2( ) x e h xxf x x ，则 22 2( ) ( )2 ( )2 x xx e xf x xee x h xf xx xx 2 (2) x xe x ， 由( )0h x得到2x ，故( )h x在(2,)上递增，在(0,2)上递减， 又 2 (2)4 (2)0 2 e hf，故当0 x 时， h x在2x 处取得最小值0， 即当0 x 时，( )0h x ，所以 2 ( ) ( )0 h x fx x 在0 x 时恒成立，所以( )f x为

19、增函 数，故没有极大值也没有极小值。 1212、定义在R上的函数( )f x满足：( )1f x 且( )( )1,(0)5f xfxf，( )fx是( )f x 的导函数，则不等式ln( ( ) 1)ln4f xx的解集为（） 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 6 （A）(0,)（B）(,0)(3,)（C）(,0)(0,)（D）(,0) 解析：因为( )( )1,f x

20、fx所以( )1( )fxf x ，构造 ( )ln( ( ) 1)ln4g xf xx，则 ( )( )( ) 1 ( )1 ( ) 1( ) 1 fxfxf x g x f xf x 0， 故( )g x在R上是增函数，因为(0)ln( (0) 1)ln40gf，所以答案 A 1313、设函数( )f x的导函数为( )fx， 且满足 2 1 ( )2 ( )xfxf x x ， 且(1)1f， 则函数( )f x 的最大值为 解：由题设条件 2 2 11 xfx +2f x =x fx +2xf x = xx 2 1 ( )x f x x ， 2 x f x =lnx+c满足题意，此时 2 lnx+1 f x = x 满足 f 1 =1；以下求函数 f x最大 值：因为 2 43 1 x2x lnx+1 1 2lnx x fx = xx ，当x 1 0 e ，时， f x单增，当 1 x+ e ，时， f x单减，故函数 f x最大值为 2 1 ln+1 1e e f= 2e 1 e 。